代数多様体の Brauer 群とその数論的応用

所属： 豊田工業高等専門学校 一般学科
研究タイトル：
代数多様体の Brauer 群とその数論的応用
氏名：
植松 哲也／UEMATSU
職名：
助教
Tetsuya
E-mail：
uematsu
学位：
博士(数理科学)
所属学会・協会：
日本数学会
キーワード：
代数多様体，Brauer 群，有理点，代数的サイクル
技術相談
提供可能技術：
・数学一般, とくに代数学に関すること
・工学系数学（線形代数, 微分積分, 微分方程式, 複素関数論, ベクトル解析など）に関する
質問・相談
代数多様体の Brauer 群とその数論的応用
1. 研究領域の概要
研究内容：
整数論における古典的な分野の一つとして、 Diophantos 問題、 すなわち、 与えられた不定方程式に整数解や
有理数解が存在するかどうかを研究する問題がある。例えば、 3 変数方程式 $x^2+y^2=z^2$ の解は、 「ピタゴラ
ス数」としてよく知られているものである。
他方、 こうした方程式は、 例えば、 「直線」ax+by=c や「円」x^2+y^2=1 のように、図形としてとらえることができ
る。このように、 代数的な多項式からなる(連立)方程式の解集合(=グラフ)として表わされる図形は「代数多様体」と
呼ばれ、 その性質を調べる分野を代数幾何学とよぶ。この見方に立てば、元の方程式の「解」は、対応する代数多
様体の「点」に対応するものとなり、 方程式を幾何的な視点から捉えることができる。こういった視点で整数論的な
諸問題に取り組む「数論幾何学」と呼ばれる分野が私の専門領域である。
2. 研究内容
その中でも、私は、 A. Grothendieck によって、 導入された代数多様体の「Brauer 群」と呼ばれる不変量に興味
を持って研究を進めてきた。この量はさまざまな応用を持つことが、 その後の研究で明らかになってきている。私
は、
(i) 「代数多様体の Brauer 群はどのような群であるのか」
(ii) 「Brauer 群を通して、元の方程式に対してどのような整数論的知見が得られるのか」
といったことをこれまで研究してきた。(i)については、 例えば、 対角的 3 次曲面やアフィン対角的 2 次曲面の
Brauer 群の群構造の決定および具体的な生成元の構成・非存在の証明 [1, 3] を行い、(ii) については、 [1] の
結果なども用いて、重要な不変量である p 進体上の対角的 3 次曲面のゼロサイクルを計算することに成功した
[2]。
最近は、 科学研究費補助金・若手研究(B)・課題番号 15K17526 の助成を受け、 Brauer 群の一般化である不
分岐コホモロジーにも研究対象を広げ、 考察を進めているところである。
3. 今後の展望
今後は、有理性問題とよばれる領域への Brauer 群の応用、 2 次形式に関する u-不変量に関する問題にも研
究を広げていきたいと考えている。
[1] T. Uematsu, On the Brauer group of diagonal cubic surfaces, Q.J. Math., 65(2014) no.2, 677-701.
[2] —, Zero-cycles on diagonal cubic surfaces over p-adic fields, Math. Z., 279(2015) no.3-4, 1047-1066.
[3] —, On the Brauer group of affine diagonal quadrics, J. Number Theory., 163(2016), 146-158.
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