13. R回路と平均値、実効値

13. R回路と平均値、実効値
13. R Circuit, Mean Value and Effective Value

このテーマの要点
交流回路における抵抗の働きを理解する
平均値と実効値の定義と意味を理解する
交流 (R) 回路における電力の考え方と特徴を理解する


教科書の該当ページ

1.7.1 抵抗における関係 [p.32]

1.5.3 最大値と実効値 [p.21]
抵抗回路
抵抗 R
回路の電流を抑制

e(t) = Em sinω t とすると
e(t)
交流におけるオームの法則
R
E
= m sinω t
R
i(t) =
= Im sinω t
i(t)

電流は抵抗に反比例

電圧と電流は同相
変数、物理量 E, i, R
V, A, Ω
単位
イタリック or ローマン
E, I, R
変化しない
e, i
変化する
大文字 or 小文字
平均値

電圧・電流の変化


振幅一定
変化の速度(ω)も一定
定常状態
波形一周期分の平均的な値を考えてみる

平均値 (mean value, average value) Eav, Iav

絶対値をとる (正負同面積の場合)

波形1周期分の面積 S を求める

1周期 T で割る
同じ幅、同じ面積の長方形の高さ(直流振幅)
振幅と平均値
振幅 Im の正弦波交流の平均値を計算してみる
T
|i (t)| dt (1.77)
Iav = S = 1 ⌠
T T ⌡0
T/2
I sinω t dt
= S/2 = 2 ⌠
T/2 T ⌡0 m
0.637Im
Iav
(1.78)
i(t) = Im sinω t
=
2Im − cosω t
ω
T
=
2Im
(− cos ω T + cos 0)
ωT
2
=
1
1
2Im
2I
(− cosπ + cos 0) = πm = 0.637 Im
2π
T/2
0
(t = 0~T/2)
ωT = 2π f T
= 2π f 1
f
= 2π
瞬時電力
一般に、交流では電力も時間的に変化する
e(t) = Em sinω t, i(t) = Im sinω t
e
i
電力を計算すると
p(t) = e(t)•i(t)
= Em sinω t •


cos 2x = cos2 x − sin2 x
= 1 − 2sin2 x

T t
p(t)
T t
0
(1.71)
Em 2
=
(1 − cos 2ω t)
2R
e(t)
i(t)
Em2
R
Em
sinω t
R
Em 2 2
=
sin ω t
R
Em
全て正の値
時間的に変化
変化の速度が2倍
(1.73)
瞬時電力の平均値
一周期における平均的な電力を考えてみる
T
p (t) dt
Pav = 1 ⌠
T ⌡0
Em 2
=
2R
Em 2
=
2R
Em2
R
Em2
2R
1 ⌠T (1 − cos 2ω t) dt
T ⌡0
1 t − sin2ω t
2ω
T
0
0
0
E 2
= m 1 (T −0) − sin4π − sin0
2R T
2ω
=
Em 2
2R
(1.74)
Pav
t
T
0
p(t)
T
実効値
同一抵抗において、平均電力と同じ電力を消費する直流電圧は？
Em 2
Pav =
2R
Pav = P となる条件は
∴ E=
2
P = EI = E
R
=
Em
2
(1.75)
Em 2
= E2
2
実効値
1 ⌠T e 2(t) dt
T ⌡0
(1.79)
実効値＝瞬時値の2乗の平均のルート
Square
Mean Root
RMS値
一方、
(1.71)
E2 = R P
R ⌠T p (t) dt = 1 ⌠T E 2 sin2ω t dt = 1 ⌠T e 2(t) dt
=
av
T ⌡0
T ⌡0 m
T ⌡0
実効値の例

正弦波
E=

Em
2
例題：方形波
RMS値として
求めてみる

2乗波形の面積は
S = Em 2 T
2

最大値(振幅)の

AC100V
1
倍
2

実効値
一周期の平均値は
Em 2
S
Eav = =
2
T

ルートをとって
E=
Em
2