星形正多面体の歴史

数理解析研究所講究録
1195 巻 2001 年 8-13
8
$\ovalbox{\tt\small REJECT}-\pi/’\ddagger/\mathrm{i}\mathrm{E}\Rightarrow=\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{\alpha}’\#\varpi\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{E}$
A Short Hi story of Regular Star
$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{I}\mathrm{t}_{0\mathrm{p}\mathrm{e}}\mathrm{s}/\mathrm{b}\mathrm{y}$
Sin Hi totumatu
東京電機大学 (鳩山校舎) /\approx 松
$0$
.
信
初めに
これは数学史というよりも数学的な内容が強いが、 正多面体の歴史を調べた–部として
報告したい。
2 次元の星形正多角形は古代から知られていた。 特に星形正五角形 (Pentagrmna) は、
い
わゆるピタゴラス学派が、 彼らの秘密のシンボルにしていたと伝えられている。 しかし彼
らがそれを正 6/2
2 次元の正 n/d
角形と認識していたかは疑問である。
$(\mathrm{d}<\mathrm{n}/2)$
角形は、 正
れが連結になるための条件は、
$\mathrm{n}$
と
$\mathrm{n}$
$\mathrm{d}$
角形の頂点を
$\mathrm{d}$
点おきに結んでできる。 このときそ
とが互いに素なことである。 そのとき分母の
度、 すなわち中心の周りの回転指数を表す。
$-\mathrm{d}$
は
$\mathrm{d}$
は密
denominator と dens ty との共通の頭
$i$
文字になっている。
星形正多角形の 3 次元版が、 星形正多面体である。 4 次元にも同様の星形正多罪体があ
る。 但し 5 次元以上の空間には、 星形正多胞体は存在しない。
以下では 3 次元の場合を中心に述べ、 最後に 4 次元の場合に言及する。 その他に双曲型
空間内の星形正多面体があるが、 ここではそれらには触れない。
I
1. 1
3 次元の場合
通常の正多面体 (いわゆるプラトンの立体) は、 ユークリッドの 『原論\sim 第 13
巻に詳しいし、 後世の第 14,15 巻にも発展がある。 但し– 時期主張された 「原論が 5 種の
正多面体の存在を目標に書かれた」 という説は、 現在では否定されている。
普通正多面体の面が正
が作る角錐) が正
$\mathrm{p}$
$–$
,
$\mathrm{q}$
$\mathrm{q}$
$\mathrm{P}$
角形であり、 その頂点形 (各頂点についてそれと隣接する頂点
角錐であるとして
$(\mathrm{p},\mathrm{q})$
が整数のとき許される組は、 よ
$<$
と表す。
記号。
$-\underline{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{i}\text{の}}$
知られている 5 種に限る。
$-$
この事実はオイラ
の公式からも、 頂点の周りの角の和からも、 容易に証明できる。
星形正多面体とは、
この
$\mathrm{P}$
または
$\mathrm{q}$
(あるいは両方) が整数でない分数の場合である。
実際には後述のように 5/2 が–方に許されるだけである。 それらはすべて正二十面体群を
変換群とするので、 同じ変換群に属する正+二. 二+面体と併せて、 表 1 に主な
$-\gamma^{-}-_{\mathrm{A}}arrow pk$
掲
げた。
1. 2
通説ではこのうち 「小星」 と「大星」 とを Kepler(1611) が研究し、 それらの双
対に当る 「大
$12\mathrm{J}$
と「大
$20\mathrm{J}$
とを Po insot(1808) が発見した ; その直後に Cauchy (1811) が
それ以外にないことを証明したとされる。
これは大筋において誤りではないが、 多少調べた結果を述べたい。
9
表 13 次元星形正多面体
$- \frac{\mathrm{j}\mathrm{E}\text{式}R\hslash\Re \mathfrak{F}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{V}\mathrm{E}\mathrm{F}\mu*\text{度}\sim_{\grave{\mathrm{r}}}\overline{-}\text{性}\pi\backslash \text{数}{\mathrm{i}\mathrm{E}125320301210}}$
正十二面体
正二十面体
正 20
3512
OUO
星形小十二面体
小星
5/2
512
星形大十二面体
大星
5/2
320
000
000
200
12
12
大十二面体
大 12
55/2
12,
OUO .
11 り
大二十面体
大 20
35/2
12
000
200
$\cdot$
1
$0$
34
7
34
7
$0$
$0$
小星・大星・大 12 ・大 20 の別名 :(順次) 密度 3 の星形十二面体・密度 7 の星形十二面
体・密度 3 の (凸面) 十二面体・密度 7 の二十面体
$-$
実際 $[21, [3]$ などの記述によると、 Pad
$0$
Uccello
$(_{\backslash }1420)$
の作品は 「小星」 を意図して
いる。 また 1568 年の Jamri tzer の図は、 「大星」 「大 $12$ 」 そのものに見える。 しかしその
ような図形を 「星形正多面体」 と意識して研究したのは、 やはり Kepler が最初のようであ
る。 その意味で
$\text{「}$
Kepler の発見」 という通説は正しいと思う。
これら 3 種は割合に作りやすい。 しかし 「大 $20$ 」. は双対性などを意識して構成しないと
発見が難しい。 歴史の上で 「なかった」 という証明は難しいが、
$\Gamma$
大
$20\text{」}$
が 19 世紀初めま
で発見されなかったのは事実らしい。
1. 3
$12\mathrm{J}$
ところで Kepler がなぜ 「小星」 「大星」 を知りながら、 前者の双対である 「大
に言及しなかったのか? 「見てきたような嘘」 かもしれないが、 以下のような想像説
がある。
Kepler が正多面体に凝ったのは、 彼の著書 r 華甲の神秘』
にある通り、太陽系の惑星の
軌道半径の比を、 正多面体の外接・内接球の半径の比によって説明しようと試みたことに
あるらしい。 $-$ 実は筆者が正多面体に興味をもったもとは、 Kepler の図だった。 中学 3 年
の折に、 正多面体
$(\mathrm{p},\mathrm{q})$
の外接・内接球の半径 R,
$\mathrm{r}$
の比が
$\mathrm{R}/\mathrm{r}=\tan(\pi/\mathrm{p})\cdot\tan(\pi/\mathrm{q})$
と表されることを、 三角法を使って計算した記憶がある。
ない。 現行の高校 「数学
$-$
これはそれ程大した問題では
1: 図形の計量」 の知識で可能である。
しかし数値を計算すると、 すべて実際の軌道の比よりも小さい ; 特に火星
:
地球、 地球
: 金星
の比が大きく違うので、 「こじつけ」 だと思った。
後に知ったのだが、 Kepler 自身もこの点には不満だったらしい。 一時期 「小星」 (比が
「 ) を、 火星
$5$
: 金星
に当てはめたらよく合うのに喜んだこともあったらしい。 しかし地
球を飛ばしたのでは、 天動説に逆戻りだと気がつき、 改めて色々な準正多面体を研究した。
しかし準正多面体には外接球があっても内接 i 球がないなどで、
双対図形 ( と
$\mathrm{p}$
$\mathrm{q}$
を交換した図形) については、
$\mathrm{P}:\mathrm{r}$
$\text{結}\ovalbox{\tt\small REJECT}\#\#$
した形に終った。
の比が同– なので、 「大 $12$ 」 を調べ
ても新に得るところがないとして、 断念したらしいというのである。
この説はともかく、[3] によると、 正多面体に関する Keple の業績が注目をひかずに忘れ
$\mathrm{r}$
られたのは、 それが 「数学」 の論文としてではなく 「宇宙の神秘」 に関する議論ととられ
たせい、 というのは事実だろう。
10
1. 4
星形-|F 多面佐が厩知のものしかないこ》に閏十
$\bigwedge_{-}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{h}\text{▼}$
の訂田
$1\star$
輩の老身を
.
$i\mathrm{E}^{-}f\Phi\text{。}$
それは–軸の周りの巡回群二面体群と、 正多面体群 3 種しかない。 本質的な星形正多
面体は、 正多面体群に所属するものに限るが、 正四面体群からは星形ができない。 正八面
体群からは無理に作ると、 立方体の頂点を– つおきに結んでできる正四面体が 2 個入り組
んだ図形ができる。 これは星形 6 角形 (いわゆるダビデの星) の 3 次元版であり、 星形正
多面体の開聞に加える人もあるが、 正確には 「複合多面体」 であって星形ではない。
結局真の星形正多面体は、 正二十面体群に所属するものだけであり、
以外に 5/2 が許されるだけである。
$-$
$\mathrm{P}$
,
$\mathrm{q}$
には 5,
3
このことから何故 (5/2, 4) が不可能かもわかる。 強
いてそれを作ろうとしても、 右影面数で閉じな \langle なるなるのである。
残された課題は自己双対である (5/2,5/2) の不可能性である。 Cauchy は直接にそれを作
ろうとしても、 有限歩数では閉じないことを示した。 それは正しいがこの証明がやや Ad
$\mathrm{H}^{\mathrm{o}\mathrm{c}}$
な印象である。 今日では正二十面体群関連の図形について、 3 をそのままにし、 5 と 5&
とを交換する 「共役変換」 が可能なことがわかっている。 (5.5) という正多面体が不可
能なことから、 (5/2,5/2) が不可能なことが直ちにわかる。 なお共役変換は 4 次元の場合
にも有効である。
但し Cauchy はその後群を忘れてしまったような印象を受ける。
1. 5
4 種の星形正多面体の構成法は色々あるが、 下記の図の関係を活用するとよい。
この図は線で結んだ同志が、 線の脇に記入した要素を共干していることを表す。 具体的に
は以下の通りである。
1.
2.
正 12 面体の四辺を延長して、 正五角形の面を星形正五角形にすると小星ができる。
門下の各面をその下平である正五角形にすると大 12 を得る。
3. 大 12 の各辺を延長して、 面を星形正五角形にすると大星を得る。
4. 大 12 の辺の囲む正三角形を面にすると、 正二十面体になる。 逆に正二十面体の各面を
凹ませ、 各頂点の隣にある 5 点のなす正五角形を面にすると大 12 になる。
5. 大 20 は最も作り難い。 しかしその面を除いて点と辺のなす骨格
(フレームワーク) に
すると、 それは子星のと同– である。 実際等星の骨格をよく見ると、 隣り同志の辺は 38 度
.
で交わっているが、 頂点で–つ先の辺との角は 60 度である。
$-$
これは計算しなくても、 初
等幾何学的に簡単に証明できる。 頂点を 3 点ずつうまく組合せると大きな正三角形が 20 枚
でき、 それらを面として大 20 ができる。
正 12
辺
面
小滴
辺
–
占
大 20
$\cdot$
$\Leftrightarrow b$
$\mathrm{A}[R\mathrm{i}$
‘
$\iota_{\text{、}}5_{\backslash },|\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}$
$-.–$
大星
.
$..\cdot..\mathrm{g}$
$..\Leftrightarrow b\backslash \cdot\backslash$
辺
面
大 12
$\infty \mathrm{J}B\text{正}20$
11
1. 6
歴史ではな
$\text{く}$
数学の話になるが、 星形正多面体についていくつかの注意を述べ
ておく。
小髭と大 12 とは、 頂点と面とが 12 個ずつで辺が 30 平なので、 ナイラーの定理が成立しな
い。
このために 19 世紀中頃の Schlafl は、 これらを多面体と認なかったという。 現在の我
$\mathrm{i}$
々は、 その表面が球面と同位相でなく、 示性数 4 の曲面というだけの話であって、 矛盾で
はないと理解する。 しかし過去にはこのような 「誤解」 もあった。
模型を作ってみて初めて気がついたのだが、 同じ長さの- 辺をもつ小星と大星とでは、
小星のほうが体積が大きい。 芯における重複を表す密度を補正しても、 やはりそうである。
しかしこれは誤りや誤訳ではない。 大
$\circ$
小は立体そのものを修飾しているのではなく、 そ
の面をなす星形五角形の大小を風味する形容詞である。 大 12 を標準とすると、 その面の正
五角形を対角線で結んで坐盗
星形五角形にしたのが小智であり、 その辺を延ばして本
星形五角形にしたのが大星なのである。 $-$ 漢語ではしばしば形容詞と修飾される語との
$\mathrm{A}\backslash$
対応が曖昧な例。
1. 7
これまでにも何度か使った 「密度」 とは、 その表面が中心の周りを何重に被覆
しているかを表す数である。 普通の正多面体 (p,q) では、 辺の数 E が
$1/\mathrm{p}+1/\mathrm{q}-1/2=1/\mathrm{E}$
と表されるが、 星形正多面体では
$\mathrm{E}=30$
であり
$1/\mathrm{p}+1/\mathrm{q}-1/2=\mathrm{d}/\mathrm{E}$
,
$\mathrm{d}$
は密度
と表される。 大 12 と大 20 では、 その面の大きさから密度の値 3, 7 が直にわかるが、 小星
大星の密度では、 芯に当たる部分が二重になっているのに注意する。
その他色々と面白い性質が知られているが、 歴史と関係が薄いので省略する。
II.
4 次元の場合
2. 1
4 次元星形正多胞体は全部で十種ある。 それらを表 2 に示した。 便宜上同じ変
換群に属する通常の正多胞体をも加えた。
これまで個々のこれらの図形に対して正式の名前がなかった。 Coxete が組織的に命名
$\mathrm{r}$
したが、
た.
それを直訳してもしっくりしない。 ここでは彼の精神を拝して仮の名を表に載せ
その命名基準は以下の通りである。
1. 他と違う特長をもつものはそれによる (例 : 大六百胞体)
2. 原則としてそれを囲む 3 次元胞の形を冠する。
。
S. 必要に応じて、 自己双対など他と区別する接頭詞を付ける。
4. 大六百胞体以外はすべて 120 胞なので、 正式には付けるべき 「星形百二十胞体」
とい
う語尾を省略する。
なお密度は 3 次元のときと同様に、 中心の周りの被覆度であり、 色々な方法で計算でき
る。 しかしその値の列は誠に奇妙な数値である。
12
表2
4 次元星形正多胞体
点数回数面数胞数$\chi/120$
$..\mathrm{p}..\underline{\mathrm{q}\mathrm{r}\text{
密度} }$名
$\text{仮の}$
31
51
355/2
4
3
3
5
3
534
5/2
56
535/2
20
5/2
3520
55/2
5/2
66
3
5
76
55/2
376
5/2
3
3191
5/2
3
3
191
55/2
$52^{/2}$
800
120
120
120
120
120
120
120
120
120
800
120
1200
720
720
1200
720
720
720
720
720
1200
1200
720
720
1200
1200
720
720
720
720
720
1200
720
720
1200
120
600
120
120
120
120
120
120
120
120
120
600
密度は中心の周りの被覆度、 X は修正 Euler-Po
$x=\mathrm{q}_{l^{\prime^{\mathrm{N}_{\mathrm{o}}}}}+\mathrm{d}\mathrm{q}\rho \mathrm{r}\mathrm{d}\iota\iota^{\mathrm{N}}=\mathrm{d}\mathrm{N}_{t}+S^{;}$
2.2.
実は
11
11
13
13
9
13
13
15
13
13
17
17
正百二十胞体
正六百胞体
二十面体型
非双対小星型
自己双対大十二型
十二面体型
大星型
自扇双対小星型
大二十型
非双対大十二型
大百二十胞体
大六百胞体
$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\text{量で}/$
$\mathrm{x}/120=30(1/\mathrm{P}+1/\mathrm{q}+1/\mathrm{r}-\alpha A1)$
4 次元正多胞体を初めて研究したのは
$\mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{g}$
$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}$
]
$\mathrm{a}\mathrm{p}$
]
$\mathrm{i}$
(1814-1895; スイス) らし
彼は 「結晶学者」 ともよばれるが、 独学で数学特に高次元幾何学を学び、 特殊関数の
研究もある。 星形正多胞体も 4 種を発見している。 但し彼は Euler の公式にこだわり、 そ
い。
れを満たさない小忌大 12 を多面体と認なかったという。 $-$ 今日の我々は、 その表面が示
性数 4 の多様体をなすので、 矛盾ではないと理解するのだが。
しかも彼は生前フランス語と英語で少数の論文を発表しただけで、 その主要な部分は死
後刊行された Theorie der Vielfachen Kont inuitat でようやく発表された。 彼が生前ド
イツ語で論文を書かなかったのは、 終生ベルン方言でしか話も書 \langle こともしなかったため、
プロイセンの学者に理解して貰えなかったせいと伝えられる。 $-$ いわば–生郷里の方言で
しか論文を書かなかったために無視された篤学者である。
2.3.
その後フランスの Goursat の研究 (1889) もあったが、 今日知られている 4 次元正多
( $1843-1903$ ; ドイツ) である。 彼の学位論文は流体力
義体を全部挙げたのは、 Edmund
$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}$
学関係だが、 その後幾何学の研究を主にしている。
但し彼が挙げた命題について、 完全に証明していない部分が多い。 特に (5/2, 3, 5/2) と
(8, 5/2.
の不可能性が未完成だった。 独立に Pieter Hendr ck Schoute ( $1846-191\mathrm{s}$ ; オラ
$\mathrm{s}_{)}\backslash$
$\mathrm{i}$
ンダ) の研究もある。 彼も本職は土木工学だった。
H.
最終的に表 2 のような結果をまとめたのは van Oss(1915) らしい。 もちろん今日では
.Coxeter に負うとろこが大きい。
$\mathrm{S}.\mathrm{X}$
13
References
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の
$\not\in$
$(\mathrm{b})[\backslash )\epsilon^{\text{ノ}}\mathrm{p}.\Psi^{\text{ノ}},y\prime \mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}_{J}\mathrm{X}^{\backslash }\mathrm{t}--\varpi \mathrm{a}\backslash \}+_{-}-\Phi\#(d\dot{\underline{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}\#\mathrm{L}\mathrm{z}\urcorner)$
型