正FIV

2006 年度大学院一般相対論講義：高次元宇宙論
小玉 英雄
京都大学基礎物理学研究所
- 2-
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目次
第 1 章 ボトムアップアプローチ
1.1 標準モデル . . . . . . . . .
1.2 ゲージセクターの統一 . . .
1.3 超対称性 . . . . . . . . . . .
1.3.1 N = 1 SUSY の表現
1.3.2 単純複素 Lie 超代数 .
1.3.3 単純実 Lie 超代数 . .
1.3.4 Wess-Zumino モデル
1.3.5 超場 . . . . . . . . .
1.3.6 超対称な場の理論 . .
1.4 重力相互作用の導入 . . . .
1.4.1 一般相対論の復習 . .
1.4.2 単純超重力理論 . . .
1.4.3 曲がった超空間 . . .
1.4.4 超重力理論 . . . . .
1.5 物質セクターの統一 . . . .
第 2 章 トップダウンアプローチ
2.1 Kaluza-Klein コンパクト化 .
2.2 高次元スピノール . . . . . .
2.3 高次元超重力理論 . . . . . .
2.3.1 11 次元超重力理論 .
2.3.2 10 次元超重力理論 .
2.4 超弦理論・Ｍ理論 . . . . . .
2.5 微分幾何学からの準備 . . .
2.5.1 Hodge 理論 . . . . .
2.5.2 Calabi-Yau 多様体 .
2.6 直積型コンパクト化 . . . .
2.6.1 超対称変換 . . . . .
2.6.2 超対称性からの帰結
2.6.3 ゲージ場への制限 . .
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2.6.4 massless モード . . . . . . . . . . .
2.7 モジュライ安定化 . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 ４次元有効理論 . . . . . . . . . . .
2.7.2 IIB 理論のフラックスコンパクト化
2.7.3 量子効果 . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 宇宙の加速膨張に対する No-Go 定理 . . .
2.9 ブレインインフレーションモデル . . . . .
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ボトムアップアプローチ
1
§1.1
標準モデル
ゲージセクター
• ゲージ群：UY (1) × SU(2) × SU(3)
• Gauge coupling:
g1
Y
(2)
B + g2 Ti Ai + g3 Ta(3) Ga
2
• Symmetry Breaking: UY (1) × SU(2) ⇒
(1.1.1)
Uem (1)
Y
g2
(2)
B + g2 T3 A3 = eQ A +
R Z ⇒ eQ A,
2
cos θW
Y
Y
(2)
(2)
Q = T3 + , R = T3 cos2 θW + sin2 θW .
2
2
g1
(1.1.2)
(1.1.3)
ここで，
A
B
= R(−θW )
,
Z
A3
e
e
, g2 =
.
g1 =
cos θW
sin θW
(1.1.4)
(1.1.5)
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
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ࠥ࡯ࠫ࠮ࠢ࠲࡯
ࡈࠚ࡞ࡒ☸ሶ࠮ࠢ࠲࡯
㧳
;WMCYC ⚿ว
*KIIU ᯏ᭴
㧔⾰㊂㧘%2 ߩ⎕ࠇ㧕
㧔☸ሶߩ⾰㊂㧕
*KIIU ࠮ࠢ࠲࡯
㧿㧿㧮
フェルミオンセクター
• 量子数と表現
(2, 1)−1 (1, 1)−2 (2, 3)1/3 (1, 3)4/3 (1, 3)−2/3
(νe , e)L
eR
(u, d)L
uR
dR
(νµ , µ)L
µR
(c, s)L
cR
sR
(ντ , τ )L
τR
(t, b)L
tR
bR
表現は UY (1), SU(2) に関してカイラル（Uem (1) × SU(3) に関してはアキ
ラル）．
スカラ（Higgs) セクター
• 量子数と表現: (2, 1)1
• ポテンシャル ⇒
• Yukawa 結合 ⇒
混合
対称性の自発的破れ ⇒
フェルミ粒子の質量, 弱い相互作用での CP の破れ，Cabibo
(l) i
hij ¯lR
H † lLj ⇒
(l) i i
mi ¯lR
lL
i
(u)
i
H T σ2 qLj ⇒
hij q̄Ru
i
H † qLj ⇒
hij q̄Rd
(d)
Higgs 機構
(u)
mi ŪRi ULi
(1.1.6a)
(1.1.6b)
i
(d)
i
mi D̄R
Cji DLj
(1.1.6c)
i,j
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
6 目次へ
問題点
• ゲージセクターの不完全な統一
• クォーク電荷の分数性とそのパターン
• 強い相互作用での CP 保存
• ニュートリノの質量と mixing
• バリオン非対称性の起源
• 世代多重性，質量項の構造
Cabibo mixing
弱い相互作用での CP の破れ
• 重力が含まれない
• Dark matter/dark energy の起源
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
7 目次へ
§1.2
ゲージセクターの統一
標準モデル ⇒
大統一理論
• gauge-coupling unification
1
M
1
(4Ng − 33) ln
+ const,
=
α3
6π
E
1
1
43
M
=
4Ng −
ln
+ const,
α2
6π
2
E
1
3
M
1
=
4Ng +
ln
+ const.
α1
6π
10
E
⇒
(1.2.1a)
(1.2.1b)
(1.2.1c)
α1 ≈ α2 ≈ α3 at E ≈ 1016 GeV
• Hypercharge structure
SU(5) ⊃ U(1) × SU(2) × SU(3)
5∗ = (1, 3∗ )2/3 + (2∗ , 1)−1 : (dc , e− , −ν)L
⎛
⎞
[uc ] −u −d
⎜
⎟
10 = (1, 3∗)−4/3 + (2, 3)1/3 + (1, 1)2 : ⎝ u
0 −e+ ⎠
d e+
0
L
[Wilczek F:in Physics in the 21st Century, eds. K.Kikkawa et al.(1997, World
Scientific)]
• Neutrino mass
SO(10) ⊃ SU(5)
16 = 5∗ + 10 + 1 ⇒
neutrino mass
• Baryon asymmetry
• Strong CP problem: |θ| < 10−11
Peccei-Quinn symmetry ⇒
>
ma ∼ 10−6 eV
>
SSB at E ∼ 1012 GeV ⇒
invisible axion
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
8 目次へ
可能な大統一群 G
• 基本的な要請
1) G ⊃ GSM = SU(3) × SU(2) × U(1). 特に，rank(G) ≥ 4.
2) G は複素表現を許す．
（理由）標準モデルでの左巻きおよび右巻きフェルミオンの GSM に関
する表現をそれぞれ f L , f R とすると，基本場を左巻きとする表示で
SM
SM ∗
SM
∗
は，F L = f L + f ∗R ．よって，(f SM
L ) = f L , (f R ) = f R より，
∼
f SM
⇔ F ∗L ∼
= F L ．すなわち，F L は
L/R ⊂ f L/R に対して，f L = f R
∼
non-self-conjugate(complex).（一般に，f L = f R かつ F ∗L ∼
= F L なら，
∗
実表現 f L/R = f L/R を用いて，f L = f 0 + f L , f R = f 0 + f R ．
）
• 要請 1), 2) より，可能な群は
SU(5) ⊂ SO(10) ⊂ E6 ,
SU(5) ⊂ SU(6) ⊂ SU(7) · · · ,
SO(10) ⊂ SO(14) · · · ⊂ SO(4n + 2) ⊂ · · · .
注：要請 1) を満たす他のランク４のコンパクト群は
F4 ⊃ SO(9) ⊃ GSM ,
Sp(4) ⊃ SU(2) × Sp(3) ⊃ GSM .
• En 系列の表現
E4 = SU(5) : 5∗ + 10,
E5 = SO(10) ⊃ SU(5) × U(1) : 16 = 1−5 + 5∗3 + 10−1 ,
: 10 = 52 + 5∗−2 ,
: 45 = 10 + 104 + 10∗−4 + 240 ,
E6 ⊃ SO(10) × U(1) : 27 = 14 + 10−2 + 161 ,
: 78 = 10 + 450 + 16−3 + 16∗3 ,
E8 ⊃ SU(3) × E6 : 248 = (8, 1) + (1, 78) + (3, 27) + (3∗ , 27∗).
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
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§1.3
超対称性
Super-Poincare algebra
• Coleman-Mandula の定理 (1967)
仮定
1) S 行列は４次元 Minkowski 時空上の局所的相対論的量子論に
基づく．
2) 同じ質量の１粒子状態をもつ粒子の種類は有限個．
3) 真空と１粒子状態の間にはエネルギーギャップがある．
のもとで，S 行列の対称性を表す Lie 代数は，Poincare Lie 代数と
コンパクト Lie 代数の直和となる．
• Boson ⇔ Fermion :
δ φ = i[ · Q, φ] ⇒
Q : spinor
• 超対称代数
L = L0 + L1 ,
[L0 , L0 ] ⊂ L0 ,
[L0 , L1 ] ⊂ L1 ,
{L1 , L1 } ⊂ L0 .
• Haag-Lopuszánski-Sohnius の定理 (1975)
Coleman-Mandula の定理の仮定が満たされるとき，４次元理論の S行列の持ちうる超対称性は，超対称代数が正定値内積をもつ Hilbert
空間への表現をもち，かつ，任意の奇元 Q のエルミート共役作用
素が再び代数に属するならば，奇元は必ずスピン 1/2 の表現に属
し，次の交換関係で特徴付けられる Poincare SUSY 代数で与え
られる：
L0 = P ⊕ S ⊕ C ,
L1 = QLα , Q∗α̇M ;
[Pm , Qα ] = 0, [B, Qα ] = S(B)Qα (B ∈ S ),
L M
L ∗ L
,
Qα , Qβ = αβ X LM ⊂ C ,
Qα , Qα̇M = 2σαα̇ m Pm δM
S(B)L M X M N = S(B)N M X M L (B ∈ S )
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
10 目次へ
N = 1 case:
{Qα , Q†β } = 2Pa (Γa Γ0 )αβ ,
[P a , Qα ] = 0
• Positivity of energy
{Qα , Q†α } = 8E
α
• Boson-fermion cancellation:
1
ωp (boson),
Vacuum energy = +
2 p
−
1
ωp (fermion)
2 p
• (Massless) Supermultiplet
N = 1 : (0, 1/2) (1/2, 1) (1, 3/2) (3/2, 2)
12 32 0, 2 , 1
1, 2 , 2
N = 2 : − 12 , 02 , 12
28
70 1 56
28 3 8
38
1 56
N = 8 : −2, − 2 , −1 , − 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 2
大統一理論 ⇒
SGUT
• Dark matter
有力な候補： neutralinos(γ̃, Z̃, φ̃0 , g̃), axion
• hierarchy problem
Non-renormalisation Th. ⇒
small corrections on masses and Λ
• Ｃｆ．Λ problem
AdS 超対称性代数が存在するので，超対称性が Λ = 0 を意味するわけではな
い．また，dS 超対称代数は存在しないので，インフレーションや Λ > 0 は
超対称性の破れを要求する．
1.3.1
N = 1 SUSY の表現
Weyl 表示での N = 1 SUSY 代数
Qα , (Qβ )† = 2σαmβ̇ Pm
を質量ゼロの状態 P3 = −P0 = E, P1 = P2 = 0 に作用させると，
Q1 , (Q1 )† = 4E, {Q1 , Q1 } = 0,
{Q2 , Qα } = Q2 , (Qα )† = 0
(1.3.1)
(1.3.2a)
(1.3.2b)
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
11 目次へ
これより，この状態で Q2 = 0 で，
1
a = √ Q1
2 E
(1.3.3)
とおくと，
†
a, a = 1,
{a, a} = 0.
(1.3.4)
よって，S3 = M12 をヘリシティ作用素として
a|s = 0,
S3 |s = s|s
(1.3.5)
とおくと，超対称代数の２次元表現
|s,
a† |s
(1.3.6)
を得る．ここで，
1
[S3 , Qα ] = − (σ3 )α β Qβ
2
(1.3.7)
より
1
[S3 , Q1 ] = − Q1
2
⇔
1
S3 Q1 = Q1 S3 −
2
(1.3.8)
となるので，
S3 a† |s = (s + 1/2)|s
(1.3.9)
よって，各基底のヘリシティは s, s + 1/2 となる．
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
1.3.2
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単純複素 Lie 超代数
【定義 1.3.1 (古典 Lie 超代数と Cartan 型 Lie 超代数)】 Lie 超代数 L =
L0 + L1 において，代数演算により誘導される表現 L0 L1 が完全可約の
とき，L は古典 Lie 超代数 (classical Lie superalgebra)，完全可約でないと
き Cartan 型 Lie 超代数 (Cartan type Lie superalgebra) という．
【定義 1.3.2 (簡約可能な Lie 代数)】 Lie 代数 g は，半単純 Lie 代数と中心の
直和となるとき簡約可能という．
【命題 1.3.3】 Lie 超代数が古典的であることと，Lie 代数 L0 が簡約可能で
あることは同等である．
【定理 1.3.4 (古典複素 Lie 超代数の分類定理)】 単純複素 Lie 超代数は次の
ように分類される：
(1) 基本 (basic) 古典単純複素 Lie 超代数
(a) Killing 形式が非退化となるもの．
(i) 単純複素 Lie 代数
(ii) 次の６つの系列：
A(m|n) = sl(m + 1|n + 1; C), m > n = 0, 1, 2, · · · ,
B(m|n) = osp(2m + 1|2n; C), m = 0, 1, · · · , n = 1, 2, · · · ,
C(n) = osp(2|2n − 2; C), n = 2, 3, · · · ,
D(m|n) = osp(2m|2n; C), m = 2, 3, · · · , n = 1, 2, · · · , m = n + 1,
F (4),
G(3).
(b) Killing 形式が恒等的にゼロとなるもの．
A(n|n) = sl(n + 1|n + 1; C), n = 1, 2, · · · ,
D(n + 1|n) = osp(2n + 2|2n; C), n = 1, 2, · · · ,
D(2|1; α), α ∈ C − {0, −1, ∞} .
(2) 特異 (strange) 古典単純複素 Lie 超代数
P (n), n = 2, 3, · · · ,
Q(n), n = 2, 3, · · ·
[Cornwell JF 1989[Cor89]; Kac VG 1977[Kac77]]
【定理 1.3.5 (Cartan 型 Lie 超代数の分類定理)】 Cartan 型 Lie 超代数は次
の４つの離散系列で尽くされる：
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
13 目次へ
1) W (n) (n = 3, 4, · · · )
2) S(n) (n = 3, 4, · · · )
3) S̃(n) (n = 4, 5, · · · ,)
4) H(n) (n = 4, 5, · · · ,)
[Cornwell JF 1989[Cor89]; Kac VG 1977[Kac77]]
古典 Lie 超代数
gl(m|N): Q ∈ M(m + N) を A ∈ M(m), B ∈ M(m, N), C ∈ M(N, m), D ∈ M(N)
を用いて
A B
Q=
(1.3.10)
C D
と表し，
L = M(m + N),
(1.3.11a)
L0 = {Q ∈ L | B = C = 0} ,
(1.3.11b)
L1 = {Q ∈ L | A = D = 0}
(1.3.11c)
とおく．このとき，[∗, ∗]± を
[Q1 , Q2 ]± = [Q1 , Q2 ]
for Q1 , Q2 ∈ L0 ,
(1.3.12a)
[Q1 , Q2 ]± = [Q1 , Q2 ]
for Q1 ∈ L0 , Q2 ∈ L1 ,
(1.3.12b)
[Q1 , Q2 ]± = {Q1 , Q2 } for Q1 , Q2 ∈ L1
(1.3.12c)
と定義すると，{L , [∗, ∗]± } は超代数 gl(m|N) となる．以下，Q ∈ L を Q[A, D; B, C]
と表記する．
osp(N|2p): Ω(2p) を条件
Ω2(2p) = −1,
Ω(2p) T = −Ω(2p)
(1.3.13)
を満たす 2p 次の正方行列，G(N ) を N 次の対称正則行列とする．
osp(N|2p) を次の条件を満たす gl(N|2p) の部分代数として定義する：
AT G(N ) + G(N ) A = 0,
(1.3.14a)
D T Ω(2p) + Ω(2p) D = 0,
(1.3.14b)
C = Ω(2p)B T G(N )
(1.3.14c)
このとき，[osp(N|2p)]0 の生成する群 G は
G = O(N) ⊗ Sp(2p)
(1.3.15)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
14 目次へ
が成り立つ．
特に，
Sp(4, C) ∼
= SO(5, C)
(1.3.16)
より，osp(N|4) の適当な実型は SO(2, 3) × SO(N) に対応する実超代数，すなわち
AdS4 上の N-拡張超代数となる．また，”宇宙項”ゼロの極限をとると，Minkowski
時空 E 3,1 上の N-拡張超代数が得られる．
sl(m|N): sl(m|N) を次の条件を満たす gl(m|N) の部分代数として定義する：
TrA = TrD.
(1.3.17)
このとき，
G = SL(m, C) ⊗ SL(N, C) ⊗ GL(1, C)
(1.3.18)
が成り立つ．
さらに，H(m) を符号 (p, q)(p + q = m) の m 次エルミート行列，H(N ) を正の N
次エルミート行列として，条件
−1
H(m) AH(m)
= −A† ,
−1
H(N ) DH(N
)
−1
H(m) BH(N )
†
= −D ,
= −C
†
(1.3.19a)
(1.3.19b)
(1.3.19c)
を満たす sl(m|N) の実部分代数を su(p, q|N) とおくと，
G = SU(p, q) ⊗ SU(N) ⊗ U(1)
(1.3.20)
が成り立つ．
特に，
SU(2, 2) ∼
= SO(2, 4)
(1.3.21)
より，su(2, 2|N) は AdS5 上の拡張超対称代数を与える．
P (n) と Q(n): P (n) は次の条件を満たす gl(n|n) の部分代数として定義される：
AT + D = 0,
B T = B,
TrA = 0,
C T = −C.
(1.3.22a)
(1.3.22b)
すなわち，
G = SL(n, C),
(1.3.23a)
G L1 : (2)n + [2]n .
(1.3.23b)
また，Q (n) を次の条件を満たす sl(n|n) の部分代数として定義する：
A = D,
B = C,
TrB = 0.
(1.3.24)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
15 目次へ
ただし，Q (n) は中心 {aI2n | a ∈ C} ∼
= C をもつので，
Q(n) = Q (n)/C
(1.3.25)
により単純な超代数 Q(n) を定義する．このとき，
G = SL(n, C),
(1.3.26a)
G L1 : Adjoint 表現
(1.3.26b)
となる．
D(2, 1, α), G(3), F (4):
1. D(2, 1, α)
G = SL(2, C) ⊗ SL(2, C) ⊗ SL(2, C),
(1.3.27a)
G L1 : (2, 2, 2).
(1.3.27b)
G = SL(2, C) ⊗ G2 ,
(1.3.28a)
G L1 : (2, 7)
(1.3.28b)
G = SL(2, C) ⊗ SO(7, C),
(1.3.29a)
G L1 : (2, 8)
(1.3.29b)
2. G(3)
3. F (4)
Cartan 型超代数
ai , a†i (i = 1, · · · , n) をフェルミ型生成消滅演算子とする：
ai , a†j = δij , {ai , aj } = a†i , a†j = 0.
W (n)(n ≥ 3):
W (n) = G−1 ⊕ G0 ⊕ G1 ⊕ · · · ⊕ Gn−1 ,
(1.3.30a)
[Gi , Gj ] ⊂ Gi+j ,
(1.3.30b)
L0 = G0 ⊕ G2 ⊕ · · · ,
L1 = G−1 ⊕ G1 ⊕ · · · .
(1.3.30c)
ここで，
G−1 = ai (i = 1, · · · , n),
(1.3.31a)
= 1, · · · , n),
(1.3.31b)
G1 =
a†i aj (i, j
a†i a†j ak (i
= j, k = 1, · · · , n),
(1.3.31c)
···
··· ,
G0 =
Gn−1 = a†1 · · · a†n ai (i = 1, · · · , n).
(1.3.31d)
G0 ∼
= gl(n) で W (n) の次元は n · 2n ．また，W (2) = sl(2|1).
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
16 目次へ
S(n) (n ≥ 3):
S(n) = G−1 ⊕ G0 ⊕ G1 ⊕ · · · ⊕ Gn−2 ,
(1.3.32a)
[Gi , Gj ] ⊂ Gi+j ,
(1.3.32b)
L0 = G0 ⊕ G2 ⊕ · · · ,
L1 = G−1 ⊕ G1 ⊕ · · · .
(1.3.32c)
ここで，
G−1 = ai (i = 1, · · · , n),
(1.3.33a)
G0 = a†1 a1 − a†j aj (j = 2, · · · , n),
a†i aj (i = j = 1, · · · , n),
(1.3.33b)
G1 = a†i (a†1 a1 − a†j aj ) (i = j = 1, · · · , n),
a†1 (a†2 a2 − a†j aj ) (j = 3, · · · , n),
a†i a†j ak (i = j = k = 1, · · · , n),
G2 =
a†i a†j a†k al (i = j = k = l = 1, · · · , n),
···
(1.3.33c)
a†i a†j (a†1 a1 − a†k ak ) (i = j = k = 1, · · · , n),
a†k a†1 (a†2 a2 − a†j aj ) (k = j = 3, · · · , n),
a†1 a†2 (a†3 a3 − a†j aj ) (j = 4, · · · , n),
(1.3.33d)
···
G0 ∼
= sl(n) で dim(S(n)) = (n − 1)2n + 1.
S̃(n) (n ≥ 4): S(n) において，G−1 を次の集合で置き換えたのも：
G−1 = (1 + a†1 a†2 · · · a†n )ai (i = 1, · · · , n).
(1.3.34)
H(n) (n ≥ 4):
H(n) = G−1 ⊕ G0 ⊕ G1 ⊕ · · · ⊕ Gn−3 ,
(1.3.35a)
[Gi , Gj ] ⊂ Gi+j ,
(1.3.35b)
L0 = G0 ⊕ G2 ⊕ · · · ,
L1 = G−1 ⊕ G1 ⊕ · · · .
(1.3.35c)
ここで，
G−1 = ai (i = 1, · · · , n),
(1.3.36a)
G0 = a†i aj − a†j ai (i, j = 1, · · · , n),
(1.3.36b)
G1 = a†[i a†j ak] (i, j, k = 1, · · · , n),
(1.3.36c)
···
G0 ∼
= so(n) で dim(H(n)) = 2n − 2.
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
1.3.3
17 目次へ
単純実 Lie 超代数
分類
Ref: Parker M: JMP21, 689(1980)
【定理 1.3.6 (実古典単純 Lie 超代数と複素古典単純 Lie 超代数の関係)】 実
古典単純 Lie 超代数 L の複素化 L ⊗ C は，複素古典単純 Lie 超代数 L と
同型であるか，またはそらの２個の直和である．後者の場合，対応する複素
古典単純 Lie 超代数は実 Lie 超代数として単純である．また，この対応にお
いて，L を複素 Lie 超代数 L の実型という．[Parker M 1980[Par80]]
【定理 1.3.7 (実古典単純 Lie 超代数の分類)】 古典複素単純 Lie 超代数 L の
実型は，複素 Lie 代数 L0 の実型により同型を除いて一意的に定まり，次の
いずれかで与えられる：
1. A(m|n) (m > n ≥ 0) の実型
sl(m + 1|n + 1; R) : L0 = sl(m + 1, R) ⊕ sl(n + 1, R) ⊕ R,
| n+1
; H : L0 = su∗ (m + 1) ⊕ su∗ (n + 1) ⊕ R, m, n : 奇数,
sl m+1
2
2
su(m + 1 − p, p|n + 1 − q, q) : L0 = su(m + 1 − p, p) ⊕ su(n + 1 − q, q) ⊕ iR
2. A(n|n) (n ≥ 1) の実型
sl(n + 1|n + 1; R) : L0 = sl(n + 1, R) ⊕ sl(n + 1, R),
| n+1
; H : L0 = su∗ (n + 1) ⊕ su∗ (n + 1), n : 奇数,
sl n+1
2
2
su(n + 1 − p, p|n + 1 − p, p) : L0 = su(n + 1 − p, p) ⊕ su(n + 1 − p, p),
H(4; n; R) : L0 = sl(n + 1, C).
3. B(m|n) (m ≥ 0, n ≥ 1) の実型
osp(2m + 1 − p, p|2n; R) : L0 = so(2m + 1 − p, p) ⊕ sp(n, R).
4. C(n) (n ≥ 2) の実型
osp(2|2n − 2; R) : L0 = so(2) ⊕ sp(n − 1; R),
osp(1|n − 1 − p, p; H) : L0 = so∗ (2) ⊕ sp(n − 1 − p, p).
5. D(m|n) (m ≥ 2, n ≥ 1) の実型
osp(2m − p, p|2n; R) : L0 = so(2m − p, p) ⊕ sp(n, R),
osp(m|n − p, p; H) : L0 = so∗ (2m) ⊕ sp(n − p, p).
6. P (n) (n ≥ 2) の実型
PI (n) : L0 = su(n + 1),
n : odd,
PII (n) : L0 = sl(n + 1, R).
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
18 目次へ
7. Q(n) (n ≥ 2) の実型
QI (n) : L0 = su(p, n + 1 − p),
QII (n) : L0 = su∗ (n + 1),
n : odd,
QIII (n) : L0 = sl(n + 1, R).
8. D(2|1; α) の実型
DI (2|1; α) : L0 = sl(2, R) ⊕ sl(2, R) ⊕ sl(2, R); α : real,
DII (2|1; α) : L0 = su(2) ⊕ su(2) ⊕ sl(2, R); α : real,
DIII (2|1; α) : L0 = sl(2, C) ⊕ sl(2, R); α + ᾱ = −1.
9. G(3) の実型
GI (3) : L0 = sl(2, R) ⊕ g2,0 ,
GII (3) : L0 = sl(2, R) ⊕ g2,2 .
ここで，g2,0 は G2 の Lie 代数のコンパクト実型 (= AutC)，g2,2 は非コンパク
ト実型．
10. F (4) の実型
FI (4) : L0 = sl(2, R) ⊕ so(7),
FII (4) : L0 = sl(2, R) ⊕ so(3, 4),
FIII (4) : L0 = su(2) ⊕ so(2, 5),
FIV (4) : L0 = su(2) ⊕ so(1, 6).
[Parker M 1980[Par80]]
単純超対称代数
【定理 1.3.8 (単純超対称代数の分類)】 古典単純実 Lie 超代数 L = L0 + L1
で．L0 が時空対称性を表す Lie 代数 so(D, 1), so(D − 1, 2), so(D, 2) を直和因
子として含むものは次のものに限られる：
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
D
2
3
4
5
6
7
L
su(1, 1|N)
su(1, 1|2)
osp(N|2; R)
osp(2|N; H)
DII (2|1; α)
GI (3)
FI (4)
H(4; 1; R)
osp(1|1, 1; H)
osp(N|4; R)
sl(2|1; H)
QII (3)
su(2, 2|N)
su(2, 2|4)
QI (3)
FIV (4)
FIII (4)
osp(4|N; H)
L0
so(2, 1) ⊕ u(N); N = 2
so(2, 1) ⊕ su(2)
so(2, 1) ⊕ so(N); N ≥ 1
so(2, 1) ⊕ so(3) ⊕ sp(N); N ≥ 1
so(2, 1) ⊕ so(4)
so(2, 1) ⊕ g2
so(2, 1) ⊕ so(7)
so(3, 1)
so(4, 1) ⊕ u(1)
so(3, 2) ⊕ so(N); N ≥ 1
so(5, 1) ⊕ so(2) ⊕ u(1)
so(5, 1)
so(4, 2) ⊕ u(N);N = 4
so(4, 2) ⊕ su(N)
so(4, 2)
so(6, 1) ⊕ su(2)
so(5, 2) ⊕ su(2)
so(6, 2) ⊕ sp(N); N ≥ 1
19 目次へ
L1
(2, N) + (2, N̄)
(2, 2) + (2, 2)
(2, N)
(2, 2, 2N)
(2, 4)
(2, 7)
(2, 8)
(2, 1) + (1, 2)
4 + 4̄
(4, N)
(4, 2)1 + (4, 2)−1
15adj
(4, N) + (4̄, N̄ )
(4, 4) + (4̄, 4̄)
15ad
(8, 2)
(8, 2)
(8, 2N)
複素型
A(1|N − 1)
A(1|1)
B/D([N/2]|1)
D(2|N)
D( 2|1; α)
G(3)
F (4)
A(1|1)
C(2)
B/D([N/2]|2)
A(3|1)
Q(3)
A(3|N − 1)
A(3|3)
Q(3)
F (4)
F (4)
D(4|N)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
1.3.4
20 目次へ
Wess-Zumino モデル
Ref: Wess J, Zumino B: Phys. Lett. B 49, 52 (1974).
モデル
• 場：
A, F : 複素スカラ場,
ψ = (ψ α ) :（左）Weyl スピノール
• Lagrangian:
L = A∗ A − iψ̄σ̄ m ∂m ψ + F ∗ F.
(1.3.37)
超対称変換
√
δA = − 2ξ T ψ,
√ ¯ mA ,
2 ξF + iσ m ξ∂
δψ =
√ † m
δF =
2iξ σ̄ ∂m ψ
(1.3.38a)
(1.3.38b)
(1.3.38c)
これより，
[δ1 , δ2 ] = 2i(ξ2 T σ m ξ¯1 − ξ1 T σ m ξ¯2 )∂m .
(1.3.39)
よって，
δξ = ξ α Qα − ξ¯α̇ Q̄α̇ ,
(1.3.40a)
Pm = i∂m
(1.3.40b)
とおくと，
{Qα , Qα̇ } = 2σαmα̇ Pm .
(1.3.41)
超対称性
超対称変換に対して，
√
δL = 2∂m ξ T σ m σ̄ n ∂n ψA∗ + iξ T σ m ψ̄F .
1.3.5
(1.3.42)
超場
Ref: Salam A, Strathdee J: Nucl. Phys. B 47, 766 (1974).
N = 1 超代数
Qα , Q̄β̇ = 2σαmβ̇ Pm , {Qα , Qβ } = Q̄α̇ , Q̄β̇ = 0
(1.3.43)
の場への表現を考える．
以下，次の Wess-Bagger 記法に従う：
12 = −1,
12 = 1,
χα = αβ χβ ,
α
ψχ = ψ χα ,
(1.3.44a)
χα = αβ χβ ,
α̇
ψ̄ χ̄ = ψ̄α̇ χ̄ .
(1.3.44b)
(1.3.44c)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
21 目次へ
超空間の変換 超空間
z = (xm , θα , θ̄α̇ ) において，
∂m =
∂
,
∂xm
∂α =
∂
,
∂θα
∂
∂¯α̇ = α̇
∂ θ̄
(1.3.45)
を用いて
Qα = ∂α − iσαmα̇ θ̄α̇ ∂m ,
Q̄α̇ = −∂¯α̇ + iθα σ m ∂m ,
(1.3.46a)
(1.3.46b)
αα̇
とおくと，
Qα , Q̄β̇ = 2iσαmβ̇ ∂m ,
{Qα , Qβ } = Q̄α̇ , Q̄β̇ = 0.
(1.3.47)
また，
Dα = ∂α + iσαmα̇ θ̄α̇ ∂m ,
D̄α̇ = −∂¯α̇ − iθα σ m ∂m ,
(1.3.48a)
(1.3.48b)
αα̇
とおくと，
Dα , D̄β̇ = −2iσαmβ̇ ∂m ,
{Dα , Dβ } = D̄α̇ , D̄β̇ = 0,
(1.3.49)
かつ
{Dα , Qβ } = Dα , Q̄β̇ = D̄α̇ , Qβ = D̄α̇ , Q̄β̇ = 0.
(1.3.50)
ξQ + ξ¯Q̄ および ξD + ξ¯D̄ は，それぞれ超群
G(x, θ, θ̄) = exp(−xm Pm + θQ + θ̄Q̄)
(1.3.51)
における左変換と右変換にあたる．
超場の変換
超場
F (x, θ, θ̄) = f (x) + θφ(x) + θ̄χ̄(x)
+θθ m(x) + θ̄θ̄ n(x) + θσ m θ̄ vm (x)
+(θθ)θ̄λ̄(x) + (θ̄θ̄)θψ(x) + (θ̄θ̄)(θθ)d(x)
(1.3.52)
に対して
δF = (ξQ + ξ¯Q̄)Φ
= δf (x) + θδφ(x) + θ̄δ χ̄(x)
+θθ δm(x) + θ̄θ̄ δn(x) + θσ m θ̄ δvm (x)
+(θθ)θ̄δ λ̄(x) + (θ̄θ̄)θδψ(x) + (θ̄θ̄)(θθ)δd(x).
(1.3.53)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
22 目次へ
Chiral 超場 条件
D̄α̇ Φ = 0
(1.3.54)
は
Φ = A(y) +
√
2θψ(y) + θθF (y);
(1.3.55)
y m = xm + iθσ m θ̄
(1.3.56)
と同等．このとき，
¯
δy m = 2iθσ m ξ,
δθ = ξ
(1.3.57)
より，
δΦ =
√
¯ m (A +
2ξψ + 2θξF + 2iθσ m ξ∂
√
2θψ + θθF ).
よって，成分で表すと
√
δA =
2ξψ,
√ ¯ mA ,
2 ξF + iσ m ξ∂
δψ =
√
2iξ¯σ̄ m ∂m ψ
δF =
特に，最後の式は次のように書かれる (F term)：
√
δF = ∂m
2iξ¯σ̄ m ψ
ベクトル超場
(1.3.58)
(1.3.59a)
(1.3.59b)
(1.3.59c)
(1.3.60)
条件
V = V†
(1.3.61)
は，V が実場 C(x), M(x), N(x), D(x), vm (x), χ(x), λ(x) を用いて
V
= C(x) + iθχ(x) − iθ̄χ̄(x)
i
i
+ θθ (M(x) + iN(x)) − θ̄θ̄ (M(x) − iN(x)) − θσ m θ̄ vm (x)
2
2 i m
i m
+i(θθ)θ̄ λ̄(x) + σ̄ ∂m χ(x) − i(θ̄ θ̄)θ λ(x) + σ ∂m χ̄(x)
2
2
1
1
(1.3.62)
+ (θ̄θ̄)(θθ) D(x) + C(x)
2
2
と表される．このとき，
δD(x) = ξ¯σ̄ m ∂m λ − ξσ m ∂m λ̄.
(1.3.63)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
1.3.6
23 目次へ
超対称な場の理論
Chiral 超組: Chiral な超場の組 Φi に対して、
L = Φ†i Φi + (W (Φ)|F + h.c.) .
(1.3.64)
D
ここで、第１項は成分場で表すと，
√
Φ = A(y) + 2θψ(y) + (θθ)F (y)
1
= A(x) + iθσ m θ̄∂m A(x) + (θ̄θ̄)(θθ)A(x) + (θθ)F (x)
4
√
√
2
(θθ)θ̄σ̄ m ∂m ψ
+ 2θψ + i
2
(1.3.65)
より
1 ∗
1
(A A + A∗ A) − ∂A∗ · ∂A
4
2
↔
i
− ψ̄σ̄ · ∂ ψ + F ∗ F
2
∗
∼
= A A − iψ̄σ̄ · ∂ψ + F ∗ F.
Φ† Φ|D =
(1.3.66)
また、第２項は
1
1
W (Φ) = mij Φi Φj + gijk Φi Φj Φk + λi Φi
2
3
に対して、
W (Φ)|F
1
= mij Ai Fj − ψi ψj
2
+gijk (Ai Aj Fk − ψi ψj Ak ) + λi Fi .
(1.3.67)
(1.3.68)
よって、Fi を消去すると、
∂L
= Fk∗ + λk + mik Ai + gijk Ai Aj = 0
∂Fk
(1.3.69)
より、
L
1
mij ψi ψj + m∗ij ψ̄i ψ̄j
2
∗
−gijk ψi ψj Ak − gijk
ψ̄i ψ̄j A∗k − V(A, A∗ ).
= −iψ̄i σ̄ · ∂ψi + A∗i Ai −
(1.3.70)
ただし，
V = Fk∗ Fk ;
Fk∗ =
∂W
.
∂Φk
(1.3.71)
ここで，ψi ψj = αβ ψiα ψjβ が i, j の入れ替えについて対称となることに注意．
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
24 目次へ
Berezin 積分 一般に Grassmann 変数 θ に対して，
dθ = 0,
dθ θ = 1
と定義する．このとき，
1
d2 θ = dθ1 dθ2
2
とおくと，一般のカイラル超場 Φ に対して，
√
2
d2 θ A(y) + 2θφ(y) + (θθ)F (y)
d θ Φ(x, θ) =
√
2 m
1
(θ̄θ̄)A(x) + i
θ̄σ̄ ∂m ψ(x) + F (x)
=
4
2
より，
4
2
d x d θ Φ(x, θ) = d4 x F (x).
また， 一般のベクトル超場 V に対して，
1
d2 θd2 θ̄ V (x, θ) = (2D(x) + C(x))
4
より，
4
dx
2
2
d θd θ̄ V (x, θ) =
1
d4 x D(x)
2
(1.3.72)
(1.3.73)
(1.3.74)
(1.3.75)
(1.3.76)
(1.3.77)
となる．
一般カイラル相互作用 カイラル超場のみを含む最も一般的な Lagrangian は Kähler
ポテンシャル K(Φ, Φ† ) と超ポテンシャル W (Φ) を用いて
L =
2
2
†
d θd θ̄ K(Φ, Φ ) +
d2 θ W (Φ) + h.c..
(1.3.78)
と表される．ここで D 項については，
1
1
1
ī
†
i
K(Φ, Φ ) ⇒
∂i K A + ∂ī K Ā + ∂i ∂j̄ K −
∂m Ai ∂ m Āj̄
4
4
2
+∂i ∂j̄ KF i F̄ j̄
↔
i
1
+∂i ∂j̄ K −
ψ̄ j̄ σ̄ · ∂ ψ i + ∂i ∂j ∂k̄ ∂l̄ K(ψ i ψ j )(ψ̄ k ψ̄ l )
2
4
1
1
− ∂i ∂j ∂k̄ K(ψ i ψ j )F̄ k̄ − ∂ī ∂j̄ ∂k K(ψ̄ ī ψ̄ j̄ )F k
(1.3.79)
2
2
K に対応する Kähler 計量を
∂ ∂
gij ∗ =
K|0
(1.3.80)
∂Ai ∂A∗j
とおくと，ラグランジアンは成分場を用いて次のように表される：
1
L = −gij ∗ ∂m Ai ∂ m A∗j − igij ∗ χ̄j σ̄ m Dm χi + Rij ∗ kl∗ χi χk χ̄j χ̄l
4
1
1
∗
− Di Dj W χi χj − Di∗ Dj ∗ W ∗ χ̄i χ̄j − g ij Di W Dj ∗ W ∗ .
(1.3.81)
2
2
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
可換ゲージ超場
25 目次へ
カイラル超場 Φ を用いて，ベクトル超場 V のゲージ変換を
V → V + Φ + Φ†
(1.3.82)
により定義すると，
C → C + A + A∗ ,
√
χ → χ − i 2ψ,
(1.3.83a)
(1.3.83b)
M + iN → M + iN − 2iF,
(1.3.83c)
∗
vm → vm − i∂m (A − A ),
(1.3.83d)
λ → λ,
(1.3.83e)
D → D.
(1.3.83f)
これより、ゲージ条件
C=M =N =χ=0
(1.3.84)
を課すことは常に可能で、このゲージでは
1
V = −θσ m θ̄vm (x) + iθθθ̄ λ̄(x) − iθ̄ θ̄θλ(x) + θθθ̄ θ̄D(x)
2
一般に、{Dα , Dβ } = 0， D̄α̇ , D̄β̇ = 0 より，
Dα Dβ Dγ ≡ 0,
D̄α̇ D̄β̇ D̄γ̇ ≡ 0.
(1.3.85)
(1.3.86)
これより
1
Wα := − D̄ D̄Dα V,
4
1
W¯α̇ := − DD D̄α̇ V
4
(1.3.87)
はゲージ不変なカイラル超場となり，次の関係式を満たす：
D̄β̇ Wα = 0,
Dβ W¯α̇ = 0,
成分場で表すと、
Wα = −iλα (y) +
W¯ α̇
D α Wα = D̄α̇ W¯ α̇ .
δαβ D(y)
(1.3.88)
i m n β
− (σ σ̄ )α vmn (y) θβ
2
+θθσαmα̇ ∂m λ̄α̇ (y),
i m n α̇
α̇ +
α̇
+
+
= iλ̄ (y ) + δβ̇ D(y ) + (σ̄ σ ) β̇ vmn (y ) θ̄β̇
2
mα̇α
+
−θ̄ θ̄σ̄
∂m λ̄α (y ).
(1.3.89a)
(1.3.89b)
ここで、
y = x + iθσ θ̄,
y + = x − iθσ θ̄,
vmn (x) = ∂m vn (x) − ∂n vm (x).
(1.3.90)
(1.3.91)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
26 目次へ
非可換ゲージ超場 ゲージ群の Lie 代数 g（基底 {Ta }）に値を取るベクトル超場を
V = T a Va
(1.3.92)
として，そのゲージ変換を，g に値をとるカイラル超場
Λ = T a Λa
(1.3.93)
を用いて，
V → V ;
†
eV = e−iΛ eV eiΛ
(1.3.94)
により定義する．このとき，g に値を取るカイラルな超場
1
Wα = − D̄ D̄e−V Dα eV
4
(1.3.95)
はゲージ変換に対して，
Wα → Wα = e−iΛ Wα eiΛ
(1.3.96)
と変換し，場の強度を表す超場となる．
（非可換）ゲージ理論:
Wα として、
L =
ゲージ超場 V に対応する場の強度を表すカイラル超場を
1
(W α Wα |F + h.c.) .
16kg 2
(1.3.97)
ただし，ゲージ群の Lie 代数の基底 {Ta } を
Tr(Ta Tb ) = kδ ab ⇒
[T a , T b] = it[abc] T c
(1.3.98)
と規格化するものとする．このとき，rescale V → 2gV により，成分場を用いて
1
1
(a)
L ∼
− iλ̄(a) σ̄ · Dλ(a) . + D (a) D (a) .
= − v (a) mn vmn
4
2
(1.3.99)
ここで，
(a)
(a)
(b) (c)
vmn
= ∂m vn(a) − ∂n vm
− gtabc vm
vn ,
(1.3.100a)
−
(1.3.100b)
Dm λ
(a)
= ∂m λ
(a)
(b) (c)
gtabc vm
λ .
ゲージ相互作用 ゲージ群 G に対応するゲージ超場を V ，G の線形表現空間に値
を取るカイラル超場を Φ，その超ポテンシャルを W (Φ) とするとき，
L =
1
(W α Wα |F + h.c.) + Φ† eV Φ|D + W (Φ)|F + h.c.
2
16kg
(1.3.101)
ここで，W は G 不変性
W (UΦ) = W (Φ) ∀U ∈ g
(1.3.102)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
27 目次へ
を持つものとする．このとき，Λ を G の Lie 代数に値を取る任意のカイラル超場
として，ゲージ変換
Φ = e−iΛ Φ,
†
eV = e−iΛ eV eiΛ
(1.3.103)
に対して，L は不変となる．
成分場で表し，F 項を消去すると，
L
1
(a)
= −iλ̄(a) σ̄ · Dλ(a) . − v (a) mn vmn
− iψ̄σ̄ · Dψ − DA† · DA
4
1
−VF (A) + D (a) D (a) + gD (a) A† T (a) A
√ † 2 (a) (a)
+i 2g A T ψλ − h.c. + (A − ψ の Yukawa 相互作用).(1.3.104)
ここで，D はゲージ接続に関する共変微分で，
(a) (a)
Dm A = ∂m A + igvm
T A,
(1.3.105a)
(a) (a)
T ψ,
Dm ψ = ∂m ψ + igvm
(1.3.105b)
Dm λ
(a)
=
(a)
vmn
=
(b) (c)
∂m λ − gtabc vm
λ ,
(a)
(a)
(b) (c)
∂m vn − ∂n vm − gtabc vm
vn .
(a)
(1.3.105c)
(1.3.105d)
また，
VF = Fk∗ Fk ;
Fk∗ =
∂W (A)
.
∂Ak
(1.3.106)
さらに，D (a) を消去すると，全ポテンシャルは
V = VF + VD ,
1
VD = D (a) D (a) ;
2
(1.3.107)
D (a) = −gA† T (a) A.
(1.3.108)
超対称変換は
δA =
√
2ξψ,
√
√ m
¯ m A + 2ξF,
δψ = i 2σ ξD
√
δF = i 2ξ¯σ̄ m Dm A + 2igT (a) Aξ¯λ̄(a) ,
δv (a) = −iλ̄(a) σ̄ m ξ + iξ¯σ̄ m λ(a) ,
(1.3.109a)
(1.3.109b)
(1.3.109c)
m
(1.3.109d)
δλ = σ mn ξvmn + iξD,
(1.3.109e)
¯
δD(a) = −ξσ m Dm λ̄(a) − Dm λ(a) σ m ξ.
(1.3.109f)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
28 目次へ
§1.4
重力相互作用の導入
動機
SGUT ⇒
Sugra GUT
• Flat inflaton potential
1.4.1
一般相対論の復習
• 曲がった時空と局所慣性系
– 等価原理 ⇒
局所慣性系
– 一般共変性 ⇒
一般座標
• 多様体： (M, C ∞ )
• ベクトルとベクトル場： V ∈ Tx M
δxµ ⇒
Vµ
⇒
∂xµ
∂xν
ν
,
Λ
=
,
µ
∂xν
∂xµ
V µ (x ) = Λµ α V α (x), ∂µ f (x ) = Λµ α ∂α f (x),
⇒
V µ (x )∂µ f (x ) = V µ (x)∂µ f (x).
xµ = xµ (x) : Λµ ν =
V = V µ (x)∂µ ∈ Tx M : f (x) → ∂V f = V µ ∂µ f (x);
∂V (f g) = (∂V f )g + f ∂V g.
• 双対ベクトルと１形式： Tx∗ M ωx :
Tx M → R
dxµ (∂ν ) = δνµ , ωx (∂µ ) = ωµ (x) ⇒
xµ = xµ (x) ⇒
dxµ = Λµ ν dxν ⇒
ωx = ωµ (x)dxµ ,
ωµ (x ) = Λµ ν ων (x).
• 一般テンソル： T ∈ Tqp (M)
T µ··· ν··· = Λµ α · · · Λν β · · · T α··· β···
⇔
T = T µ··· ν··· ∂µ ⊗ · · · ⊗ dxν ⊗ · · · ∈ Tx M ⊗ · · · ⊗ Tx∗ M ⊗ · · ·
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
• 微分形式： ω ∈ A p (M)
29 目次へ
⇔
ω ∈ Tp (M) : 完全反対称
∧ : A p (M) × A q (M) → A p+q (M), (α, β) → α ∧ β;
αp ∧ βq = (−1)pq βq ∧ αp ,
1
⇒ ωp = ωµ1 ···µp dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµp ,
p!
p
d : A (M) → A p+1 (M);
d(αp ∧ β) = (dαp ) ∧ β + (−1)p αp ∧ dβ,
d2 = 0,
dφ = ∂µ φdxµ , φ ∈ A 0 (M),
⇒
dω = dxµ ∧ ∂µ ω.
• フレーム場とフレーム束： SO(M) ⊂ L(M)
– 局所慣性系 ⇒
局所フレーム:
ea = eµa ∂µ , θa = θµa dxµ (a = 0, 1, 2, 3);
– 局所ローレンツ変換 ⇒
θa (eb ) = δba .
ea = eb Λb a
– 計量テンソル
g(ea , eb ) = ηab .
• アフィン接続: ISO(M) = T M ×M SO(M) における接続．ISO(M) の断面
u = (P, ea ) に対して，
∇X ea = eb ω ba (X),
∇X P = X + ea (∂X P a + ω a b (X)P b ).
等長性： ωab = −ωba
• 捩れ曲率：
– 捩れ形式: τ a := Dθa ≡ dθa + ω a b ∧ θb .
– 曲率形式：R a b := dω a b + ω a c ∧ ω c b
微小面 dS の縁にそうアフィンフレームの平行移動 (ea P a , eb Λba ) に対して，
Ṗ a = −θa (ẋ) − ω a b (ẋ)P b ,
Λ̇a b = −ω a c (ẋ)Λc b
より，
δP = −
a
a
τ ,
dS
δΛ
a
b
=−
R ab.
dS
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
30 目次へ
テンソルとして表すと，
T (X, Y ) := ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = ea τ a (X, Y ),
R(X, Y )Z := ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z = ea R a b (X, Y )Z b .
• Bianchi 恒等式:
第１ Bianchi 恒等式： Dτ a = R a b ∧ θa
第２ Bianchi 恒等式： DR a b = 0
• Riemann 接続: 捩れがない条件 τ a = 0 を課すと，
1
dθa = f a bc θb ∧ θc
2
に対して，
ωab =
1
(fabc − fcab + fbca ) θc .
2
これより，重力場を記述する基本変数として，フレーム場 θa ないし対応す
る計量テンソル
gµν = ηab θµa θνb
(1.4.1)
を採用することができる．
• Einstein-Hilbert 作用積分 時空の次元を D として，
a
Rbµν
⇒ Rµν = eαa Ra bαν θµb ⇒ R = g µν Rµν ,
√
1
S = 2 dD x −g (R(g) − 2Λ) .
2κ
(1.4.2)
(1.4.3)
• Palatini 作用積分 Ia := Iea として，
R = eµa eνb Rab µν = Ib Ia R ab .
(1.4.4)
これより，体積要素を
Ω=
√
−gdxD =
1
a1 ···aD θa1 ∧ · · · θaD
D!
(1.4.5)
として，
RΩ = ∓Ib Ω ∧ Ia R ab = Σab ∧ R ab .
(1.4.6)
ここで，
Σab := Ib Ia Ω =
1
abc1 ···cD−2 θc1 ∧ · · · θcD−2 .
(D − 2)!
(1.4.7)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
31 目次へ
変分をとると
δRab = Dδωab
(1.4.8)
より，
δ(RΩ) = δΣab ∧ Rab + Σab ∧ Dδωab
ab
= δΣab ∧ Rab − (−1)D DΣab ∧ δω ab + (−1)D d(Σab ∧ δω (1.4.9)
).
まず，ωab に関する変分より，
1
abc1 ···cD−2 τ c1 ∧ θc2 ∧ · · · θcD−2
(D − 3)!
c
= τ ∧ Ia Ib Ic Ω
0 = DΣab =
= Ic (τ c ∧ Ia Ib Ω) − Ic τ c ∧ Ia Ib Ω
= Ic (−Ia τ c ∧ Ib Ω) + Ia (Ic τ c ∧ Ib Ω) − Ia Ic τ c ∧ Ib Ω
c
c
c
Ic Ω + τcb
Ia Ω − τca
Ib Ω
= τab
(1.4.10)
よって，
c
d c
d c
τab
+ τdb
δa − τda
δb = 0
⇔
τ a = 0.
(1.4.11)
次に，
δΣab = δθc ∧ Ic Ib Ia Ω
(1.4.12)
より，θa に関する変分方程式は
0 = R ab ∧ Ib Ia Ic Ω
= Ib (R ab ∧ Ia Ic Ω) − Ib R ab ∧ Ia Ic Ω
= Ib (−Ia R ab ∧ Ic Ω) + Ia (Ib R ab ∧ Ic Ω) − Ia Ib R ab Ic Ω
= −Ic Ia R ab Ib Ω + Ic Ib R ab Ia Ω − Ia Ib Ωab Ic Ω
1 b
b
= − Rc − Rδc Ib Ω.
2
(1.4.13)
スピノール接続 スピノール群 Spin(n − 1, 1) の Clifford 代数 CD への埋め込みお
よび CD の既約表現 CD ∼
= C(2[n/2] ) により定義される：
Spin(n − 1, 1) ⊂ C0n−1,1 ⊂ Cn → C(2[n/2] ).
(1.4.14)
さらに，Lorentz 群のスピノール表現
SO0 (n − 1, 1) Λ → S(Λ) ∈ Spin(n − 1, 1)
(1.4.15)
S(v a Γa )S −1 = (Λv)a Γa
(1.4.16)
は
⇔
SΓa S −1 = (Λ−1 )a b Γb
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
32 目次へ
により定義される．対応して，スピノール Ψ ∈ C(2[n/2] ) は，擬直交基底の変換に
対して
θa = Λa b θb → Ψ = S(Λ)Ψ
(1.4.17)
と変換する量の組として定義される．
特に，無限小 Lorentz 変換 δΛ に対して
δΛab = ωab ⇒
1
δS(Λ) = ωab Γab .
4
(1.4.18)
これより，スピノールの共変微分は
1
∇X Ψ = ∂X Ψ + ωab (X)Γab Ψ.
4
(1.4.19)
特に，D = 4 の Weyl 表示では，
γ 0 = −iσ1 ⊗ 1,
γ j = −σ2 ⊗ σ j ,
γ(4) = −γ5 = −σ3 ⊗ 1,
B = iσ2 ⊗ σ2 ,
C = −iσ3 ⊗ σ2
(1.4.20)
Γjk = ijkl 1 ⊗ σ l
(1.4.21)
より，
Γ0j = −σ3 ⊗ σ j ,
なので，
1 ab
1
i
Γ ωab = − ω0j σ3 ⊗ σ j + jkl ω jk 1 ⊗ σ l
4
2
4
(1.4.22)
σ ab を
σ̄ a := −σa = −σ aT ,
1 a
σ σb − σ b σa ,
σ ab := −σ [a σ̄ b] =
2
1
ab
[a b]
σ̄ := −σ̄ σ =
σa σ b − σb σ a
2
とおくと，左巻き Weyl スピノールに対して，
1
∇ψ = Dψ = dψ + ωab σ ab ψ.
4
(1.4.23)
(1.4.24)
(1.4.25)
(1.4.26)
また，右巻きスピノール χ = ψ ∗ に対して
1
∇χ = Dχ = dψ + ωab σ̄ ab χ.
4
(1.4.27)
曲率形式の定義より
1
[∇µ , ∇ν ]Ψ = Rab ∧ Γab Ψ
4
(1.4.28)
Weyl 表示では，
1
[Dµ , Dν ]ψ = Rab ∧ σ ab ψ.
4
(1.4.29)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
1.4.2
33 目次へ
単純超重力理論
References
• Freedman DZ, van Nieuwenhuizen P: Phys. Rev. D13, 3214-8 (1976).
• Deser S, Zumino B: Phys. Lett. B62, 335-7 (1976).
作用積分
1
S= 2
2κ
d4 x eR − eµνλσ ψ̄µ σ̄ν Dλ ψσ + Dλ ψ̄σ σν ψµ .
(1.4.30)
ここで，
R = eµa eνb R ab µν (ω),
1
Rabµν dxµ ∧ dxν = dωab + ωac ∧ ω c b ,
Rab =
2
1
Dµ ψν = ∂µ ψν + ωabµ σ ab ψν ,
4
1
Dµ ψ̄ν = ∂µ ψ̄ν + ωabµ σ̄ ab ψ̄ν .
4
(1.4.31)
(1.4.32)
(1.4.33)
(1.4.34)
ただし，
σ̄ a = −σa = −σ aT ,
(1.4.35a)
σ ab = −σ [a σ̄ b] ,
(1.4.35b)
σ̄ ab = −σ̄ [a σ b] .
(1.4.35c)
いま，
Ω := d4 xe,
ψ := ψµ dxµ , σ̄ := σ̄µ dxµ ,
1
Σab := Ib Ia Ω = abce θc ∧ θd
2
とおくと，作用積分 S = (1/2κ2 ) L は
L =
1
Σab ∧ R ab + ψ̄ ∧ σ̄ ∧ Dψ − (Dψ)† ∧ σ̄ ∧ ψ .
2
(1.4.36)
(1.4.37)
(1.4.38)
さらに，
1
D σ̄ = dσ̄ − ωab σ ab† σ̄ + σ̄σ ab
4
a
= (dθ + ω a b ∧ θb )σ̄a
(1.4.39)
D σ̄ = τ a σ̄a .
(1.4.40)
より
よって，
d(ψ̄ ∧ σ̄ ∧ ψ) = D ψ̄ ∧ σ̄ ∧ ψ − ψ̄ ∧ τ a σ̄a ∧ ψ + ψ̄ ∧ σ̄ ∧ Dψ.
(1.4.41)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
34 目次へ
場の方程式
δRab = Dδωab ,
(1.4.42a)
δΣab = abcd θc ∧ δθd = Id Ia Ib Ω ∧ δθd .
(1.4.42b)
より
δ(R ab ∧ Σab ) = Dδω ab ∧ Σab + R ab ∧ Id Ia Ib Ω ∧ δθd .
(1.4.43)
ここで，
R ab ∧ Id Ia Ib Ω = Id (R ab ∧ Ia Ib Ω) − Id R ab ∧ Ia Ib Ω
= Id (−Ia R ab ∧ Ib Ω) + Ia (Id R ab ∧ Ib Ω) − Ia Id R ab Ib Ω
= Id (−Ib Ia R ab Ω) + Ia (Ib Id R ab Ω) − Ia Id R ab Ib Ω
= (2Rda − Rηda )I a Ω.
(1.4.44)
ただし，
Raµ := eνb Rb aνµ = (Ib R b a )(∂µ ).
(1.4.45)
よって，
δ(R ab ∧ Σab ) = −abcd τ c ∧ θd ∧ δω ab + (2Ra b − Rδab )Ib Ω ∧ δθa + d(Σab ∧ δω ab ).
(1.4.46)
これらを用いると，
δL
A
B ab
Ea b
≈ −δ ψ̄ ∧ A + A † ∧ δψ + B ab ∧ δωab + Ea b Ib Ω ∧ δθa ;
1
= σ̄ ∧ Dψ − τ a ∧ σ̄a ψ,
2
1 c
d
d
Ic Ω,
= − τ̂ab − δac τ̂db
+ δbc τ̂da
2
1
= Gba −
ψ̄c σ̄a (∗Dψ)bc + (D ψ̄)bc σ̄a ψc .
2
(1.4.47)
(1.4.48)
(1.4.49)
(1.4.50)
ただし，
c
c
τ̂ab
:= τab
− iψ̄[a σ̄ c ψb] .
超対称性
(1.4.51)
恒等式
i
1
DA ≡ − Ea b Ib Ω ∧ σ̄ a ψ + τ̂ a ∧ σ̄a Dψ.
2
2
(1.4.52)
より，ζ を任意のスピノールとして，
−2d(ζ̄A + A † ζ) = −(2D ζ̄) ∧ A + A † ∧ (2Dζ)
−τ̂ a ∧ (ζ̄ σ̄a Dψ + (Dψ)† σ̄a ζ)
+Eab I b Ω ∧ (−iψ̄σ̄ a ζ + iζ̄ σ̄ a ψ).
(1.4.53)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
35 目次へ
よって，超対称変換
δψ = 2Dζ,
(1.4.54a)
δθa = i(ζ̄ σ̄ a ψ − ψ̄σ̄ a ζ),
1
( ∗δω)ab = (Xa;bc − Xc;ab + Xb;ca ) θc ,
4
1
Xa = Xa;bc θb ∧ θc = ζ̄ σ̄a Dψ + (Dψ)† σ̄a ζ.
2
(1.4.54b)
(1.4.54c)
(1.4.54d)
に対して，作用積分は不変となる：
δζ L
≈ −δ ψ̄ ∧ A + A † ∧ δψ + B ab ∧ δωab + Eab I b Ω ∧ δθa
= −2d(ζ̄A + A † ζ) ≈ 0.
(1.4.55)
ここで，δωab は次のようにも表される：
1
2Bc;ab + B d da δbc − B d db δac θc ,
2
a
1
Ba =
ζ̄ σ̄ ( ∗Dψ) + ( ∗Dψ)† σ̄ a ζ .
2
δωab =
1.4.3
(1.4.56)
(1.4.57)
曲がった超空間
超空間
• 局所座標系
M (z M ) = (xm , θµ , θ̄µ̇ ).
(1.4.58)
ここで，
z M z N = (−1)M̂ N̂ z N z M (m̂ = 0, µ̂ = 1),
(1.4.59a)
N
+ (−1)M̂ N̂ z N ∂M .
∂M z N = δM
(1.4.59b)
• 超ベクトル場
V = V M ∂M ∈ Tz M .
(1.4.60)
• 超微分形式 p 次超微分形式 ω ∈ A p (M ) およびその外微分を次のように定義
する：
(−1)p(p−1)/2 Mp
dz ∧ · · · ∧ dz M1 ωM1 ···Mp ,
ω=
p!
z M dz N = (−1)M̂ N̂ dz N z M ,
dω := dz M ∧ ∂M ω;
(1.4.61)
dz M ∧ dz N = −(−1)M̂ N̂ dz N dz M
(1.4.62)
,
(dω)M1 ···Mp+1 = (p + 1)∂[M1 ωM2 ···Mp+1 ]±(1.4.63)
d(ωp ∧ χq ) = dωp ∧ χq + (−1)p ωp ∧ dχq .
(1.4.64)
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
36 目次へ
• 超フレーム場 超接空間 T (M ) および超余接空間 T ∗ (M ) の基底場を
E A = dz M EM A (z),
N
,
EM A EA N = δM
EA = EA M (z)∂M ,
EA M EM B = δAB .
(1.4.65)
(1.4.66)
により導入する．ただし，フレーム添え字 A = (a, α, α̇), B = (b, β, β̇), · · · の
上げ下げは，a, b, · · · は ηab で，α, β, · · · (α̇, β̇, · · · ) は αβ , αβ (α̇β̇ , α̇β̇ ) で左か
らの作用で行う：
12 = −1,
βγ
αβ =
12 = 1,
(1.4.67)
δαγ .
(1.4.68)
アフィン接続
• 超接続形式 各超フレーム場 E A に対して、超接続形式 φA B を対応させる：
E A → φA B = dz M φM A B ;
φAB = −(−1)ÂB̂ φBA .
(1.4.69)
超フレーム場の局所回転
δL E A = E B LB A (z)
(1.4.70)
に対して，超接続形式は
δL φM = [φM , L] + dL
(1.4.71)
と変換する．ただし，LA B は次の３種類の成分
La b ,
Lα β ,
Lα̇ β̇
(1.4.72)
以外はゼロとする．さらに，これらは，sl(2, C) に属する Lα β (Lαβ = Lβα ) に
より完全に決まる：
σαα̇ a σβ β̇ b Lab = −2αβ Lα̇β̇ + 2α̇β̇ Lαβ .
(1.4.73)
対応して，φA B も
φa b ,
φα β ,
φα̇ β̇
(1.4.74)
以外の成分はゼロとなり，次の関係式が成り立つ：
σαα̇ a σβ β̇ b φab = −2αβ φα̇β̇ + 2α̇β̇ φαβ .
(1.4.75)
• 超共変微分 超１形式 ω に対して
DM ω = (−1)M̂ Â E A DM ωA ;
(1.4.76)
DM ωA = ∂M ωA + φM A ωB
(1.4.77)
B
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
37 目次へ
と定義すると，超コフレーム場の共変微分は
DM E A = (−1)M̂ B̂ E B φM B A
(1.4.78)
となり，コフレームの無限小変換 δL に対して
δL (DM E A ) = (DM E B )LB A .
(1.4.79)
また，超ベクトル場 V = V A EA に対して
DM V = (DM V A )EA ;
DM V
A
= ∂M V
A
(1.4.80)
− (−1)
M̂ B̂
B
A
V φM B .
(1.4.81)
超フレーム場の共変微分は
DM EA = −φM A B EB
(1.4.82)
• 超共変外微分 超テンソルに値を取る p-形式 X A··· の共変外微分 DX A···（超
テンソルに値を取る (p + 1)-形式が，任意の超テンソル ωA··· に対して
DωA··· = dz M DM ωA···,
d(ωA···X
A···
(1.4.83a)
) = (DωA··· ) ∧ X
A···
+ ωA···DX
A···
(1.4.83b)
が成り立つという要請に一意的に定まり，
DX A = dX A + (−1)p+1 X B ∧ φB A ,
(1.4.84a)
DY AB = dY AB + (−1)p+1 (−1)B̂(Ĉ+Â) Y CB ∧ φC A + Y AC ∧ φC B .
(1.4.84b)
• 超捩れ形式と超曲率形式 超捩れ形式 T A と超曲率形式 RA B を
T A = DE A ≡ dE A + E B ∧ φB A ,
(1.4.85a)
RA = dφA + φA ∧ φC
(1.4.85b)
B
B
C
B
により定義する．成分で書くと，
TM N A = 2∂[M EN } A − 2φ[M N } A ,
(1.4.86a)
RM N A B = 2∂[M φN }A B − 2(−1)M̂ (N̂ +Â+Ĉ) φ[N |A| C φM }C B . (1.4.86b)
また，次の関係式が成り立つ：
[DA , DB }Φ = −2TAB C DC Φ,
(1.4.87a)
2[DA , DB }VC = RABC VD − TAB DD VC .
D
D
(1.4.87b)
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
38 目次へ
これらに対して次の Bianchi 恒等式が成り立つ：
DT A ≡ dT A − T B ∧ φB A = −E B ∧ RB A ,
(1.4.88a)
DRA B = 0.
(1.4.88b)
また，RM N A B の成分は関係式
RN M ab = −RN M ba ,
(1.4.89a)
RN M αβ = RN M βα ,
(1.4.89b)
RN M α̇β̇ = RN M β̇ α̇ ,
(1.4.89c)
σαα̇ a σβ β̇ b RN M ab = −2αβ RN M α̇β̇ + 2α̇β̇ RN M αβ
(1.4.89d)
を満たし，これ以外の成分はゼロとなる．
超 Riemann 接続
• 平坦な場合： 平坦な超空間では、∂m により生成される通常の４次元的
並進対称性と超対称変換 Qα , Q̄α̇ により生成される奇次元への並進があり，
∂m , Dα , D̄α̇ がこれらの変換で不変な超ベクトル場の基底となる．したがっ
て，標準基底として最も自然なものは
Ea = δam ∂m ,
(1.4.90a)
Eα = Dα = ∂α + iσαmα̇ θ̄α̇ ∂m ,
Eα̇ = D̄α̇ = −∂¯α̇ − iθα σ m ∂m .
(1.4.90b)
αα̇
(1.4.90c)
対応する双対基底は
E a = dxa − idθα σαmα̇ θ̄α̇ + iθα σαmα̇ dθ̄α̇ ,
E
α
α
= dθ ,
α̇
α̇
E = dθ .
(1.4.91a)
(1.4.91b)
これらが平行，したがって φA B = 0 とすると，
T a = dE a = 2iσαa α̇ dθα ∧ dθ̄α̇ ,
T α = T α̇ = 0.
(1.4.92)
よって，
Tαaα̇ = 2iσαa α̇ ,
他の成分 = 0.
(1.4.93)
• 超捩れテンソルへの制限 超捩れテンソルに対して，次の成分以外はゼロで
あることを要求する：
Tαβ̇ c = Tβ̇α c = 2iσαβ̇ c ,
(1.4.94a)
Tab γ/γ̇ ,
(1.4.94b)
Taβ/β̇ γ/γ̇
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
このとき，T
A
39 目次へ
と RA B は条件
Wαβγ = W(αβγ) ,
(Wαβγ )† = W̄α̇β̇ γ̇ ,
(1.4.95a)
(Gαα̇ )† = Gαα̇ ,
(1.4.95b)
D̄α̇ R = 0,
(1.4.95c)
D̄α̇ Wβγδ = 0,
Dα W̄β̇ γ̇ δ̇ = 0,
D α Gαβ̇ = D̄β̇ R † , D̄ β̇ Gαβ̇ = Dα R,
1 D̄ α̇ W̄α̇β̇ γ̇ + i Dβ β̇ Gβ γ̇ + Dβ γ̇ Gβ β̇ = 0,
2
1 D α Wαβγ + i Dβ β̇ Gγ β̇ + Dγ β̇ Gβ β̇ = 0,
2
(1.4.95d)
(1.4.95e)
(1.4.95f)
(1.4.95g)
を満たす超場 R, Gαα̇ , Wαβγ により完全に決定される：
Torsion:
Tαβ̇ c = Tβ̇α c = 2iσαβ̇ c ,
(1.4.96a)
Taβ̇ γ = −Tβ̇a γ = iσ̄aβ̇ γ R,
(1.4.96b)
(1.4.96c)
Taβ γ̇ = −Tβa γ̇ = iσ̄a γ̇ β R † ,
i ˙
σ̄a −δγ Gβ ˙ + 3δβγ G˙ − 3β Gγ ˙ ,
(1.4.96d)
Taβ γ = −Tβa γ =
8
i ˙
(1.4.96e)
σ̄a −δγ̇˙ Gβ̇ + 3δβ̇γ̇ G˙ − 3β̇ ˙ G γ̇ ,
Taβ̇ γ̇ = −Tβ̇a γ̇ =
8
1 αα̇ β β̇
γ
γ
γ
γ
γ
δ̇
δ̇
Tab = −Tba =
−4α̇β̇ Wαβ + α̇β̇ δα D̄δ̇ Gβ + δβ D̄δ̇ Gα
σ̄a σ̄b
8
(1.4.96f)
+αβ D̄α̇ Gγ β̇ + D̄β̇ Gγ α̇ ,
1 αα̇ β β̇
Tab γ̇ = −Tba γ̇ =
−4αβ W̄α̇β̇ γ̇ + αβ δα̇γ̇ Dδ Gδ β̇ + δβ̇γ̇ Dδ Gδdα
σ̄a σ̄b
8
(1.4.96g)
+α̇β̇ Dα Gβ γ̇ + Dβ Gα γ̇ .
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40 目次へ
Curvature:
Rαβγδ = −8α(γ δ)β R † ,
Rα̇β̇ γ̇ δ̇ = −8α̇(γ̇ δ̇)β̇ R,
Rα̇βγδ = −2β(γ Gδα̇ , Rαβ̇ γ̇ δ̇ = −2β̇(dγ Gδ̇α ,
i
Raβγδ = − σ̄a αα̇ −2β(γ δ)α Dφ Gφ α̇ + β(α Dβ) Gδα̇
2
+β(α Dδ) Gγ α̇ ,
i
Raβ̇ γ̇ δ̇ = − σ̄a αα̇ −2β̇(γ̇ δ̇)α̇ D̄φ Gα φ̇ + β̇(α̇ D̄β̇) Gαδ̇
2
+β̇(α̇ D̄δ̇) Gαγ̇ ,
i
Raβ̇γδ = σ̄a αα̇ 4β̇ α̇ Wαγδ + α(γ D̄|β̇| Gδ)α̇ ,
2
i
Raβ γ̇ δ̇ = σ̄a αα̇ 4βα W̄α̇γ̇ δ̇ + α̇(γ̇ D|β| G|α|δ̇) ,
2
1 αα̇ β β̇ α̇β̇ Xαβγδ − αβ Ψγδα̇β̇ ,
Rabγδ = σ̄a σ̄b
2
1 αα̇ β β̇ Rabγ̇ δ̇ = σ̄a σ̄b
−αβ X̄α̇β̇ γ̇ δ̇ + α̇β̇ Ψαβ γ̇ δ̇ ,
2
1
Xαβγδ = −D(α Wβγδ) − α(γ δ)β −4RR † + Gρρ̇ Gρρ̇
4
1
ρ̇ †
ρ
+ D̄ρ̇ D̄ R + D Dρ R ,
8
1
i
D(α|γ̇| Gβ)δ̇ + D(α|δ̇| Gβ)γ̇
Ψαβ γ̇ δ̇ = Gα(δ̇ G|β|γ̇) +
2
4
1
+ D̄γ̇ D(α Gβ)δ̇ + D̄δ̇ D(α Gβ)γ̇ .
4
(1.4.97a)
(1.4.97b)
(1.4.97c)
(1.4.97d)
(1.4.97e)
(1.4.97f)
(1.4.97g)
(1.4.97h)
(1.4.97i)
(1.4.97j)
超場
• 超ゲージ変換 超ゲージ変換を超並進 ξ A = ξ M EM A とそれから決まる無限小
局所超 Lorentz 変換 LA B の組
δξ = (ξ A = ξ M EM A , LA B = ξ M φM A B )
(1.4.98)
により定める．例えば，超スカラ場 Φ，超ベクトル場 V A に対する超ゲージ
変換は
δξ Φ = −ξ M ∂M Φ = −ξ A DA Φ,
(1.4.99a)
δξ V A = −ξ M DM V A .
(1.4.99b)
このゲージ変換の交換関係は
[δξ , δη ]V A = V D ξ C η B RBCD A − ξ C η B TBC D DD V A
(1.4.100)
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
41 目次へ
• 部分ゲージ固定 超ゲージ変換で双対フレーム場 E A および接続形式 φA B は
次のように変換する：
δξ EM A = −DM ξ A − ξ N TN M A ,
(1.4.101a)
δξ φM A B = −ξ N RN M A B .
(1.4.101b)
この変換を用いると，超（双対）フレーム場の最低次成分は次の形に変換で
きる：
⎛
⎞
em a (x) 12 ψm α (x) 12 ψ̄m α̇ (x)
⎜
⎟
EM A |0 = ⎝ 0
(1.4.102a)
δµ α
0
⎠.
µ̇
0
0
δ α̇
⎞
⎛
ea m (x) − 12 ψa µ (x) 12 ψ̄a µ̇ (x)
⎟
⎜
EA M |0 = ⎝ 0
(1.4.102b)
δα µ
0 ⎠.
α̇
0
0
δ µ̇
また，局所超 Lorentz 変換を用いると，接続形式の最低次成分は次の形に変
換できる：
φmA B |0 = ωmA B (x),
φµA B |0 = φµ̇ A B |0 = 0.
(1.4.103)
• 超重力場 この部分ゲージ固定のもとでは，すべての超幾何学量 (E A, φA B , T A , RA B )
が，E A , R, Ga = −(1/2)σa αα̇ Gαα̇ の最低次成分
em a (x),
ψm α (x),
M(x) = −6R|0 ,
(1.4.104a)
ba = −3Ga |0
(1.4.104b)
のみで表される．
• 超重力変換 上記の部分ゲージ条件を保つ超ゲージ変換と局所超 Lorentz 変換
の組み合わせは，要請
ξ a |0 = 0,
ξ α |0 = ζ α(x),
ξ¯α̇ |0 = ζ̄α̇ (x),
LAB |0 = 0
(1.4.105)
のもとで，ζ α のみで一意的に定まり，
ξ α (z) = ζ α(x), ξ¯α̇ (z) = ζ̄α̇ (x),
ξ a (z) = 2i θσ a ζ̄(x) − ζ(x)σ a θ̄ ,
1 θα 2ζβ (x)M ∗ (x) − bβ γ̇ (x)ζ̄ γ̇ (x)
Lαβ (z) =
3 +θβ 2ζα (x)M ∗ (x) − bαγ̇ (x)ζ̄ γ̇ (x) ,
1 Lα̇β̇ (z) =
θ̄α̇ 2ζ̄β̇ (x)M(x) − ζ γ (x)bγ β̇ (x)
3 +θ̄β̇ 2ζ̄α̇ (x)M(x) − ζ γ (x)bγ α̇ (x) ,
1
1
Lab = (σ̄a σb )α̇β̇ Lα̇β̇ − (σa σ̄b )αβ Lαβ .
2
2
(1.4.106a)
(1.4.106b)
(1.4.106c)
(1.4.106d)
(1.4.106e)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
42 目次へ
この超重力変換に対して，超重力場は次のように変換する：
δem a = i(ψm σ a ζ̄ − ζσ a ψ̄m ),
(1.4.107a)
i
,
δψm α = −2Dm ζ α + em c M(σc ζ̄)α + 3bc ζ α + bd (ζσd σ̄c )a (1.4.107b)
a b 3
δM = −ζ σ σ̄ ψab + iba ψa − iσ a ψ̄a M ,
(1.4.107c)
1
i
3
δbαα̇ = ζ δ ψ̄α γ̇ δγ̇ α̇ + δα ψ̄ γ γ̇ γ α̇γ̇ − M ∗ ψαα̇δ
4
4
2
i ρ̇
ρ̇
ρ̇
+ ψ̄αρ̇ bδα̇ + ψ̄δρ̇ bαα̇ − ψ̄δ α̇ bαρ̇
4
3
1
i
−ζ̄ δ̇ ψ γ δ̇γ α̇α + δ̇α̇ ψα γ̇γ dγγ + M ψ̄αα̇δ̇
4
4
2
i ρ
ρ
ρ
− ψρα̇ bαδ̇ + ψρδ̇ bαα̇ − ψ δ̇α bρα̇ .
(1.4.107d)
4
• カイラル超場 条件
D̄α̇ Φ = 0
(1.4.108)
を満たす超場をカイラル超場という．この超場の成分を
A = Φ|0 ,
1
χα = √ Dα Φ|0 ,
2
1
F = − D α Dα Φ|0
4
(1.4.109)
により定義すると，Φ の超重力変換
δζ Φ = −ξ A DA Φ
(1.4.110)
は
√
δA = − 2ζ αχα ,
√
√
δχα = − 2ζα F − i 2σαβ̇ a ζ̄ β̇ D̂a A,
√
√
√
2 ∗ α
2
M ζ χα + ζ̄ α̇
bαα̇ χα − i 2D̂αα̇ χα .
δF = −
3
6
(1.4.111a)
(1.4.111b)
(1.4.111c)
ここで，
1
µ
D̂a A = ea
∂m A − √ ψm χµ ,
2
1
i
m
β
D̂a χα = ea
Dm χα − √ ψmα F − √ ψ̄m D̂αβ̇A .
2
2
m
(1.4.112a)
(1.4.112b)
• カイラル射影 任意の超場 F に対して，
2D(α Dβ) Dγ F = Rαβγ δ Dδ F − Tαβ A DA F
(1.4.113)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
43 目次へ
より，
2D[α Dβ] Dγ F = 2Dα Dβ Dγ F − Rαβγ δ Dδ F + Tαβ A DA F.
(1.4.114)
よって，
D[α Dβ] Dγ F + D[β Dγ] Dα F + D[γ Dα] Dβ F ≡ 0
(1.4.115)
と Bianchi 恒等式より
2(Dα Dβ Dγ + Dβ Dγ Dα + Dγ Dα Dβ )F
= −Tαβ A DA Dγ F − Tβγ A DA Dα F − Tγα A DA Dβ F
(1.4.116)
したがって，
Dβ Dγ Dα F = Dα Dβ Dγ F − Rαβγ δ Dδ F + Tαβ δ Dδ Dγ F − 2Dβ (Tγα A DA F )
(1.4.117)
を考慮すると，
6Dα Dβ Dγ F = 2(Rαβγ δ − Rγαβ δ )Dδ F
−2Tαβ δ Dδ Dγ F + 2Tγα δ Dδ Dβ F
− Tαβ A DA Dγ F + Tβγ A DA Dα F + Tγα A DA Dβ F
+4Dβ (Tγα A DA F ) − 4Dα (Tγβ A DA F ).
(1.4.118)
特に，Tαβ A = 0 のとき，
2
Dα D γ Dγ F = Rα γ γ δ Dδ F.
3
よって，
(1.4.119)
Dα (D γ Dγ − 8R † )F = 0,
(1.4.120a)
D̄α̇ (D̄γ̇ D γ̇ − 8R)F = 0.
(1.4.120b)
• カイラル座標系 カイラル超場 Φ が
√
Φ = A(x) + 2Θα χα (x) + Θα Θα F (x)
(1.4.121)
と表示される座標系 (xm , Θα , Θ̄α̇ ) を導入する．このとき，超重力変換はつぎ
のように表される：
δΦ = −η M (x, Θ)∂M Φ,
(1.4.122)
ここで，
η m = 2iΘσ m ζ̄ + ΘΘψ̄n σ̄ m σ n ζ̄,
1 ∗ α 1
α
α
m
α
M ζ + ba (σ a ζ̄)α
η = ζ − iΘσ ζ̄ψm + ΘΘ
3
6
1 α
αβ
m
n m
−iωm (σ ζ̄)β − ψn (ψ̄m σ̄ σ ζ̄) .
2
(1.4.123a)
(1.4.123b)
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
• カイラル密度 超重力変換に対して
M̂ M
δ∆ = −∂M (−1) η ∆
44 目次へ
(1.4.124)
と変換する超場 ∆ をカイラル密度とよぶ．∆ をカイラル密度，Φ をカイラル
超場とすると
δ(∆Φ) = −∂M (−1)M̂ η M ∆Φ
が成り立つ．例えば，
1
E |0 = det em a
2
となるカイラル密度 E は
2E = e 1 + iΘσ a ψ̄a − ΘΘ M ∗ + ψ̄a σ̄ ab ψ̄b .
1.4.4
(1.4.125)
(1.4.126)
(1.4.127)
超重力理論
一般カイラルモデル 曲がった超空間上のカイラル場に対する超重力変換で不変な
最も一般的な作用積分は，Kähler ポテンシャル K(Φ, Φ† ) と超ポテンシャル W (Φ)
を用いて，次のように表される．
3
2
−κ2 K(Φ,Φ† )/3
L = d Θ 2E
(D̄ D̄ − 8R)e
+ W (Φ) + h.c..
(1.4.128)
8κ2
R の成分場表示
−6R = M + Θ[σ a σ̄ b ψab − iσ a ψ̄a M + iψa ba ]
1
2
+ΘΘ R̂ + iψ̄ a σ̄ b ψab + MM ∗
2
3
1
1
1
+ ba ba − iea m Dm ba + ψ̄ ψ̄M − ψa σ a ψ̄c bc
3
2
2
1 abcd (1.4.129)
+ ψ̄a σ̄b ψcd + ψa σb ψ̄cd
8
より，L は成分場で次のように表される：
1
R̂ − gij ∗ ∂Ai · ∂A∗j − V(A)
e−1 L =
2
1
−igij ∗ χ̄i σ̄ m Dm χi + klmn ψ̄k σ̄l D̃m ψn + D̃m ψ̄n σl ψk
2
√
2
gij ∗ ∂n A∗j χi σ m σ̄ n ψm + ∂n Ai χ̄j σ̄ m σ n ψ̄m
−
2
1
+ gij ∗ iklmn ψk σl ψ̄m + ψm σ n ψ̄ m χi σn χ̄j
4
1
− (gij ∗ gkl∗ − 2Rij ∗ kl∗ ) χi χk χ̄j χ̄l
8 i√
−eK/2 W ∗ ψa σ ab ψb + W ψ̄a σ̄ ab ψ̄b +
2Di W χiσ a ψ̄a
2
√
i
1
1
∗ i a
i j
∗ i j
+
2Di∗ W χ̄ σ̄ ψa + Di Dj W χ χ + Di∗ Dj ∗ W χ̄ χ̄ (1.4.130)
.
2
2
2
目次へ
第 1 章 ボトムアップアプローチ
45 目次へ
ここで，
i
1
Kj ∂m Aj − Kj ∗ ∂m A∗j(1.4.131a)
χ,
4
1
Kj ∂m Aj − Kj ∗ ∂m A∗j ψn ,
= ∂m ψn + ψn ω̂m +
(1.4.131b)
4
= D̂a ψb − D̂b ψa ,
(1.4.131c)
Dm χi = ∂m χi + χi ω̂m + Γijk ∂m Aj χk −
D̃m ψn
ψab
Di W = Wi + Ki W,
Di Dj W = Wij + Kij W + Ki Dj W + Kj Di W − Ki Kj W −
V = eK g ij ∗ (Di W )(Dj W )∗ − 3W ∗ W .
(1.4.131d)
Γkij Dk(1.4.131e)
W,
(1.4.131f)
また，ω̂m = (ωm α β ) および Ricci スカラ R̂ は，次の Rarita-Schwinger 場の２次式
で表される捩れをもつスピン接続係数 ω̂ml;n に対応：
ω̂ml;n = ωml;n (e) +
i
θla ψ[m σ a ψ̄n] + θma ψ[n σ a ψ̄l] − θna ψ[l σ a ψ̄m] .
2
(1.4.132)
超重力変換は
δζ em a = i ζσ a ψ̄m + ζ̄ σ̄ a ψm ,
√
δζ Ai =
2ζχi,
√
√
δζ χi = i 2σ m ζ̄ D̂m Ai − 2ζχiχk
√
√
2
∗
Kj ζχj − Kj ∗ ζ̄ χ̄j χi − 2eK/2 g ij Dj ∗ W ∗ ζ,
+
4
√
2
Kj ζχj − Kj ∗ ζ̄ χ̄j ψm
δζ ψm = 2Dm ζ −
4
i
− σmn ζgij ∗ χi σ n χ̄j + ieK/2 W σm ζ̄.
2
(1.4.133a)
(1.4.133b)
(1.4.133c)
(1.4.133d)
ここで，
Dm ζ = ∂m ζ + ζ ω̂m +
1
Kj ∂m Aj − Kj ∗ ∂m A∗j ζ.
4
(1.4.134)
超対称性 超重力理論の解として，χi = ψm = 0 となるものを考えると，超対
称性が残る条件は
√
√
∗
δχi = i 2σ m ζ̄∂m Ai − 2eK/2 g ij Dj ∗ W ∗ ζ = 0,
(1.4.135a)
δψm = 2Dm ζ + ieK/2 W σm ζ̄
(1.4.135b)
が自明でない解 ζ を持つことである．これは一般に，
∂m Ai = 0,
(1.4.136a)
Dj W = 0
(1.4.136b)
を要求する．しかし，必ずしも W = 0 は要求されない．したがって，
V = −3eK |W |2 ≤ 0
(1.4.137)
で，負の宇宙項を許容する．
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第 1 章 ボトムアップアプローチ
46 目次へ
§1.5
物質セクターの統一
Sugra GUT ⇒
高次元 Sugra GUT
• Generation repitition
• Cabibo/neutrino mixing, CP violation
目次へ
- 47-
目次へ
トップダウンアプローチ
2
§2.1
Kaluza-Klein コンパクト化
歴史
1919 Kaluza-Klein モデル (Kaluza Th 1921; Klein O 1926)
1963 内部空間の等長変換群に基づく非可換ゲージ場の導出 (DeWitt BS 1963[Dew63])
基本仮定
1. Lie 群 G が時空 MD に作用しており，その軌道は n 次元空間となる．
2. G の軌道空間 MD /G を Xd (d + n = D)，各軌道を Yx (x ∈ X)，G を生成する
無限小変換の基底を ξa (a = 1, · · · , dim(G)) とするとき，G 作用は各軌道 Yx
上で等長で，計量は次の形に書ける：
ds2 (MD ) = ds2 (Xd ) + Φpq (x, y)ν p ν q ,
(2.1.1)
ds2 (Xd ) = gµν (x)dxµ dxν ,
(2.1.2)
ν = dy −
(2.1.3)
p
p
ξap (y)Aaµ(x)dxµ .
行列形では
(gM N ) =
Φpq
−ξap Aaν (x)
−ξaq Aaµ (x) gµν (x) + ξap ξbp Aaµ (x)Abν (x)
(2.1.4)
ここで，ξap = Φpq ξaq . G 作用が各軌道 Yx 上で等長となる条件は，
ξar ∂r Φpq + 2Φr(p ∂q) ξar = 0
(2.1.5)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
48 目次へ
ゲージ変換 上記の計量の形は，明らかに変換 xµ = aµ (x), y p = bp (y) により保
たれる．また，無限小変換
δy p = η p = a (x)ξap (y)
(2.1.6)
に対して，
−η ν p = ν q a ∂q ξap + ξap da − C a cbc Ab
L
(2.1.7)
となる．よって，
−η (Φpq dy p dy q ) = η r ∂r Φpq ν p ν q + 2Φpq L
L
−η ν p ν q
= a ξar ∂r Φpq + 2Φr(p ∂q) ξar ν p ν q
a b c
+2Φpq ξap da − Cbc
A νq.
(2.1.8)
したがって，Φpq に対する条件より，この無限小変換も上記の計量の形を保ち，Aa
は
δAa = −C a cb c Ab + da
⇔
δA = −[, A] + d,
= a Ta
(2.1.9)
と変換される．これは，G に対する（非可換）ゲージ場の変換則と一致する．
Ricci テンソル
1
R̃pq = R̂pq + FpIJ Fq IJ
4
1
1
1
− Φpq − Φrs DΦpq · DΦrs + Φrs DΦpr · DΦqs ,
2
4
2
1 q
1 qr
D̂ DI Φpq − Φ D̂p DI Φqr
R̃pI =
2
2
1
1
+ D̃J Fp J I − Φrs DK Φrs FpI K ,
2
4
1
R̃IJ = RIJ − FpIK F p J K
2
1 pq
1
− Φ DI DJ Φpq + Φpq Φcd DI Φpr DJ Φqs ,
2
4
1
R̃ = R̂ + R − FpIJ F pIJ − D (Φpq DΦpq )
4
1 pq rs
− Φ Φ (DΦpq · DΦrs + DΦpr · DΦqs ) .
4
(2.1.10a)
(2.1.10b)
(2.1.10c)
(2.1.10d)
ここで，D は gµν に関する Xd 上の共変微分，D̂ は各軌道 Yx 上での y に関する共
変微分，
F = dA + A ∧ A,
D̃F = DF + [A, F ].
(2.1.11)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
49 目次へ
作用積分
Einstein-Hilbert 作用積分
S = dm x dn y |g|1/2 |Φ|1/2 R̃
は次の Xm 上の有効作用積分を与える：
1 AB
1
m
1/2
σ
a
b
e R − G DφA DφB − γab F · F + C .
S = d x |g|
2
2
(2.1.12)
(2.1.13)
ここで，
Φpq = φA (x)ΦA
pq (y),
eσ = dn y|Φ|1/2 ,
AB
B
G = dn y |Φ|1/2 (Φpr Φqs − Φpq Φrs ) ΦA
pq Φrs ,
γab = dn y |Φ|1/2 ξap ξbq Φpq ,
C = dn y |Φ|1/2 R̂(Φ).
(2.1.14a)
(2.1.14b)
(2.1.14c)
(2.1.14d)
(2.1.14e)
ここで，
2
gµν → e− m−2 σ gµν ,
2σ
n
Φpq = e Φ̄pq ,
(2.1.15a)
2σ
n
φA = e φ̄A
(2.1.15b)
とおくと，Einstein フレームでの作用積分が得られる．
S=
1 2ασ
1 AB
−2ασ
a
b
C̄ − e γ̄ab F · F .
d x g R − α(Dσ) − Ḡ D φ̄A D φ̄B + e
2
2
(2.1.16)
m
√
2
ここで，
α=
1
1
+ ,
m − 2 n
(2.1.17a)
1=
dn y |Φ̄|1/2 ,
(2.1.17b)
1 pr qs
B
Φ̄ Φ̄ − Φ̄pq Φ̄rs ΦA
pq Φrs ,
2
C̄ = R̂(Φ̄),
ḠAB =
γ̄ab =
ξap ξbq Φ̄pq .
(2.1.17c)
(2.1.17d)
(2.1.17e)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
50 目次へ
§2.2
高次元スピノール
γ行列
Γ 行列を
ΓM ΓN + ΓN ΓM = 2η M N
(2.2.1)
により定義する．また，一般に
ΓM1 ···Mp := Γ[M1 · · · ΓMp ]
(2.2.2)
とおく．
Γを
Γ := (−i)k Γ0 · · · ΓD−1 = (−i)k ( ∗Γ[D] )
(2.2.3)
により定義する．ここで，
D = 2k + 1 − |η|, 2k + 2 − |η|.
(2.2.4)
このとき，
Γ2 = 1,
(2.2.5a)
ΓΓa = (−1)D−1 Γa Γ.
(2.2.5b)
B 行列： B 行列は条件
BΓM N B −1 = (ΓM N )∗
(2.2.6)
を満たす行列として定義され，常に存在する．この B 行列に対して，ψ と B −1 ψ ∗
は同じ変換則に従う．
C 行列： C 行列は条件
CΓM N C −1 = −ΓM N T
(2.2.7)
を満たす行列として定義され，常に存在する．この C 行列に対して，ψ̄ = ψ † Γ0 と
ψ T C は同じ変換則に従う．また，ΓM † = ΓM となる表示では，
C = kBΓ0
(2.2.8)
が成り立つ．ここで，k は定数．
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第 2 章 トップダウンアプローチ
D
1
2
3
4
5
6
7
8
C-spinor rep.
1
1 + 1̄
2
2 + 2
4
4 + 4̄
8
8 + 8
real
pseudo
pseudo
pseudo
Weyl
−
complex
−
self
−
complex
−
self
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real-Weyl
−
−
−
−
−
−
−
min R-rep.
1
2
4
4
8
8
8
8
表 2.1: Spinor representation of SO(D)
D C-spinor rep.
2
1 + 1
3
2
4
2 + 2̄
5
4
6
4 + 4
7
8
8
8 + 8̄
9
16
10
16 + 16
11
32
12
32 + 32
Majorana
Weyl
self
−
complex
−
−
−
self
−
−
complex
−
self
−
complex
Majorana-Weyl
−
−
−
−
−
−
−
−
−
min R-rep.
1
2
4
8
8
16
16
16
16
32
64
表 2.2: Spinor representation of SO(D − 1, 1)
Majorana スピノール B 行列に対して
ζ ∗ = Bζ
(2.2.9)
を満たすスピノール ζ を Majorana スピノールという．この条件より，B ∗ B = 1 が
要求されるので，Majorana スピノールは次元が条件
D = 5, 6, 7 (mod 8)
(2.2.10)
を満たす時空でのみ存在．
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第 2 章 トップダウンアプローチ
52 目次へ
§2.3
高次元超重力理論
• 11 次元理論
– 32 local susy (低エネルギー極限は一意的)
– 重力超組のみ
• 10 次元理論
I 型 16 local susy：重力超組＋任意のゲージ超組
II 型 16+16 local susy：重力超組のみ
– (Massive)IIA 型 (non-chiral)/IIB 型 (chiral)
11 次元超重力理論
2.3.1
(1) 定式化
基本場:
基本的な場は
N
eA = (eM
g M N = η AB eM
θA (eB ) = δBA ,(2.3.1a)
A );
A eB ,
1
３形式場 :
A3 = AM P Q dxM ∧ dxP ∧ dxQ ,
(2.3.1b)
3!
Majorana 3/2 場 : ΨM ; Ψ̄ = ΨT C −1 .
(2.3.1c)
フレーム場 :
ここで，C はつぎの条件により定義される荷電共役変換行列：
C −1 ΓA C = −ΓA T ,
C T = −C.
(2.3.2)
作用積分
完全な作用積分は
1
1
11
N
AB
2
2
2κ S =
d x|θ| eM
∗ (F4 ∧ F4 ∧ A3 )
M N (ω) − |F4 | +
A eB R
2
6
+iΨ̄M ΓM N P DN 12 (ω + ω̃) ΨP
i M N W XY Z
W XY Z
Ψ̄M Γ
+
ΨN + 12Ψ̄ Γ Ψ (FW XY Z + F̃W XY
(2.3.3)
Z) .
192
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第 2 章 トップダウンアプローチ
53 目次へ
ここで，
ωABM = ωABM (e) + KM AB ,
i
−Ψ̄N ΓM AB N P ΨP − 4Ψ̄M Γ[A ΨB] + 2Ψ̄B ΓM ΨA ,
KM AB =
8
i
ω̃ABM = ωABM + Ψ̄N ΓM AB N P ΨP ,
8
ΓA1 ···Ap = Γ[A1 · · · ΓAp ] ,
1
DM (ω) = ∂M + ω AB M ΓAB ,
4
F = dA,
3i
F̃M N P Q = FM N P Q + Ψ̄[M ΓN P ΨQ] .
2
基本場の次元は
[κ] = L9/2 ,
0
[eM
A ] = L ,
[AM N P ] = L0 ,
[ΨM ] = L−1/2 .
(2.3.4a)
(2.3.4b)
(2.3.4c)
(2.3.4d)
(2.3.4e)
(2.3.4f)
(2.3.4g)
(2.3.5)
場の方程式:
1
1
1
RM N (ω̃) − gM N R(ω̃) = F̃M P QR F̃N P QR − gM N |F4 |2 ,
2
12
4
ΓM N P D̃N (ω̃)ΨP = 0,
1
d ∗ F̃ + F̃ ∧ F̃ = 0.
2
(2.3.6a)
(2.3.6b)
(2.3.6c)
ここで，
D̃M (ω̃) = DM (ω̃) + TM P QRS F̃P QRS ,
1 P QRS
[P
ΓM
TM P QRS =
− 8δM Γ[QRS .
288
N = 1 SUSY
i
A
= − ¯ΓA ΨM ,
δθM
2
δΨM = D̃M (ω̃),
3i
δAM N P = ¯Γ[M N ΨP ] .
2
(2.3.7)
(2.3.8)
超対称性:
Bosonic part: ΨM = 0 とおくと，作用積分は
1
1
2
11
1/2
2
2κ S = d x(−g)
A3 ∧ F4 ∧ F4 .
R − |F4 | −
2
6
(2.3.9a)
(2.3.9b)
(2.3.9c)
(2.3.10)
場の方程式は
d ∗F4 + 12 F4 ∧ F4 = 0.
また，エネルギー運動量テンソルは
1
1
κ2 TM N = FM ABC FN ABC − |F4 |2 gM N .
12
4
よって，
1
1
RM N = FM ABC FN ABC − |F4 |2 gM N .
12
6
(2.3.11)
(2.3.12)
(2.3.13)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
54 目次へ
(2) 物理自由度
場
成分数
物理自由度
eA
A3 ΨM
M
121 165 352
44 84 128
計量場： 局所 Lorentz 変換の自由度を取り除くと，自明な背景場での重力場は計
量場の摂動 hM N で記述され，その方程式は
1
ψM N = hM N − hηM N
2
(2.3.14)
を用いて，
k 2 ψM N + 2k(M k P ψN )P − k P k Q ψP Q ηM N = 0
(2.3.15)
と表される．ゲージ自由度は
δψM N = i(−kM ξN − kN ξM + k · ξηM N ).
(2.3.16)
ゲージ条件
ψ0M = 0
(2.3.17)
を課すと，残留ゲージ自由度は
ξ0 = −k2 ξ,
ξ I = k0 k I ξ.
(2.3.18)
ゲージ条件と場の方程式の整合性より
k J ψJI = 0.
(2.3.19)
したがって，
k M ψM N = 0,
2
k ψM N = 0.
(2.3.20a)
(2.3.20b)
ここで，残留ゲージ変換に対して
δψIJ = ik0 (−kI kJ + k2 δIJ )ξ.
(2.3.21)
したがって，物理自由度は
1
1
D(D − 1) − (D − 1) − 1 = D(D − 3) = 44.
2
2
(2.3.22)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
55 目次へ
A3 場： 自明な背景場に対して，A3 場の方程式は
k M FM P QR = 0;
FM P QR = 4ik[M AP QR] .
(2.3.23)
ゲージ変換は
δAM N P = i (kM χN P + kN χP M + kP χM N ) .
(2.3.24)
ゲージ条件
AIJ0 = 0
(2.3.25)
を課すと，残留ゲージ自由度は
χIJ =
1
(kI χJ0 − kJ χI0 ).
k0
(2.3.26)
このとき，
ik M FM P QR = −k 2 AP QR + 3k[P AQR]I k I
(2.3.27)
より，
ik M FM P Q0 = k0 AP QI k I = 0.
(2.3.28)
よって，
AIJK k K = 0.
(2.3.29)
この条件下で，元の場の方程式は
ik M FM IJK = −k 2 AIJK = 0.
(2.3.30)
よって，
k 2 = 0.
(2.3.31)
また，AIJK は残留ゲージ変換で不変．よって，物理自由度は
(D − 2)(D − 3)(D − 4)
(D − 1)(D − 2)(D − 3) (D − 2)(D − 3)
−
=
= 84.
3!
2
3!
(2.3.32)
Rarita-Schwinger 場: 平坦で自明な背景場のもとで，ΨM の方程式は
ΓM N P kN ΨP = 0.
(2.3.33)
この式は，局所超対称性変換
δΨM = ikM (2.3.34)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
56 目次へ
に対して不変．
まず，M = 0 成分より
ΓIJ kI ΨJ = 0.
(2.3.35)
これは次の式と同値：
⇔
(k I ΓI )(ΓJ ΨJ ) = k I ΨI
ΓI Ψ I =
1 J
K
2 (k ΓJ )(k ΨK ).
k
(2.3.36)
次に，M = I 成分より
Γ0 ΓIJ (−k0 ΨJ + kJ Ψ0 ) + ΓIJK kJ ΨK = 0.
(2.3.37)
この式に ΓIJ kJ をかけて I について和をとると，
ΓIJ kJ ΓI K kK = −(D − 2)k2 ,
(2.3.38a)
ΓIJ kJ ΓI K ΨK = −(D − 2)k I ΨI − (D − 3)ΓIJ kI ΨJ ,
(2.3.38b)
ΓIJ kJ ΓIJK kJ = (D − 3)(−k2 ΓK + k K ΓI kI )
(2.3.38c)
および (2.3.36) より
k0 I
k ΨI .
k2
ψ0 =
(2.3.39)
これを上式に代入し，
ΓIJK = ΓI ΓJK − δ IJ ΓK + δ IK ΓJ ,
Γ
IJ
= Γ Γ −δ
I
J
IJ
(2.3.40a)
(2.3.40b)
および (2.3.36) より
kI K
Γ kJ ΨK = (kJ Γ ) ΨI − 2 k ΨK ,
k
1
ΓIJ ΨJ = ΓI ΓJ ΨJ − ΨI = 2 ΓI (kJ ΓJ )(k K ΨK ) − ΨI ,
k
ΓIJ kJ = ΓI (kJ ΓJ ) − k I
IJK
J
が成り立つことを考慮すると，
kI J
M
(kM Γ ) ΨI − 2 k ΨJ = 0
k
(2.3.41a)
(2.3.41b)
(2.3.41c)
(2.3.42)
を得る．
ここで，局所超対称変換の自由度を
Ψ0 = 0
(2.3.43)
により固定すると，場の方程式は
(kM ΓM )ΨI = 0,
(2.3.44a)
I
(2.3.44b)
I
(2.3.44c)
Γ ΨI = 0,
k ΨI = 0
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
57 目次へ
となる．この第１式より
k · k = 0.
(2.3.45)
また，第１式は第２および第３式と整合的．例えば，k 0 = k 1 , k I = 0(I = 2 · · · ) と
取ると，
Ψ1 = 0, Ψ2 = Γ2
ΓI Ψ I
(2.3.46)
I=3,···
となり，ΨI (I = 3, · · · ) が
(1 + Γ0 Γ1 )ΨI = 0
(2.3.47)
を満たせば Ψ2 も同じ式を満たす．さらに，この式は各 I に対してスピノール表現
の次元/2 個の解をもつ．よって，Rarita-Schwinger 場の物理的自由度は
32/2 × (D − 3) = 128.
(2.3.48)
(3) Kaluza-Klein Sugra GUT
11 次元極小 SUGRA 理論のコンパクト化 M = X4 × Y7 と KK 還元により，低エ
ネルギーで標準モデルが導かれる可能性の分析 (Witten E(1981)[Wit81])．
• ゲージ群：G ⊃ SU(3) × SU(2) × U(1)?
このような G により Y = G/H となるには，dim Y ≥ 7．dim Y = 7 のとき，
Y は次のいずれか（H ⊃ SU(2) × U(1) × U(1))：
– Y = M(0, 0) = CP 2 × S 2 × S 1 .
– Y = M(m, n): CP 2 × S 2 上の U(1) バンドル．gcd(m, n) = r とし
て，π1 (Y ) = Zr ．また，U(1) バンドルの第１障害類（c1 (CP 2 × S 2 ) は，
±m[CP 1 ]∗ ± n[S 2 ]∗ ．
– ただし，
M(1, 0) = S 5 × S 2 = O(6) × SU(2)/O(5) × U(1),
M(0, 1) = CP 2 × S 3 = SU(3) × SU(2) × SU(2)/SU(2) × U(1) × SU(2)
を除いて，M(m, n) の等長変換群は SU(3) × SU(2) × U(1) と一致．
– M(m, n) は一般に，SO(6) × SO(4) の適当な部分群 U(1) を用いて，
M(m, n) ∼
= (S 5 × S 3 )/(U(1) × Zr )
(2.3.49)
と表される．
– 次の向き付け不可能な空間：
M(0, 0)/Z2 : CP 2 × RP 2 × S 1 ,
M(1, 0)/Z2 : S 5 × RP 2 ,
CP 2 × (S 2 × S 1 )/Z2 ,
(S 5 × S 2 )/Z2 ,
M(r, 0)/Z2 : (S 5 /Zr ) × RP 2 ,
((S 5 /Zr ) × S 2 )/Z2 .
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
58 目次へ
• 標準モデルに登場する質量ゼロのレプトンとクォークは得られるか？
例えば，１１次元の質量ゼロのスピノール場 Ψ に対して，γ行列とスピノー
ルの 4 + 7 分解
Ψ = e−iπγ5 /4 ψ ⊗ χ,
Γa = γ a ⊗ 1 (a = 0, · · · , 3),
Γp+3 = γ5 ⊗ γ̂ p (p = 1, · · · , 7)
に対応して，11 次元の Dirac 方程式は次のように分解される：
Γ · ∇Ψ = 0 ⇒
(γ · Dψ) ⊗ χ + ψ ⊗ (γ̂ · D̂χ) = 0.
したがって，χ を７次元空間 Y7 上の調和スピノール
γ̂ · D̂χ = imχ,
に取ると，４次元上の質量 m の Dirac スピノールを得る：
(iγ · D − m) ψ = 0
– Rarita-Schwinger 場 ΨN の Y 成分 Ψa の Y 上でのゼロモードより得られ
るだろう．
– これらのゼロモードが G の表現に関して可約なら，世代の重複も得ら
れる可能性がある．
– しかし，D = 11 SUGRA ではこのようにして得られる質量ゼロのフェ
ルミ粒子はゲージ変換に関して LR 対称で，chiral でない (Y7 のスピノー
ル接続は変換 γ̂ p → −γ̂ p に対して不変）．これは，このモデルの最大の
困難．ただし，接続に torsion があれば解決される可能性がある（例え
ば，F[4] = 0）．
• SUSY の破れ
独立な SUSY 変換の数 N は（４次元 Majorana スピノール単位で）Y 上の
Killing スピノール D̄a = 0 の数と一致．ただし，D̄ は重力以外の場の寄与
を含む．フラックスがゼロの時には，
1
[Da , Db ] = Rabcd Γcd = 0 ⇒
4
Rab (Y ) = 0
(2.3.50)
となるので，N = 0．したがって，N ≥ 1 となるためには，フラックス（ま
たはフェルミオンの縮退が必要）．また，N ≥ 2 のとき SUSY 多重項におい
てフェルミ粒子は LR 対称となるので，chiral な表現をえるには N = 1 とな
ることが必要．
• P, CP, C の破れ
F0123 = 0 なら P が，Fabcd = 0 なら C と CP が破れる（C 変換は，方
程式の複素共役変換と電荷の符号を変える変換の合成．後者は，今の場合，
Aa ⇒ −Aa と同等で，これは ξa → −ξa ⇔ y p → −y p と対応するので，
Apqr = 0 なら不変性が破れる）．また，tree level では θ = 0.
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第 2 章 トップダウンアプローチ
59 目次へ
• ゲージ対称性の自発的破れ
モジュライ場の摂動および A3 より質量ゼロの荷電 Higgs が得られる可能性
あり．特に，N = 1SUSY があり，質量ゼロの荷電フェルミ粒子が存在すれ
ば，超対称性より質量ゼロの荷電スカラ場が必然的に存在．
• E 3,1 × M(m, n) は理論の解か？
D = 11SUGRA の古典解ではあり得ない（宇宙項問題）．ただし，Witten は
量子論的な意味で解となる可能性があると主張．
• 真空の安定性
D = 11SUGRA の古典解は一般に，量子トンネル効果により不安定化する
可能性があるが，SUSY が破れていなければ安定である（可能性が高い）と
主張．
(4) 直積型解
M11 が４次元定曲率時空 X4 = CCST(4, k) との直積 M11 = X4 × Y7 で，全体と
して CCST(4, k) の等長変換群 MIG(4, k) で不変であるとすると，計量と F4 は
ds2 = ds2 (X4 ) + ds2 (Y7 ),
(2.3.51a)
F4 = mΩ(X4 ) + F̂4
(2.3.51b)
と表される．ここで，F̂4 は Y6 上の４形式．このとき，Einstein 方程式は
m2 F̂ 2
+
gµν (X),
Rµν = 3kgµν (X) = −
(2.3.52a)
12
6
1
1
F̂p...F̂q ... − (−m2 + F̂ 2 )gpq (Y ).
(2.3.52b)
12
6
第１式より，k ≤ 0．特に，k = 0 のとき，m = F̂4 = 0 となるので，Rpq (Y ) = 0．
これは，Bochner の定理より M(m, n) では実現されない（b1 (Y ) = 0 より調和１形
式は存在しないので，Killing ベクトルも存在しない）．11 次元超重力理論では宇
宙項を加えることができないので，宇宙項により k = 0 とすることはできない．
つぎに，k < 0 のときは，
1
k = − (m2 + 2F̂ 2 ).
(2.3.53)
36
また，
Rpq = Rpq (Y ) =
∗F4 = −mΩ(Y7 ) + Ω(X4 ) ∧ ∗ y F̂
(2.3.54)
より，場の方程式は
dF̂ = 0,
d( ∗ Y F̂ ) + mF̂ = 0.
(2.3.55)
特に，F̂ = 0 は解 AdS4 × Y6 （Y6 は正 Ricci 曲率 Einstein）を与える（FruendRubin 解）．
【定理 2.3.1 (Bochner)】 コンパクト Riemann 多様体が Ricci 平坦なら，Killing
ベクトルと調和１形式は平行である．
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第 2 章 トップダウンアプローチ
60 目次へ
(5) 問題点
• 発散の問題（繰り込み不可能性）
Cf. M 理論
• 標準宇宙モデルの起源
– 次元低下・コンパクト化の問題
– モジュライ問題，ディラトン安定化問題
– Inflation 問題，宇宙項問題
Cf. １１次元理論の低エネルギー極限の一意性
• 素粒子標準モデルの起源
– Chirality の起源
Cf. Heterotic M 理論
– 低エネルギーゲージ群の起源（と対称性の破れ）
– SUSY breaking mechanism
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第 2 章 トップダウンアプローチ
61 目次へ
10 次元超重力理論
2.3.2
(1) IIA 型理論
11 次元超重力理論の S 1 コンパクト化： y = x ( = 10)
• 計量
ds2 = e−2Φ/3 gµν dxµ dxν + e4Φ/3 (dy + C1 )2 .
(2.3.56)
• 3 形式ポテンシャル
Aµνλ = Cµνλ (x),
Aµν = Bµν (x)
(2.3.57)
• Rarita-Schwinger 場
Ψµ = (ψµ , ψµ ),
Ψ = (λ, λ ).
(2.3.58)
基本場
• ボーズ場
– NS 場：gM N , Φ, B[2]
– R 場： C[1] , C[3]
• フェルミ場
– Chirality の異なる Majorana 1/2 場：λ, λ
– Chirality の異なる Majorana 3/2 場：ψM , ψM
作用積分 (String フレーム） IIA 理論のストリングフレームでの Bosonic part の
作用積分は
SIIA,B = SNS + SR + SCS ;
1
1
10
1/2 −2Φ
2
˜
R̃ + 4(∇Φ)
SNS =
− H3 · H3 ,
d x(−g̃) e
2κ210
2
1
d10 x(−g̃)1/2 F̃2 · F̃2 + F̃4 · F̃4 ,
SR = − 2
4κ10
1
SCS = − 2
B2 ∧ F4 ∧ F4 .
4κ10
(2.3.59)
(2.3.60)
(2.3.61)
(2.3.62)
ここで，
H3 = dB2 ,
F2 = dC1 ,
F4 = dC3 ,
F̃4 = F4 − C1 ∧ H3 .
(2.3.63)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
62 目次へ
(2) IIB 型理論
基本場
• ボーズ場
– NS 場：gM N , Φ, B[2]
– R 場： C[0] , C[4]
• フェルミ場
– 同じ Chirality の Majorana 1/2 場：
λ = λ(1) + iλ(2) ;
Γ11 λ = ∓λ
– 同じ Chirality の Majorana 3/2 場：
(1)
(2)
– ψM = ψM + iψM ;
場の方程式:
Γ11 ψM = ±ψM
τ, G3 , F̃5 を
τ = C0 + ie−Φ ,
(2.3.64)
−1/2
G3 := τ H3 − F3 , G̃3 = τ2 G3 ,
1
1
F̃5 = dC4 − C2 ∧ H3 + B2 ∧ F3
2
2
(2.3.65)
(2.3.66)
により定義すると，
(∇τ )2
i
= − G3 · G3 ,
τ2
2
i∇τ
∇ · G3 = −
(G3 + G∗3 ) − iF̃5 · G3 ,
2τ2
i
dτ ∧ (G3 − G∗3 ),
dG3 = −
2τ2
i
dF̃5 =
G3 ∧ G∗3 ,
2τ2
∗ F̃5 = ±F̃5 ,
1
RM N = 2 (∇M τ ∇N τ ∗ + ∇M τ ∗ ∇N τ )
4τ2
1 1
∗P Q
PQ
∗
G3 · G∗3 gM N
+
GM P Q GN + GM P Q GN
−
8τ2
8τ2
1
+ F̃M P1 ···P4 F̃N P1 ···P4 .
96
τ + i
(2.3.67a)
(2.3.67b)
(2.3.67c)
(2.3.67d)
(2.3.67e)
(2.3.67f)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
作用積分 (String frame):
用積分は
63 目次へ
IIB 理論のストリングフレームでの Bosonic part の作
SIIB = SNS + SR + SCS ;
1
1
10
1/2 −2Φ
2
˜
R̃ + 4(∇Φ)
− H3 · H3 ,
dx (−g̃) e
SNS =
2κ2
2
1
1
10
1/2
SR = − 2 dx (−g̃)
F1 · F1 + F̃3 · F̃3 + F̃5 · F̃5 ,
4κ
2
1
SCS = ± 2 C4 ∧ H3 ∧ F3 .
4κ
(2.3.68a)
(2.3.68b)
(2.3.68c)
(2.3.68d)
ここで，
F1 := dC0 ,
F̃3 := F3 − C0 ∧ H3 .
(2.3.69)
作用積分 (Einstein frame): String frame での計量 g = gs を Einstein frame で
の計量 g = gE = e−Φ/2 gs に直すと，
∇τ · ∇τ̄
1
2
∗G2 ∧ Ḡ2
2κ SIIB =
Ω R−
−
2
2(Im τ )
2Im τ
1
i
C4 ∧ G2 ∧ Ḡ2 .
− ∗ F̃5 ∧ F̃5 ±
(2.3.70)
4
4Im τ
(3) I 型理論
基本場
• 重力超組
– ボーズ場：gM N , Φ, B[2]
– Majorana 3/2 場 ψM ，1/2 場 λ: Γ11 ψM = ±ψM Γ11 λ = ∓λ
• ゲージ超組
– ゲージ場 A1 (ゲージ群 G は任意）
– G の随伴表現に従う Majorana 1/2 場 χ
作用積分
ストリングフレームでの Bosonic part の作用積分は
1
1
κ210
10
1/2 −2Φ
2
2
2
.
SHet,B = 2
d x(−g) e
R + 4(∂Φ) − |H̃3 | − 2 Trv |F2 |
2κ10
2
g10
(2.3.71)
ここで，
κ210
H̃3 = dB2 − 2 ω3 ,
g
10
2i
ω3 = Trv A1 ∧ dA1 − A1 ∧ A1 ∧ A1 .
3
(2.3.72)
(2.3.73)
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
64 目次へ
Einstein フレームでの作用積分は，
gM N → eΦ/2 gM N
(2.3.74)
とおいて，
SHet,B
1
= 2
2κ10
場の方程式
10
d x(−g)
1/2
1 Φ
κ210 −Φ/2
1
2
2
2
Trv |F2 |
.
R − (∂Φ) − e |H̃3 | − 2 e
2
2
g10
(2.3.75)
ディラトンおよびゲージ場の方程式は
1
κ2
Φ − eΦ H̃3 · H̃3 + 102 e−Φ/2 TrF2 · F2 = 0,
2
2g10
2
κ
TrF2 ∧ F2 ,
dH̃3 = − 10
2
g10
d(eΦ ∗ H̃3 ) = 0,
DF2 := dF2 − iA1 ∧ F2 + iF2 ∧ A1 = 0,
−Φ/2
d(e
∗F2 ) + e F2 ∧ ∗ H̃3 = 0.
Φ
(2.3.76a)
(2.3.76b)
(2.3.76c)
(2.3.76d)
(2.3.76e)
また，
κ210 TM N =
1
1
∂M Φ∂N Φ − (∇Φ)2 gM N
2
4
1 Φ
+ e H̃M P Q H̃N P Q − |H̃3 |2 gM N
4
1
κ210 −Φ/2
2
P
Trv (FM P FN ) − Trv (|F2 | )gM N
+ 2 e
g10
2
(2.3.77)
より，Einstein 方程式は
RM N =
1
∂M Φ∂N Φ
2 1
1
PQ
Φ
2
H̃M P Q H̃N − |H̃3 | gM N
+e
4
8
2
1
κ10 −Φ/2
P
2
+ 2 e
Trv (FM P FN ) − Trv (|F2 | )gM N .
g10
8
(2.3.78)
(4) 問題点
• 発散の問題（繰り込み不可能性）
Cf. 弦理論
• ゲージセクターの非一意性 (I 型）
Cf. Anomaly cancelation
• 標準宇宙モデルの起源
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
65 目次へ
– 次元低下・コンパクト化の問題
– モジュライ問題，ディラトン安定化問題
– Inflation 問題，宇宙項問題
Cf. Massive IIA, 9-brane
• 素粒子標準モデルの起源
– Chirality の起源 (IIA 型）
Cf. T-duality
– 低エネルギーゲージ群の起源（と対称性の破れ）(II 型）
Cf. branes
– SUSY breaking mechanism
(5) アノーマリー
一般的構造 アノーマリーはカイラルな場の量子効果によってのみ生成され，d 次
元時空では，一般に次の構造をもつ：
−i
Iˆd (F2 , R2 ),
δ ln Z =
(2.3.79)
(2π)5
(2.3.80)
Iˆd+2 ⇒ Iˆd : Iˆd+2 = dIˆd+1 , δ Iˆd+1 = dIˆd .
10 次元超重力理論に登場するカイラル場と対応する I 12 は
• dilatino: 8, 8
6
Tr(F2 )
Iˆ8 (F2 , R2 ) = −
1440
Tr(F24 )tr(R22 ) Tr(F22 )tr(R24 ) Tr(F22 )[tr(R22 )]2
−
−
+
23040
18432
23046
tr(R2 )
tr(R24 )tr(R22 ) [tr(R22 )]3
+
+
+n
.
725760
552960
1327104
(2.3.81)
ここで，tr は R2 = (R a b ) の接空間添え字 a, b に関するトレース，Tr はフェ
ルミ粒子のゲージ群の表現に関するトレース．
• gravitino: 56, 56
tr(R24 )tr(R22 )
[tr(R22 )]3
tr(R26 )
ˆ
I56 (R2 ) = −495
+ 225
− 63
.
725760
552960
1327104
(2.3.82)
• 5-form flux (IIB): [5]+ , [5]−
tr(R24 )tr(R22 )
[tr(R22 )]3
tr(R26 )
− 448
+ 128
.
IˆSD (R2 ) = +992
725760
552960
1327104
(2.3.83)
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
66 目次へ
II 型理論 IIA 型理論はカイラルでないので，アノーマリーは自明にキャンセル
する．また，IIB 型理論でも，アノーマリーはキャンセルする：
IˆIIB (R2 ) = −2Iˆ8 (R2 ) + 2Iˆ56 (R2 ) + IˆSD (R2 ) = 0.
(2.3.84)
I 型理論 I 型理論のアノーマリーは
Iˆ1 = Iˆ56 (R2 ) − Iˆ8 (R2 ) + Iˆ8 (F2 , R2 )
1
1
1
Y 4 X8
6
2
4
2 3
+
[Tra (F2 )]
=
−Tra (F2 ) + Tra (F2 )Tra (F2 ) −
768
1440
48
14400
tr(R26 )
tr(R24 )tr(R22 ) [tr(R22 )]3
+(n − 496)
+
+
(2.3.85)
725760
552960
1327104
ここで，n はゲージ群の次元，
1
Tra (F22 ),
(2.3.86a)
30
[tr(R22 )]2 Tra (F22 )tr(R22 ) Tra (F24 ) [Tra (F22 )]2
−
+
−
(2.3.86b)
.
X8 = tr(R24 ) +
4
30
3
900
まず，G = SO(n) のとき，任意の生成元 t ∈ so(n) に対し，
Y4 = tr(R22 ) −
Tra (t2 ) = (n − 2)Trv (t2 ),
(2.3.87a)
Tra (t4 ) = (n − 8)Trv (t4 ) + 3[Trv (t2 )]2 ,
(2.3.87b)
Tra (t6 ) = (n − 32)Trv (t6 ) + 15Trv (t2 )Trv (t4 ),
(2.3.87c)
より，第２項は
32 − n
n + 22
(n − 2)(n + 28)
6
2
4
3
Trv (F2 )Trv (F2 ) +
[Trv (F2 )]
Trv (F2 ) −
1440
48
14400
(2.3.88)
より，n = 32 のときのみゼロとなる．同様に，G = E8 に対して，
Tra (t4 ) =
1
[Tra (t2 )]2 ,
100
Tra (t6 ) =
1
[Tra (t2 )]3
7200
(2.3.89)
より，第２項は G = E8 ×E8 , E8 ×U(1)m のときゼロ．第３項は，G = SO(32), E8 ×
E8 , E8 × U(1)248 .U(1)496 に対してゼロ．
次に，
（ヘテロ表示での）作用積分において，H̃3 の定義を
H̃3 = dB2 − cω3Y − c ω3L ;
2i
ω3Y = Tr A1 ∧ dA1 − A1 ∧ A1 ∧ A1 ,
3
2
ω3L = tr ω1 ∧ dω1 + ω1 ∧ ω1 ∧ ω1
3
(2.3.90)
(2.3.91)
(2.3.92)
に置き換え，ゲージ変換を
δA1 = dλ − i[A1 , λ],
(2.3.93a)
δω1 = dΘ + [ω1 , Θ],
(2.3.93b)
δB2 = cTr(λdA1 ) + c tr(Θdω1 )
(2.3.93c)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
67 目次へ
と定義すると，Chern-Simons 型繰り込み項
S = B2 X8 (F2 , R2 )
(2.3.94)
は，ゲージ変換に補正
δS = δB2 X8
(2.3.95)
を与える．これは，アノーマリー換算で
⇒
Iˆ10
= [cTra (λdA1 ) + c tr(Θdω1 )]X8
Iˆ12
= [cTra (F22 ) + c tr(R22 )]X2
(2.3.96)
となる．よって，
c = −
c
30
ととれば，第１項と相殺する（Green-Schwarz 機構）．このとき，
α
1
2
2
2
dH̃3 =
.
tr(R2 ) − Tra (F2 ) ; 4κ210 = α g10
4
30
(2.3.97)
(2.3.98)
以上より，I 型理論では，G = SO(32), E8 × E8 , E8 × U(1)248 .U(1)496 に対して，
アノーマリーは相殺する．
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第 2 章 トップダウンアプローチ
68 目次へ
§2.4
超弦理論・Ｍ理論
様々な理論
• 開弦＋（向きのない）閉弦
– I 型 SO(32)
• 閉弦
– Hetero 型 SO(32), hetero 型 E8 × E8
– IIA 型
– IIB 型
優れた点
• Consistency as a quantum theory
• finite control parameters
• No Λ freedom (M-theory)
諸問題
•
•
•
•
•
•
•
理論の非一意性問題 (+ duality ⇒ M theory?)
理論の摂動論的性格 (+ duality, brane ⇒ M theory?)
少数の例外を除いて曲がった背景場上で構成されていない．
次元低下・コンパクト化の問題
モジュライ問題，ディラトン安定化問題
SUSY breaking mechanism
Inflation 問題，宇宙項問題
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第 2 章 トップダウンアプローチ
69 目次へ
§2.5
微分幾何学からの準備
2.5.1
Hodge 理論
【定義 2.5.1 (de Rham コホモロジー)】 d 次元多様体 M の k 次微分形式の
全体 Ak (M) から作られるコチェイン複体
d
d
d
d
0 −−−→ A0 −−−→ A1 −−−→ · · · Ak−1 −−−→ Ak −−−→ Ak+1 · · ·
(2.5.1)
のコホモロジー
k
HDR
(M) = Ker dk /Im dk−1
(2.5.2)
を M の de Rham コホモロジーという．
【定理 2.5.2 (de Rham の定理)】 M を（パラコンパクトで）なめらかな多
様体とする．
1. M の単体分割を K とすると，
∗
Ȟ ∗ (M, Z) ∼
(M, Z).
= H ∗ (K, Z) ∼
= Hsing
2. Ȟ ∗ (M, ∗) は完全なコホモロジー関手で，
Ȟ ∗ (M, ∗) = H ∗ (M, ∗).
3. (Poincaré の補題）定数層 R の次の層分解は完全である：
d
d
0→R→A0 −
→A1 −
→ A 2 → ··· .
4. A p は散布層である．したがって，
H k (M, A p ) = 0, k ≥ 1.
5. M 上のコホモロジー環に対して，
∗
∗
HDR
(M, R) ∼
(M, R).
= Ȟ ∗ (M, R) ∼
= Hsing
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第 2 章 トップダウンアプローチ
70 目次へ
【定義 2.5.3 (調和形式)】 Riemann 多様体上の微分形式 ω に対して，ω = 0
が成り立つとき，ω を調和形式という．ここで，
= dδ + δd,
δωp = ±(−1)pd ∗d ∗ωp .
(2.5.3)
である．条件は
dω = 0,
δω = 0
(2.5.4)
と同等である．p 次調和形式の全体を H p (M) で表す．
【定理 2.5.4】 H を Ap (M) の L2 完備化 Âp (M)(における調和形式の作る部
分空間への射影作用素，G を HG = GH = 0, H + G = 1 を満たす Green
作用素とすると，任意の φ ∈ Ap に対して，
φ = Hφ + Gδdφ + dδGφ
(2.5.5)
が成り立つ．特に，
p
HDR
(M) ∼
= H p (M)
(2.5.6)
が成り立つ．
【定義 2.5.5 (Dolbeault コホモロジー)】 複素多様体 M 上で大域的に定義
された微分形式の線形空間 Ap,q = Γ(M, A p,q ) から定義される双対複体
∂¯
∂¯
∂¯
0−
→ Ap,0 −
→ Ap,1 −
→ ···
のコホモロジーを Dolbeault コホモロジーといい，H∂p,q
¯ (M) と表す．
¯
【定理 2.5.6 (∂-Poicaré
補題)】 ∆n を原点を中心とする Cn の多重円盤，
∆∗n = ∆n − {0} とする．このとき，
∗k
H∂p,q
× δ l ) = 0,
¯ (δ
q ≥ 1.
(2.5.7)
【定理 2.5.7 (Dolbeault の定理)】 M を複素多様体とする．
1. Ȟ ∗ (M, ∗) は完全なコホモロジー関手で，
Ȟ ∗ (M, ∗) = H ∗ (M, ∗).
¯
補題）層 Ωp の次の層分解は完全である：
2. (∂-Poicaré
∂¯
∂¯
0 → Ωp → A p,0 −
→ A p,1 −
→ A p,2 → · · · .
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
71 目次へ
3. A p,q は散布層である．したがって，
H k (M, A p,q ) = 0, k ≥ 1.
4. M 上のコホモロジー環に対して，
p,q
H q (M, Ωp ) ∼
= H∂¯ (M).
(2.5.8)
¯ 調和形式)】 Ap,q の L2 完備化 Âp,q として，∂¯ : Ap,q → Ap,q+1
【定義 2.5.8 (∂の共役作用素を ∂¯∗ : Ap,q+1 → Ap,q とおく．このとき，
∂¯ = ∂¯∂¯∗ + ∂¯∗ ∂¯
(2.5.9)
¯ 調和形式という．この条件は，
に対して，∂¯φ = 0 となる微分形式を ∂¯ = 0,
∂φ
∂¯∗ φ = 0
(2.5.10)
¯ 調和 (p, q) 形式の全体を H
と同等である．∂-
p,q
(M) と書く．
【定理 2.5.9 (Hodge の定理)】 M をコンパクト複素多様体とする．
1. dim H p,q (M) < ∞.
2. H : Ap,q (M) → H p,q (M) を関数空間としての垂直射影とするとき，次の性
質をもつ Green 作用素
G : Ap,q (M) → Ap,q (M)
が一意的に存在する：
G(H p,q (M)) = 0,
¯ = G∂,
¯ ∂¯∗ G = G∂¯∗ ,
∂G
(2.5.11)
I = H + ∆∂¯G.
(2.5.13)
(2.5.12)
3. 自然な写像 H p,q (M) → H∂p,q
¯ (M) は同型である．
【定理 2.5.10 (Kodaira-Serre 双対定理)】 M を n 次元コンパクト複素多様
体とする．
1. H n (M, Ωn ) ∼
= C.
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
72 目次へ
2. 双線形写像
H p (M; Ωq ) ⊗ H n−p (M; Ωn−p ) → H n (M; Ωn )
は非退化である．
【定理 2.5.11 (Hodge 分解)】 コンパクト Kähler 多様体 M の複素係数コホ
モロジーは次の関係式を満たす：
H r (M, C) ∼
= ⊕p+q=r H p,q (M),
H p,q (M) ∼
= H q,p (M).
(2.5.14a)
(2.5.14b)
【系 2.5.12】 複素次元 n のコンパクト Kähler 多様体 M に対して，
br = dimC H r (M, C),
hp,q = dimC H p,q (M)
とおくとき，次の関係式が成り立つ：
br =
hp,q ,
p,q
h
p+q=r
q,p
=h ,
hp,q = hn−p,n−q .
(2.5.15)
(2.5.16)
2.5.2
Calabi-Yau 多様体
【定理 2.5.13 (Calabi-Yau の定理)】 M をコンパクト Kähler 多様体，ω を
その Kähler 形式，c1 (M) を第１ Chern 類とする．このとき，コホモロジー
類 2πc1 (M) に属する任意の (1, 1) 型実閉形式は，Kähler 形式が ω と同じコホ
モロジー類に属する Kähler 計量の Ricci 形式となり，そのような Kähler 計
量は一意的である．
【定理 2.5.14 (Calabi-Yau 多様体)】 コンパクト複素多様体 M に対して，
次の３つの条件は同等である．
i) 第１ Chern 類がゼロで Kähler 計量をもつ．
ii) Ricci 平坦な Kähler 計量をもつ．
iii) 標準直線バンドルに誘導される接続が局所平坦となる Kähler 計量をもつ．
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
73 目次へ
【定義 2.5.15 (Calabi-Yau 多様体)】 コンパクト Kähler 多様体 M の標
準直線バンドルが自明で１次元 Betti 数がゼロであるとき，M を（非特異）
Calabi-Yau 多様体という．
【命題 2.5.16 (ホロノミーによる特徴付け)】 (M, J, g) を単連結，既約，コン
パクト，Ricci 平坦な（複素）m 次元 Kähler 多様体とする．このとき，m ≥ 2
かつ Hol(g) = SU(m)，または m は 4 以上の偶数かつ Hol(g) = Sp(m/2) と
なる．逆に，(M, J, g) が複素 m 次元コンパクト Kähler 多様体で Hol(g) が
SU(m) か Sp(m/2) と一致すれば，g は Ricci 平坦，既約でその基本群は有限
群となる．(Joyce DD 2000[Joy00])
【命題 2.5.17 (平行微分形式)】 (M, J, g) をコンパクト，Ricci 平坦な Kähler
多様体，ξ を滑らかな (p, 0) 形式とする．このとき，dξ = 0 と ∇ξ = 0 は同等
となる．したがって，H p,0(M) は平行 (p, 0) 形式の空間と同型となる．(Joyce
DD 2000[Joy00])
【命題 2.5.18 (標準線バンドル)】 (M, J, g) をコンパクト，Ricci 平坦な複素
m 次元 Kähler 多様体とする．このとき，Hol(g) ⊂ SU(m) となるための必要
十分条件は，M の標準線バンドル KM が自明となることである．(Joyce DD
2000[Joy00])
【命題 2.5.19 (コホモロジー)】 n 次元 Calabi-Yau 多様体 M に対して，
hp,q = dim H p,q (M) とおくと，
h0,p = hp,0 = hn,p = hp,n = 0 (0 < p < n),
(2.5.17a)
h0,0 = h0,n = hn,0 = hn,n = 1.
(2.5.17b)
(¡ Joyce DD 2000[Joy00])
【定理 2.5.20 (代数性定理)】 複素次元が３以上の Calabi-Yau 多様体は射影
的である．(Joyce DD 2000[Joy00])
３次元 Calabi-Yau 多様体の Hodge ダイアモンド
h3,3
3,2
h
3,1
h
1
2,3
0
h
2,2
h
1,3
0
h
h3,0 h2,1 h1,2 h0,3
h2,0 h1,1 h0,2
h1,0 h0,1
h0,0
0
1,1
=
h
2,1
1
h
h
1,1
0
h
0
0
2,1
1
0
0
1
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第 2 章 トップダウンアプローチ
74 目次へ
§2.6
直積型コンパクト化
参考文献
Candelas P, Horowitz GT, Strominger A, Witten E 1985[CHSW85].
基本仮定
1. 時空は直積型 M10 = CCS(4, k) × Y6 で，計量は
ds2 = ds2 (X4 ) + ds2 (Y6 ).
(2.6.1)
2. 時空および場は，G = MIG(4, k) の作用で不変．
3. H̃3 = 0.
4. ４次元において，N = 1 超対称性
2.6.1
超対称変換
M10 の Γ 行列は，X4 の γ 行列 γ µ ，Y6 の γ 行列 γ p および
γ5 = iγ 0123 ,
γ̂7 = iγ 456789
(2.6.2)
を用いて
Γµ = γ µ ⊗ 1,
Γp = γ 5 ⊗ γ p
と表される．これより，I 型超重力理論の超対称変換は
√
2 2Φ
e (γµ γ5 ⊗ Ĥ),
δψµ = ∇µ +
32
√
2 2Φ
e (γp Ĥ − 12Ĥp ),
δψp = ∇p +
32
√ p
1
δλ =
2(γ ∇p Φ) + e2Φ Ĥ,
8
1 Φ
pq
δχ = − e Fpq γ .
4
(2.6.3)
(2.6.4a)
(2.6.4b)
(2.6.4c)
(2.6.4d)
ここで，
Ĥ := H̃pqr γ pqr ,
Ĥp := H̃pqr γ qr .
(2.6.5)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
2.6.2
75 目次へ
超対称性からの帰結
以下，H̃ = 0 とする．
• 平坦性：δψµ = 0 より，
1
1
0 = [∇µ , ∇ν ] = Rµνλσ γ λσ = kγµν 4
2
(2.6.6)
よって，k = 0，すなわち X4 は平坦．
• Φ = 0: δλ = 0 より，
γ p ∇p Φ = 0 ⇒
(∇Φ)2 = 0 ⇒
Φ = const.
(2.6.7)
• Y の Ricci 平坦性: δψp = 0 より，
∇p = 0.
(2.6.8)
よって，ξ を X4 上の任意の定数スピノール，η を Y6 上のスピノールとして，
= ξ ⊗ η(y);
∇p η = 0.
(2.6.9)
これより，
1
0 = [∇p , ∇q ]η = Rpqrs γ rs η
4
(2.6.10)
特に，
Rpq (Y ) = 0
(2.6.11)
• Y の Kähler 性: Y6 上の行列 J = (Jp q ) を
Jp q = −iη + γp q γ̂7 η
(2.6.12)
により定義すると，
J 2 = −1,
(2.6.13a)
Jp r Jq s grs = gpq
⇔
g(Ju, Jv) = g(u, v),
(2.6.13b)
∇p Jqr = 0.
(2.6.13c)
これより，特に，Nijenhuis テンソルは
r
r
Npq r ≡ Jp s J[q;s]
− Jq s J[p;s]
= 0.
(2.6.14)
よって，J は複素構造を定義し，gpq (Y ) は J に関して Kähler 計量となる．
• SU(3) ホロノミー: ３次元コンパクト複素多様体に対して，
– Kähler
⇔
U(3) ホロノミー
– Kähler, SU(3) ホロノミー ⇒
Ricci 平坦，既約，有限基本群
– 単連結，既約，Kähler，Ricci 平坦 ⇒
SU(3) ホロノミー
– Ricci 平坦，Kähler: 標準線バンドルが自明
⇔
Hol(g) ⊂ SU(3)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
2.6.3
76 目次へ
ゲージ場への制限
• アノーマリー アノーマリー相殺より，I 型 SO(32)・ヘテロ型 SO(32)/E8 × E8
に対して，
α
1
2
2
2
tr(R2 ) − Tra (F2 ) ; 4κ210 = α g10
dH̃3 =
.
(2.6.15)
4
30
よって，H̃3 = 0 より，
tr(R2 ∧ R2 ) =
1
Tra (F2 ∧ F2 )
30
(2.6.16)
• Holonomy への埋め込み δχ = 0 より，
Fpq γ pq η = 0.
(2.6.17)
これらの条件は，ゲージ接続としてホロノミー群 SU(3) のゲージ群への埋め
込みによりスピン接続から誘導されたものを取れば満たされる：
A=ω:
SU(3) → G
(2.6.18)
– SO(32) の場合： このとき，条件を満たす埋め込みは標準的な包含写像
SU(3) ⊂ SO(6) ⊂ SO(32) のみ．この埋め込みに対して，ゲージ対称性
は U(1) × O(26) に低下するが，H = O(26) に関して SO(32) の随伴表
現は実（ベクトル的）表現のみに分解するので，カイラルフェルミ粒子
は得られない．
– E8 × E8 の場合： このとき，対称性は E6 × E8 に落ち，E8 の随伴表現
は，SU(3) × E6 ⊂ E8 に関して，
248 = (8, 1) + (3, 27) + (3∗ , 27∗) + (1, 78)
(2.6.19)
と分解する．
2.6.4
massless モード
ゲージセクター E8 の随伴表現の SU(3) × E6 に関する上記の分解に対応する E8 ×
E8 の随伴表現の SU(3) × E6 × E8 に関する分解を次のような添え字で表す：
a : (1, 78, 1) + (1, 1, 248),
ix : (3, 27, 1),
īx̄ : (3∗ , 27∗ , 1),
(2.6.20a)
ij̄ : (8, 1, 1)
(2.6.20b)
また，コンパクト化により
SO(9, 1) ⊃ SO(3, 1) × SO(6)
(2.6.21)
に対応して，１０次元スピノールは
16 = (2, 1) + (2∗ , 1) + (2, 3) + (2, 3∗ )
(2.6.22)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
77 目次へ
と分解する．これより，ゲージセクターの摂動
aM,X (M = µ, i, ī; X = a, ix, īx̄, ij̄),
∂µ ∂ µ a = −Dp D p a;
Dp = ∇p − i[Ap , ∗]
のゼロモード
Dp D p a = 0
は次のようになる：
• aµ,X , χ ⇒
ゲージ超場
– aµ,a : X4 上の E6 × E8 ゲージ場
– aµ,X (X = a): no massless mode
• ai,X , χ ⇒
カイラル超場
– ai,a ∈ H 1,0 : h1,0 = 0
– ai,jx ⇒
ail̄m̄x = ai,jx Gj k̄ Ωk̄l̄m̄ ∈ H 1,2 : h2,1 ×27(E6 ).
– ai,j̄ x̄ ∈ H
1,1
: h1,1 ×27∗ (E6 ).
– ai,j k̄ ∈ H 1 (End T ): dim(H 1 (End T )) (E6 singlet).
• aī,X̄ ⇒
ai,X の複素共役
重力セクター 重力セクターの摂動 gM N ，bM N ，φ および ψM , λ から得られるゼ
ロモードは次のようになる．
• φ, bµν , λ ⇒
Dilaton-axion カイラル超場
– bµν ⇒
∗db = da: (φ + ai, λ)
• gµν , ψµ ⇒
4 次元重力超組
∗
– (gµν , ψµ2+2 )
∗
∗
• gµi , bµi , ψµ6+6 , ψi2+2 ⇒
no massless field
– gµi , bµi ∈ H 1,0 : h1,0 = 0.
• gij , bij , ψi,j & cc ⇒
Complex moduli カイラル超場 ×h2,1
– gij ⇒
gik̄l̄ = gij Gj m̄ Ωm̄k̄¯l ∈ H 1,2
– bij ∈ H
2,0
• gij̄ , bij̄ , ψi,j̄ ⇒
: h2,0 = 0.
Kähler moduli カイラル超場 ×h1,1
– gij̄ , bij̄ ∈ H
1,1
⇒
igij̄ + bij̄
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第 2 章 トップダウンアプローチ
78 目次へ
世代数 以上の質量ゼロモードの解析より，ゲージ場と結合する質量ゼロフェル
ミオンの世代数 Ng = |N27 − N27∗ | は
1
Ng = |h2,1 − h1,1 | = χ(Y6 )
2
(2.6.23)
となる．
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第 2 章 トップダウンアプローチ
79 目次へ
§2.7
モジュライ安定化
2.7.1
４次元有効理論
(1) モジュライ自由度
１０次元超重力論・超弦理論に含まれるゼロ質量ボゾン場は，次の２つに分類
される．
1) 重力セクター： gM N , BM N , Φ（すべてに共通）
2) ゲージセクター：
i) I 型理論： 非可換ゲージ場 AM
ii) II 型理論： {Cp } (RR-form 場）
これらのうち，重力セクターはすべての理論に共通で，CY コンパクト化における
ゼロモードは次の２種類のモジュライを生み出す (Candelas, Horowitz, Strominger,
Witten 1985[CHSW85]; Candelas P, de la Ossa XC 1991[CdlO91])．
1) 複素モジュライ＋ dilaton-axion： h2,1 + 1 コの chiral 場
2) Kähler モジュライ： h1,1 コの chiral 場
一方，ゲージセクターからの寄与はＩ型とＩＩ型で異なる．Ｉ型に対しては，H 1 (EndT )
の自由度を除くと，重力セクターのモジュライと相似的な構造をもつ（カラーを
持つ点のみが異なる）．
(2) H 2,1 セクター（複素モジュライ）
Kähler ポテンシャル CY6 の複素構造を Jˆ，対応する Kähler 形式を J ，Jˆ から決
ˆ ，複素モジュライのパラメーターを z a とすると，次の小平
まる正則３形式を Ω(J)
の公式が成り立つ：
∂Ω
= ka (z)Ω + χa ∈ H 3,0 ⊕ H 2,1 .
(2.7.1)
∂z a
ここで，χa は複素構造の変形と
1
∂g
χaij k̄ = − Ωij l̄ k̄al̄
2
∂z
の関係にある．これより，モジュライ空間の計量
1
a
b̄
Gab̄ δz δz :=
dvol(Y )g ij̄ g kl̄ δgik δgj̄ l̄
4V Y
i
b̄
a
= −
δz δz
χa ∧ χ̄b̄
V Ω2
Y
(2.7.2)
(2.7.3)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
80 目次へ
は
χa ∧ χ̄b̄
Gab̄ = − Y
= ∂a ∂¯b K (z, z̄)
Ω
∧
Ω̄
Y
(2.7.4)
となる．ここで，
K = − log i
Ω ∧ Ω̄
(2.7.5)
Y
は複素モジュライに対する Kähler ポテンシャルである．
つぎに，(Aa , Bb ) (a, b = 0, · · · , h2,1 ) を H3 (Y, Z) の基底，(αa , β b ) をその双対基
底とする：
b
b
αa =
αa ∧ β = δa ,
βb =
β b ∧ αa = −δab .
(2.7.6)
Ab
Y
Ba
Y
いま，
a
z :=
Ω,
Aa
Ga :=
Ω
(2.7.7)
Ba
とおくと，z a は複素構造モジュライ空間の（済次）複素座標となり，Ga は Jˆ で決
まる z a の関数となる：
Ω = z a αa − Ga (z)β a .
(2.7.8)
小平の関係式より，Ga は２次の済次正則関数を用いて
Ga = ∂a G ,
G (λz) = λ2 G (z)
(2.7.9)
と書けることが示される．
e−K = −i z a ∂¯a G¯ − z̄ a ∂a G
(2.7.10)
が導かれる．
超ポテンシャル ヘテロ型理論の場合，ゲージ超組のゼロモード aī,j̄ x̄ (x, y), λī,j̄ x̄ (x, y)
を H 2,1 (Y ) の基底 χa (y) で
1
aī,j̄ x̄ (x, y) = σx̄a (x)χa klī(y)Ω̄kl
j̄ (y),
2
1
λī,j̄ x̄ (x, y) = λax̄ (x)χa klī (y)Ω̄kl
j̄ (y),
2
(2.7.11a)
(2.7.11b)
(2.7.11c)
と展開し，１０次元理論の湯川結合項
d6 y Trv λ̄Γm [Am , λ]
(2.7.12)
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
81 目次へ
に代入すると，
dx̄ȳ z̄ λ̄ax̄ λbȳ σz̄c κabc ,
κabc = −
Ω ∧ χia ∧ χjb ∧ χkc Ωijk
(2.7.13)
(2.7.14)
Y
を得る (Strominger A, Witten E 1985[SW85])．ここで，
χia =
1
Ω̄ijk χajkl̄ dxl̄ = χa ij̄ dxj̄ .
2Ω2
(2.7.15)
この湯川結合係数は，うえの前ポテンシャル G を用いて
κabc = −∂a ∂b ∂c G
(2.7.16)
と表される．したがって，H
W (z, σ) =
注：
2,1
セクターの超ポテンシャルは
σaσbσc
∂a ∂b ∂c G (z)
3!
(2.7.17)
フラックスがない場合，II 型理論ではこのポテンシャルは存在しない．
(3) H 1,1 セクター（Kähler モジュライ）
Kähler ポテンシャ ρ, σ, τ ∈ H 1,1 に対して，
1
G(ρ, σ) :=
ρ ∧ ∗σ,
2V Y
κ(ρ, σ, τ ) :=
ρ∧σ∧τ
(2.7.18a)
(2.7.18b)
Y
とおく．さらに，eA (A = 1, · · · , h1,1 ) を H 2 (Y, Z) の基底として，
J + iB = w A eA ;
w A = v A + ibA
(2.7.19)
により Kähler モジュライ空間の複素座標 w A を導入する．このとき，Y の位相構
造のみで決まる w の正則関数
1
P (w) = κABC w A w B w C : κABC = κ(eA , eB , eC )
(2.7.20)
3!
を用いて，モジュライ空間の Kähler 計量は
GAB̄ = ∂A ∂¯B̄ K (w, w̄),
K
= − log(κ(J, J, J)) = − log P (v)
(2.7.21)
(2.7.22)
と表される．
注：
• 値としては，κ(J, J, J) = 3V である．
• {eA } の Poincare 双対にあたる H4 (Y, Z) の基底を {CA } とおくと，
κ(eA , eB , eC ) = #(CA , CB , CC ) : intersection number
(2.7.23)
が成り立つ．
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
82 目次へ
超ポテンシャル： ヘテロ型理論の場合，ゲージ超組のゼロモード ai,j̄x̄ (x, y), λi,j̄ x̄ (x, y)
を H 2,1 (Y ) の基底 χa (y) で
ai,j̄ x̄ (x, y) = φA
x̄ (x)eAij̄ (y),
(2.7.24a)
λi,j̄ x̄ (x, y) = λA
x̄ (x)eAij̄ (y),
(2.7.24b)
と展開し，１０次元理論の湯川結合項
d6 y Trv λ̄Γm [Am , λ]
(2.7.25)
に代入すると，
B C
dx̄ȳ z̄ λ̄A
x̄ λȳ σz̄ κABC
(2.7.26)
を得る．したがって，ゲージセクターでの超ポテンシャル W (φ) は，
B C
W (φ) = dx̄ȳz̄ φA
x̄ φȳ φz̄ κABC
(2.7.27)
で与えられる．このポテンシャルはゲージ群と Y の位相のみにより決まり，複素
構造や Kähler モジュライに依存しない．
注：
• No scale model: 一般に，超ポテンシャル（F 項）は Kähler モジュライに
依存しない．また，ゼロフラックスの II 型理論では，超ポテンシャルはゼロ
となる．
• 非繰り込み定理: 超ポテンシャルは，摂動論の範囲では，σ-モデル量子補正
を受けない (Witten E 1986 [Wit86])．
2.7.2
IIB 理論のフラックスコンパクト化
(1) モジュライ場
ゼロモードを次の調和形式で展開する：
cohomogloy group dimension
H 1,1
h1,1
H 2,2
h1,1
H3
2h2,1 + 2
H 2,1
h2,1
basis
eA
ẽA
(αâ , β â
χa
• NS セクター
ds2 = gµν dxµ dxν + gij̄ dy idȳ j̄ .
(2.7.28)
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83 目次へ
Kähler モジュライ：J = igij̄ dy i ∧ dȳ j̄ に対して
J = v A (x)eA ,
A = 1 · · · h1,1 .
(2.7.29)
複素構造モジュライ：
δgij =
i a
z̄ (χ̄a )ij̄ k̄ Ωj̄j k̄ ,
2
Ω
a = 1, · · · , h1,2 .
(2.7.30)
dilaton: φ(x)
B[2] :
B[2] = b[2] (x) + bA (x)eA ,
A = 1 · · · h1,1 .
(2.7.31)
A = 1 · · · h1,1 .
(2.7.32)
• R セクター
C0 場： l(x)
C[2] 場：
C[2] = c[2] (x) + cA (x)eA ,
C[4] 場：
A
C[4] = D[2]
(x)∧ea +V â (x)∧αâ −Uâ (x)∧β â +ρA (x)ω̃ A ,
â = 0, · · · , h1,2 .
(2.7.33)
モジュライ場の N = 2 超組 IIB 超重力理論の CY コンパクト化で現れるモジュ
ライ場の N = 2 超組は次の表のようになる：(Grimm TW, Louis J 2004[GL04])
Supermultiplet
gravity
vector
hyper
double-tensor
重複度
1
h2,1
h1,1
1
fields
(gµν , Vµ0 )
(Vµa , z a )
(v A , bA , cA , ρA )
(b[2] , c[2] , φ, l)
(2) 超ポテンシャル
II 型超重力理論では，RR フォームフラックスが存在しない直積型コンパクト
化はモジュライに対する超ポテンシャルを生み出さない．しかし，フラックス存
在すると，有限なポテンシャルが生じる．(Giddings SB, Kachru S, Polchinski J
2002[GKP02])
IIB 型理論において，計量が
ds2 = e−6u(x) ds2 (X4 ) + e2u(x) ds2 (Y6 )
(2.7.34)
の形をしていて，モジュライ場が次の構成（対応する N = 1 超組）を持つとする：
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第 2 章 トップダウンアプローチ
84 目次へ
• 重力場：gµν
• dilaton-axion 場： τ = C0 + ie−Φ
√
• サイズモジュラス：ρ = b/ 2 + ie4u . ここで，
C[4] = a[2] ∧ J ⇒
da[2] = e−8u ∗ X db
(2.7.35)
• 複素モジュライ： z a , a = 1, · · · , h2,1
このとき，10 次元作用積分より，τ, ρ に対する作用積分は
1
∇τ · ∇τ̄
∇ρ · ∇ρ̄
S= 2
dvol(X) R(X) − 2
−6
2κ4 X
|τ − τ̄ |2
|ρ − ρ̄|2
(2.7.36)
ここで，
κ24 =
κ210
vol(Y )
(2.7.37)
これは，次の Kähler ポテンシャルに対応する：
K1 = − ln [−i(τ − τ̄ )] − 3 ln [−i(ρ − ρ̄)]
(2.7.38)
超ポテンシャルはゼロである．
一方，複素構造モジュライに対する Kähler ポテンシャルは，一般論より，
K2 = − ln −i
Ω ∧ Ω̄
(2.7.39)
Y
で与えられる．ポテンシャルを求めるため，上記のモジュライ場による表式を１
０次元作用積分に代入すると，G[3] を含む項
1
1
∗ Y G[3] ∧ Ḡ[3]
SG = − 2
dvol(X)
(2.7.40)
4κ10 X
Y Im τ
が残る．ここで，G[3] をカイラル分解する：
−
G[3] = G+
[3] + G[3] ;
±
∗ Y G±
[3] = ∓iG[3] ,
(2.7.41)
すると，
α3+ ∧ β3+ = 0,
α3− ∧ β3− = 0
(2.7.42)
より
∗ Y G ∧ Ḡ = i(−G+ + G− ) ∧ (Ḡ+ + Ḡ− ) = −2iG+ ∧ Ḡ+ + iG ∧ Ḡ
= −2iG+ ∧ Ḡ+ + 2(Im τ )H[3] ∧ F[3]
よって， SG は
SG =
dvol(X) −V −
H[3] ∧ F[3]
X
(2.7.43)
(2.7.44)
Y
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
85 目次へ
ここで，第２項は H[3 および F[3] のコホモロジー類のみで決まる位相的項．一方，V
は
i
+
V =− 2
G+
(2.7.45)
[3] ∧ Ḡ[3]
2κ10 Im τ Y
（Im τ = 1/gs = const を仮定）．
このポテンシャルは，次の超ポテンシャル
W =
G[3] ∧ Ω
(2.7.46)
Y
から導かれることを示す．まず，調和３形式が
∗ Y Ω = −iΩ,
∗ Y χa = iχa
(2.7.47)
となることに注意する．これより，
ā
G+
[3] = w0 Ω + w̄ χ̄ā ;
よって，
V=
Y
G[3] ∧ Ω̄
Y
G
∧
Ω̄
G[3] ∧ χb
[3]
, w̄ ā = Gāb Y
.
w0 = Y
Ω ∧ Ω̄
Ω ∧ Ω̄
Y
Y
Ḡ[3] ∧ Ω + Gab̄ Y G[3] ∧ χa Y Ḡ[3] ∧ χ̄b̄
.
2(Im τ )κ210 (−i) Y Ω ∧ Ω̄
一方，小平の関係式を考慮すると，
K = − ln[−i(τ − τ̄ )] − 3 ln[−i(ρ − ρ̄)] − ln[−i
(2.7.48)
(2.7.49)
Ω ∧ Ω̄]
(2.7.50)
に対して，
1
3
, ∂ρ K =
, ∂a K = −ka ,
τ̄ − τ
ρ̄ − ρ
1
3
=
,
G
=
ρρ̄
|τ̄ − τ |2
|ρ̄ − ρ|2
∂τ K =
(2.7.51)
Gτ τ̄
(2.7.52)
これより，
1
Dτ W =
Ḡ ∧ Ω,
τ̄ − τ Y
3
W,
Dρ W =
ρ̄ − ρ
Da W =
G ∧ χa .
(2.7.53a)
(2.7.53b)
(2.7.53c)
Y
よって，超ポテンシャルとポテンシャルの関係式は
eK ij̄
2
V =
G Di W Dj W − 3|W |
κ2
eK 2
2
ab̄
=
|D
W
|
+
G
D
W
D
W
|τ̄
−
τ
|
τ
a
b
2
κ
G[3] ∧ Ω̄ Y Ḡ[3] ∧ Ω + Gab̄ Y G[3] ∧ χa Y Ḡ[3] ∧ χ̄b̄
Y
=
2(Im τ )(2Im ρ)3 κ2 (−i) Y Ω ∧ Ω̄
(2.7.54)
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第 2 章 トップダウンアプローチ
86 目次へ
(3) 基底状態の性質
基底状態では V = 0 より，G[3] は ISD(imaginary self-dual) となる：
Dτ W = Da W = 0 ⇒
G+
[3] = 0 ⇒
∗ Y G[3] = iG[3] ISD
(2.7.55)
この条件は，
G[3] ∈ H
2,1
⊕ H 0,3
(2.7.56)
と同等で，複素構造モジュライ（＋ dilaton-axion）に対する h2,1 + 1 個の拘束条件
となるので，一般にそれらの値を完全に決定する．
ただし，超対称性はより強い条件 Di W = 0（任意の i）を要求する．今のモデ
ルでは，この条件は，Dρ W = 0 ⇒ W = 0，したがって，
G[3] ∈ H
2,1
(2.7.57)
を要求する．
また，この基底状態は，フラックス G[3] に依存するが，超ポテンシャルの形よ
り，正確には G[3] のコホモロジー類にのみ依存する：
2 F3 = 4π α Mj ,
H3 = −4π 2 α Kj
(2.7.58)
Aj
Bj
さらに，弦理論においては，これらの (Mj , Kj ) は整数に量子化される．
2.7.3
量子効果
摂動論の範囲では，Kähler モジュライの超ポテンシャルはゼロであるが，非摂動
論的効果を考慮すると自明でないポテンシャルが生成される可能性がある．例えば，
IIB モデルの F 理論的記述において，１２次元の時空が８次元 CY8 により４次元にコ
ンパクト化される際に，CY8 が算術種数１の divisor D を含む場合（χ(D, ØD ) = 1)，
超ポテンシャルにサイズモジュラスに依存した項が加わる：(Witten E 1996 [Wit96])
W = W0 (z) + b(z)e2πiρ .
(2.7.59)
このとき，対応するポテンシャル V (ρ) は，σ = e4u = Im ρ に関して最小点 ρm を持つ
ようになる．この最小点は，V (ρm ) < 0 より AdS 4 時空を与える (KKLT[KKLT03]．
また，この基底状態は N = 1 超対称性を保つ．
ここで，真空はフラックスを特徴づける整数値の組 (Mj , Nj ) ごとに決まり，宇
宙項の値が準連続となる無限個の超対称な真空の集合を与える（ランドスケープ
問題）．
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第 2 章 トップダウンアプローチ
87 目次へ
§2.8
宇宙の加速膨張に対する No-Go 定理
【定理 2.8.1】 高次元（統一）理論が次の条件を満たしているとする：
1. 時空が次の構造をもつ：
ds2 (Mn+4 ) = W (y)1/2ds2 (X4 ) + ds2 (Yn )
(2.8.1)
2. 内部空間 Yn は境界のないコンパクトな多様体で，計量は静的である．
3. ワープ因子 W (y) は至る所，有界正則である．
4. 高次元理論が強エネルギー条件 R00 (Mn+4 ) ≥ 0 を満たしている．
このとき，４次元時空 X4 でも強エネルギー条件 R00 (X4 ) ≥ 0 が満たされる．
Proof. 仮定より，任意の時間的ベクトル V に対して，
RV V (X) = RV V −
1
Y W
4W
(2.8.2)
が成り立つ．これを Y 上で積分すると
1
RV V (X) dΩ(Y )W =
dΩ(Y ) W RV V − Y W
4
Y
Y
(2.8.3)
を得る．RV V ≥ 0 で W が有界正則なら，この式の右辺は ≥ 0 となり，RV V (X) ≥ 0
を得る．
Raychaudhuri 方程式
3
ä = −RV V − 2σ 2 + 2ω 2 ;
a
∇·V =3
ȧ
a
(2.8.4)
より，この定理は宇宙の加速膨張を禁止する．
文献ノート
• No-Go 定理: M/string 理論を含む高次元理論において，内部空間が静的
な warped product 型コンパクト化では，強エネルギー条件が常に満たされ，
４次元時空の加速膨張は起こらないことを主張 [Maldacena J & Nunez C
(2001), Gibbons GW (1985), de Wit B, Smit DJ & Hari Dass ND (1987),
][Gib85, MN01, Gib03].
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第 2 章 トップダウンアプローチ
88 目次へ
• Chen-Galtsov-Guperle 解: 高次元 SUGRA に対する単 S-brane 型解．内
部空間は任意曲率．[hep-th/0204071][CGG02]
• Ohta 解: D = 11 SUGRA および D = 10 SUGRA に対する，時間のみに依
存し，任意曲率の定曲率空間でコンパクト化した厳密解の族（多 S-brane 型
解）[hep-th/0301095][Oht03b]
• Townsend-Wohlfarth 解: 内部空間が負曲率 Einstein 空間でそのサイズに
時間依存性を許せば，No-Go 定理は成り立たず，中間インフレーション真空
解が存在することを指摘 [hep-th/0303079]． [TW03]
• Townsend-Wohlfarth 解は Chen-Galtsov-Guperle 解ないし単 S-Brane の場合
の Ohta 解 [Oht03b] において 3-form flux(SM2-brane) がゼロの極限を取った
もので，flux がゼロでない場合は内部空間が平坦となる中間インフレーショ
ン解も含むことを指摘 [hep-th/0303238][Oht03a]
• Ohta 解が内部空間が球となる中間インフレーション解を含むことを指摘 [hepth/0304172][Oht03c]
• 内部空間が複数の定曲率空間の積となる真空モデルの研究．調べられた範囲
で十分なインフレーションなし [Chen C (2003)]．[CHNW03]
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第 2 章 トップダウンアプローチ
89 目次へ
§2.9
ブレインインフレーションモデル
文献ノート
1998 (ブレイン・反ブレインインフレーションモデル) (Dvali GR, Tye SHH [DT99])
2003 (KKLT モデル) すべてのモジュライが安定化され，準安定 dS 真空をもつ，
IIB 理論のワープしたフラックスコンパクト化モデル (Kachru S, Kallosh R,
Linde A, Trivedi S[KKLT03])．
(KKLMMT モデル) KKLT モデルと D D̄ 対を用いたブレインインフレー
ションモデルおよびワープを組み合わせたインフレーションモデル．(Kachru
S, Kallosh R, Linde A, Maldacena J, McAllister L, Trivedi S[KKL+ 03])
(D3/D7 ブレインインフレーションモデル) (Hsu JP, Kallosh R, Prokushkin
S[HKP03]; Koyama F, Tachikawa Y, Watari T[KTW04]; Firouzjahi H, Tye
SHH[FT04]; Hsu JP, Kallosh R 2004[HK04])
(DBI インフレーションモデル) (Silverstein E, Tong D[ST04]; Alishahiha M,
Silverstein E, Tong D 2004[AST04]; Chen XG 2005[Che05b, Che05a])
2004 (Racetrack モデル) KKLT 型モデルでインスタントン効果に基づくサイズモ
ジュラスポテンシャルとして，２つの指数関数型ポテンシャルの和を用いると，
スローロール条件を満たすモデルができることを指摘（ただし，fine-tuning が
必要）．(Blanco-Pillado JJ, Burgess CP, Cline JM, Escoda C, Gomez-Reino
M, Kallosh R, Linde A, Quevedo F [BPBC+ 04])
2005 (タキオンインフレーションモデル) (Cremades D, Quevedo F, Sinha A[CQS05])
(N-flation) (Dimopoulos S, Kachru S, McGreevy J, Wacker J [DKMW05])
2006 (改良版 Racetrack モデル）CY orientifold CP 4[1,1,1,6,9] を用いた racetrack モ
デル．WMAP3years と整合的なスペクトル指数 ns ≈ 0.95 を与える．(BlancoPillado JJ, Burgess CP, Cline JM, Escoda C, Gomez-Reino M, Kallosh R,
Linde A, Quevedo F [BP+ 06])
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- 90-
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参考文献
Books and Reviews
• 群論と大統一理論
Slansky R: Group Theory for Unified Model Building, Phys. Reports
79, 1-128 (1981).
• 微分幾何学
Kobayashi S, Nomizu K: Foundations of Differential Geometry, I & II
(Interscience Pub, 1963 & 1969).
Eguchi T, Gilkey PB, Hanson AJ: Gravitation, Gauge Theories and
Differential Geometry, Phys. Report 66, No. 6, 213-393 (1980).
Besse AL: Einstein Manifolds (Springer, 1987).
Lawson HB Jr., Michelsohn M.-L.: Spin Geometry (Princeton Univ.
Press, 1989).
Greene BR: String Theory on Calabi-Yau Manifolds, TASI-96 summer
school on Strings, Fields and Duality [hep-th/9702155].
Joyce DD: Compact Manifolds with Special Holonomy (Oxford Univ.
Press, 2000).
• 超対称性，超重力理論
Wess J, Bagger J: Supersymmetry and Supergravity, 2nd ed. (Princeton
Univ. Press, 1992).
Townsend PK: Four Lectures on M-theory [hep-th/9612121]
• Kaluza-Klein コンパクト化
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
91 目次へ
Duff MJ, Nilsson BEW, Pope CN: Kaluza-Klein Supergravity, Phys.
Reports 130, 1-142 (1986).
• 超弦理論
Green MB, Schwarz JH, Witten E: Superstring theory, 2 vols (CUP,
1987).
Polchinski J: String Theory, 2 vols (CUP, 1998).
• ４次元有効理論
Grimm TW, Louis J: The effecitive action of N = 1 Calabi-Yau orientifolds, Nucl. Phys. B 699, 387-426 (2004).
• 超弦理論に基づく現象論
Quevedo F: Lectures on Superstring Phenomenology [hep-th/9603074]
Nilles HP: Five Golden Rules for Supersting Phenomenology [hep-th/0410160]
目次へ
- 92-
目次へ
関連図書
[AST04]
Alishahiha, M., Silverstein, E. and Tong, D.: DBI in the Sky, Phys.
Rev. D 70, 123505 (2004).
[BP+ 06]
Blanco-Pillado, J., et al.: Inflating in a Better Racetrack, hepth/0603129 (2006).
[BPBC+ 04] Blanco-Pillado, J., Burgess, C., Cline, J., Escoda, C., GomezReino, M., Kallosh, R. and Li, : Racetrack Inflation, JHEP 0411,
063 (2004).
[CdlO91]
Candelas, P. and Ossa, de la X.: Moduli Space of Calabi-Yau Manifolds, Nucl. Phys. B 355, 455 (1991).
[CGG02]
Chen, C.-M., Gal’tsov, D. and Gutperle, M.: S-brane Solutions in
Supergravity Theories, Phys. Rev. D 66, 024043 (2002).
[Che05a]
Chen, X.: Inflation from warped space, JHEP 0508, 045 (2005).
[Che05b]
Chen, X.: Running non-Gaussianities in DBI inflation, Phys. Rev. D
72, 123518 (2005).
[CHNW03] Chen, C.-M., Ho, P.-M., Neupane, I. and Wand, J.: A Note on Acceleration from Product Space Compactification, JHEP 0307, 017
(2003).
[CHSW85] Candelas, P., Horowitz, G., Strominger, A. and Witten, E.: Vacuum
configurations for superstrings, Nucl. Phys. B 258, 46–74 (1985).
[Cor89]
Cornwell, J.: Supersymmetries and Infinite-Dimensional Algebras,
Group Theory in Physics, vol. 3, Elsevier (1989).
[CQS05]
Cremades, D., Quevedo, F. and Sinha, A.: Warped Tachyonic Inflation in Type IIB Flux Compactifications and the Open-String Completeness Conjecture, JHEP 0510, 106 (2005).
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
[Dew63]
93 目次へ
Dewitt, B.: in Dynamical Theory of Groups and Fields, 1963 Les
Houches Summer School (1963).
[DKMW05] Dimopoulos, S., Kachru, S., McGreevy, J. and Wacker, J.: N-flation,
hep-th/0507205 (2005).
[DT99]
Dvali, G. and Tye, S.: Brane Inflation, Phys. Lett. B 450, 72 (1999).
[FT04]
Firouzjahi, H. and Tye, S.-H. H.: Closer towards inflation in string
theory, Phys. Lett. B 584, 147–54 (2004).
[Gib85]
Gibbons, G.: Aspects of Supergravity Theories, in Aguilla, del F.,
Azcarrage, A. and Ibanez, L. eds., Supersymmetry, Supergravity and
Related Topics, World Scientific (1985).
[Gib03]
Gibbons, G.: Thoughts on Tachyon Cosmology, Class. Quantum
Grav. 20, S321–S346 (2003).
[GKP02]
Giddings, S. B., Kachru, S. and Polchinski, J.: Hierarchies from
Fluxes in String Compactifications, Phys. Rev. D 66, 106006 (2002).
[GL04]
Grimm, T. and Louis, J.: The effective action of N = 1 Calabi-Yau
orientifolds, Nucl. Phys. B 699, 387–426 (2004).
[HK04]
Hsu, J. and Kallosh, R.: Volume Stabilization and the Origin of the
Inflaton Shift Symmetry in String Theory, JHEP 0404, 042 (2004).
[HKP03]
Hsu, J., Kallosh, R. and Prokushkin, S.: On Brane Inflation With
Volume Stabilization, JCAP 0312, 009 (2003).
[Joy00]
Joyce, D.: Compact Manifolds with Special Holonomy, Oxford Univ.
Press (2000).
[Kac77]
Kac, V.: Lie superalgebras, Adv. Math. 26, 8–96 (1977).
[KKL+ 03]
Kachru, S., Kallosh, R., Linde, A., Maldacena, J., McAllister, L. and
Trivedi, S. P.: Towards Inflation in String Theory, JCAP 0310, 013
(2003).
[KKLT03]
Kachru, S., Kallosh, R., Linde, A. and Trivedi, S.: de Sitter Vacua in
String Theory, Phys. Rev. D 68, 046005 (2003).
[KTW04]
Koyama, F., Tachikawa, Y. and Watari, T.: Supergravity Analysis of
Hybrid Inflation Model from D3–D7 System, Phys. Rev. D 69, 106001
(2004).
[MN01]
Maldacena, J. and Nunez, C.: Supergravity description of field theories on curved manifolds and a no go theorem, Int. J. Mod. Phys. A
16, 822–855 (2001).
目次へ
第 2 章 トップダウンアプローチ
94 目次へ
[Oht03a]
Ohta, N.: Accelerating Cosmologies from S-Branes, Phys. Rev. Lett.
91, 061303 (2003).
[Oht03b]
Ohta, N.: Intersection Rules for S-Branes, Phys. Lett. B 558, 213–220
(2003).
[Oht03c]
Ohta, N.: A Study of Accelerating Cosmologies from Superstring/M
theories, Prog. Theor. Phys. 110, 269 (2003).
[Par80]
Parker, M.: Classification of real simple Lie superalgebra of classical
type, J. Math. Phys. 21, 689–97 (1980).
[ST04]
Silverstein, E. and Tong, D.: Scalar Speed Limits and Cosmology:
Acceleration from D-cceleration, Phys. Rev. D 70, 103505 (2004).
[SW85]
Strominger, A. and Witten, E.: New Manifolds for Superstring Compactification, Comm. Math. Phys. 101, 341–61 (1985).
[TW03]
Townsend, P. and Wohlfarth, M.: Accelerating Cosmologies from
Compactification, Phys. Rev. Lett. 91, 061302 (2003).
[Wit81]
Witten, E.: A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math.
Phys. 80, 381–402 (1981).
[Wit86]
Witten, E.: New issues in manifolds of su(3) holonomy, Nucl. Phys.
B 268, 79 (1986).
[Wit96]
Witten, E.: Nonperturbative Superpotentials in String Theory, Nucl.
Phys. B 474, 343–360 (1996).
目次へ