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日常生活の中の数学 - 島根大学 総合理工学部 数理・情報システム学科
日常生活の中の数学
山崎稀嗣
目次
1
はじめに
2
2
数式処理のソフト：Mathematica
3
3
4
高等学校学習指導要領解説
生活の中の座標系
5
行列とベクトルと整理学
6
生活の中の関数関係
7
8
9
5
7
9
13
ローン返済額を知る
16
平均について考える
22
p 進法について
25
10 統計的な知識
27
11 仮説検定
30
12 数について
32
13 数の概念と数え方
35
14 点と線：グラフとネットワーク
37
15 グラフの活用：仕事手順
40
1
1
はじめに
講義の表題から受けるイメージとしては, 日常生活に役に立つ数学を教
えて貰えそうな期待を抱かせるかもしれない。しかし, この講義では, 小
学校の算数から高等学校の数学までの中で, 生活に密着した数学的な概念
や思考方法を題材にして, 数学的な見方・考え方を解説する。これまでは
テストや宿題に苦しめられて, 数学は暗記科目と思っていた人が, 数学は
意外に役に立っていて考え方は面白いと気付いてくれることを願う。
この講義に関連した話題は,1996 年から島根大学の教養科目「日常生活
の中の数学」で内容を変化させながら増やしたものである。当初は赤井
逸著「数学外論」に沿った部分と, 純粋数学の公理と日常生活の原理との
関係, 応用数学の中の日常的な話題を取り上げていた。
作成した講義のレジュメは, 受講生から大不評であったが, 時事ニュー
スやテレビ番組からの話題や話の種, 余談は好評を得た。その部分は講義
を受講して体験して欲しい。
話題 昨年１０月１１日の朝の NHK テレビニュースで, 日本肥満学会が
開催されることに併せて, 肥満度 BMI が次の式で定義されていることが
報道された。
体重 kg
BMI =
(身長 m)2
この BMI の値が 22 なら正常, 25 以上は肥満とのことである。島根大学
の保健管理センターでは, 既にこの値を基にした統計データが作成されて
いる。
従来は (身長 m) - 110 kg が標準体重という判定基準が良く知られてい
た。体重 xkg の人の標準身長 ym は y = 0.01x + 1.1 だから, この人の
BMI は
x
f (x) =
(0.01x + 1.1)2
数値計算をすると,
f (50) = 19.5, f (60) = 20.7, f (65) = 21, f (67) = 21.4
私の場合：身長 1.68m 体重 67kg, BMI = 67/1.682 = 23.7
体重が 68kg になると, BMI=24 となり肥満に近づく。不等式
x/1.682 ≥ 25
を解くと, x ≥ 70.56, つまり 70.6kg 以上になると肥満となります。
話題 映画の中の数学「Good Will Hunting」
2
MIT, 組み合わせ, 数学天才少年, カウンセリング, 男の友情
話の種 数学の公式を丸暗記する際の語呂合わせのうち, 学生に教えて
貰って忘れられない公式：どのように憶えますか？
(
2
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
数式処理のソフト：Mathematica
Mathematica は数式処理, 数値計算, 構造化データの処理, グラフィック
ス, サウンドなどを同一環境において扱える, コンピュータによる数学の
統合的なシステムである。数式とほとんど同じ形で式を入力すれば, 即座
に答えが得られる。豊富な組込み関数を持っていてプログラミングする
ことなしに, さまざまな計算を行うことができる。グラフィックスの機能
は強力で, これを利用して計算結果を視覚化することも容易である。この
ため, コンピュータを使う数学や, 視覚化によるデータ解析などには理想
的なツールとなる。
Mathematica をインストールしてあるパソコンで,Mathematica を起動さ
せたとして, 中学・高校の数学を試してみる。
因数分解：組込関数 Factor を利用して x3 − 19x + 30 を因数分解するには
Factor[x^3 - 19 x + 30]
と入力し, コンピュータに実行命令（シフトリターン：Shift キーを押しな
がら Return（Enter) キーを押す））と計算結果 (−3 + x)(−2 + x)(5 + x)
が表示される。
x100 − 1 を因数分解するにはどうしたらよいか。
Expand[(a + a^2 x + x^2)^3] 式を展開する
Apart[1/(x^3 - 1)] 部分分数分解
Solve[x^3 - 19 x + 30 == 0, x] 方程式の解法
NSolve[x^5 - 3 x^4 - x^3 + 15 x^2 - 8 == 0, x]
方程式の数値解
Plot[Sin[x],{x, 0, 2 Pi}] 関数のグラフ
D[x^n, x]
関数の微分
D[f[x], {x, 3}]
３階導関数
Integrate[x^n, x]
不定積分
3
定積分
連立一次方程式 AX = B の解法
Integrate[Sin[x],{x, 0, Pi}]
LinearSolve[A, B]
補足：連立一次方程式についての説明
x + 3y − 2z = 1
x − 2y + z = 3
3x − y − z = 8
を解く。
A = {{1, 3, −2}, {1, −2, 1}, {3, −1, −1}}
B = {1, 3, 8}
X = {x, y, z}
とおくと, 連立一次方程式は AX = B の形に書ける。A は 3 × 3 行列, B
と X は３次元ベクトル。
参考書 榊原進著：はやわかり Mathematica, 共立出版,1995
中学・高校で練習した数学の問題は答えを出すだけならば, 次の組込み関
数を使うことにより難なく解けます。そうなると, 数学の公式を暗記して,
計算練習問題を素早く正確に解けることが数学の才能と呼べるでしょう
か。
余談：数学を好きにする指導法と嫌いにさせる指導法
東京理科大学理学部教授 芳沢光雄
理解が遅いことは悪いことでも何でもなく、むしろ理解が早い人では気
付かないことを発見する可能性すらもっていることに留意すべきである。
日米の野球指導者の本質的な違い
日本「欠点を指摘して矯正させる」ことに重きを置く
アメリカ「長所を指摘して励ます」ことに重きを置く
数学を教える場合も、勉強態度や理解力など、その人に合ったものをほ
めることによって、生徒は前向きになるはずである。生徒の欠点ばかり
に注目したり、ましてやオリジナルな解法を認めないのは論外というし
かない。
日本の数学教科書は諸外国のそれと比べてあまりにも「数学のための数
学教科書」といった色彩が強い。すなわち、面白い応用の話題がほとん
どないのである。これでは多くの生徒から数学は「祭りのない宗教」の
ように感じ取られても仕方がないかもしれない。
4
3
高等学校学習指導要領解説
平成元年１２月発行の文部省「高等学校学習指導要領解説」数学編に
は数学科の目標が書かれていることを皆さんは知っていましたか。
教科の目標の改善に当たっては, 小・中・高等学校の一貫性を諮るとと
もに, 各学校段階における児童生徒の発達段階に応じて効果的な学習が行
われることをねらいとした上で「高等学校数学の目標」は, 小学校算数及
び中学校数学の目標を受けて, 次のように示されている。
「数学における基本的な概念や原理・法則の理解を深め, 事象を数学的に
考察し処理する能力を高めるとともに数学的な見方や考え方のよさを認
識し, それらを積極的に活用する態度を育てる。」
目標は, 数学の指導全体を通して達成させるものであり, その内容は一般
的かつ包括的に一文で述べられている。目標は, 次の四つの部分に分けら
れる。
1. 数学における基本的な概念や原理・法則の理解を深め,
2. 事象を数学的に考察し処理する能力を高めるとともに
3. 数学的な見方や考え方のよさを認識し,
4. それらを積極的に活用する態度を育てる。
1 と 2 は数学に関する知識や技能を中心とした知的な面
3 と 4 は数学に対する興味・関心や意欲を中心とした情意的な面
を述べている。
１ 中学校数学の目標「数量, 図形などに関する基礎的な概念や原理・法
則の理解を深める」(考察の対象が数量と図形に限定)
高等学校数学では考察の対象が「数学における」となり数学の内容全体
と広がっている。 また, 中学校数学の目標では「基礎的な」という用語
は「基本的な」に格上げ？されている。高等学校数学における概念や原
理・法則に関する知識・理解は, 体系的に整った基本的な内容であること
が要求されている。
２ 中学校数学の目標「事象を数理的に考察する能力を高める」とある
「数理的」の意味は, 操作や実験のような物理的手法なども取り入れて考
察する, より広い考察過程を想定している。高等学校数学では考察の過程
において論理性や体系性をより重視している。
３ 小学校算数では「数理的な処理のよさが分かり」, 中学校数学では
「数学的な考え方のよさを知り」が目標となっている。(数学的な見方や
考え方の認識が, 生徒の発達段階に応じて漸次深まっていくように配慮)
数学的な見方や考え方：
5
数学が構成されていくときの中心となる見方と考え方 数学の概念や原理・法則がどのような着想や考え方を基にしてどのよう
に構成され組み立てられているかなどを見る 問題解決の過程などにおいて数学を活用するときのものの見方や考え方
いろんな角度や観点からの考察
高等学校における数学教育の意義
時代の要求や社会の要請にこたえて, 各学校段階にふさわしい数学的能力
を養成すること。
数学的な資質：見通しをもち筋道を立てて考える能力 (単なる数学の知識
や技能ではない). 数学教育においては, 知識や技能をいかに多く教え込む
かではなく, どういう考え方の下にどのような取り組み方をすればよいか
を教えることが重要である。
情報化社会における数学教育の目標 社会人の素養として数学を活用す
る能力を養成すること。将来携わる専門分野において発展のよりどころ
となる数学的思考力うぃ高めることである。
将来必ずしも数学を必要とする分野に進むとは限らない生徒：
数学を活用する能力とは? 論理的な思考力や直観力, それに基づく判断
能力が重要 (知識の広さや計算の技巧よりも)
将来数学を必要とする分野に進む生徒：
専門分野につながる知識や技能
将来に開花する発展性を内蔵した数学的な資質 (数学を生かすための発展
性を秘めた基礎的な能力を重視)
情報化社会に必要な数学的な資質の養成
コンピュータの有効活用
探求的思考や発見的思考 数学的な経験を豊かにする
コンピュータを知的活動の教具として活用 (情報処理の手ほどきではない)
平成元年のカリキュラム改訂で強調されたこと
1 「数学的な見方や考え方の良さを認識」
小学校算数「数理的な処理のよさが分かり」
中学校数学「数学的な見方や考え方のよさを知り」
数学的な見方や考え方のよさが生徒の発達段階に応じて漸次認識できる
ような指導をねらっている。
2 「積極的に活用する態度を育てる」
小学校算数「進んで生活に生かそうとする態度を育てる」
中学校数学「進んで活用する態度を育てる」
6
小・中学校の算数, 数学の基礎の上に, 高等学校としてふさわしい程度の
ものを身に付けるようにする。
4
生活の中の座標系
座標：
「点の位置を示す数ないしは数の組」「平面，空間，時空間など
の点にも種々の方法で座標が与えられるが，いずれにしてもそれらは２
つの数の組，３つの数の組，４つの数の組である。」
座標系：
「原点，座標軸など座標を定める仕組みのこと。」（小学館：国語
大辞典）
日常生活の中での座標系を見つけよう。
(A) 座標系の種類
１．数直線上の点 P の位置: P(x)
基点（原点）からの距離（長さ）|x|(x の絶対値) と原点の右か左か (x の
符号がプラスかマイナスか) で定まる。
２．平面上の点 P の位置
(1) 直交座標：P(x, y)
平面上の点の位置を基点 (原点) から, 横に x1 目盛り進み, 縦に (直角に向
きを変えて)x2 目盛り進んだ位置。
(2) 極座標：P(r, θ), x = r cos θ, y = r sin θ
平面上で基点（原点）からの距離と基準線との角度で位置を決める。
(3) 斜交座標：
３ 空間内の点 P の位置
(1) 直交座標：P(x, y, z), P(x1 , x2 , x3 ):
基点 (原点 (0,0,0)) から, 横に x1 , 縦に x2 , 高さ x3 の位置
(2) 半極座標：P(r, θ, z)
空間内の点 P(x, y, z) の位置を P から xy-平面に下した垂線の足 P’(x, y, 0)
の xy-平面における極座標 (r, θ) と P の z 座標で表す。OP’ の長さを r と
するとき
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
平面上の極座標と高さの組み合わせで位置を決める。
(3) 極座標（球面座標）
：P(r, θ, ϕ)
点 P と原点 O を通る有向直線 g を引き， g と z 軸を含む平面と xy-平
面との交線を g 0 とする。OP = r, g と z 軸とがなす角を θ (0 ≤ θ ≤ π),
x 軸から直線 g 0 に至る角を ϕ とすると，点 P の位置は一組の数 r, θ, ϕ
7
を用いて定めることができる。このような r, θ, ϕ を点 P の極座標といい，
r を動径，θ を天頂角，ϕ を方位角という。
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ
射撃で的を狙うとき, 最初の位置から身体を回転させ, 獲物の方向と距離
を測るときに, 無意識に利用している座標系。
(B) 座標系の使い方
· 身の回りの座標系を探そう
· 目的に応じて便利な座標系を使う。
(1) 直交座標系では複雑な定義式の曲線が極座標系を選ぶと綺麗に表現出
来る例
(a) カーディオイド（心臓形）:r = a(1 + cos θ) (a > 0)
a は心臓の大きさを表すパラメータ。この図形を Mathematica で描か
せるためには a = 2 の場合には：
Needs[”Graphics‘Graphics‘”];
PolarPlot[2(1 + Cos[t]), {t, 0,2Pi}];
と入力して enter キーを叩けばよい。
(b) アルキメデスの渦巻き線：r ＝ kθ
(c) コンコイド: r = a sec θ + b
(d) レムニスケート: r2 = 2a2 cos2 θ
テレビの宣伝で見かける NTT のマークを表す曲線は式で表されます。
r = a cos θ + b (蝸牛形；リマソン)
a = 2, b = 1 として Mathemaica で曲線を描け。
Mathematica を利用すると, 数学的なデザインができる。
生活の中の曲率半径 高速道路の表示で R = 400 等は何を意味するか。
曲線 C : y = f (x) と円 (x − a)2 + (y − b)2 = R2 が点 (x, y) で少なく
とも 2 次の接触をするとき, この円を曲線 C の点 (x, y) における曲率円
とよび, (a, b) を曲率円の中心, R を曲率半径という。
曲がり角やカーブでハンドルを切ると運動エネルギーの慣性による遠心
力が働き, 車は外側に飛び出そうとする。この遠心力がタイヤと路面との
摩擦抵抗より大きいと車は横滑りを起こしたり, 路外に飛び出したり, ま
たは横転する。遠心力は速度の 2 乗に比例して大きくなり, カーブの半
径が小さいほど大きくなる。また, 重量に比例して大きくなる。
カーブの半径 R と安全な運転速度 V (R)km/h 危険な速度 C(R)km/h（自
8
動車教則本より)
V (5) = 10, C(5) = 20; V (10) = 15, C(10) = 25; V (20) = 25, C(20) =
35; V (30) = 30, C(30) = 40;
V (40) = 35, C(40) = 45; V (50) = 40, C(50) = 50; V (100) = 50, C(100) =
70; V (150) = 60, C(150) = 80
話の種
O’clock: 羅針盤・標的などの目盛盤を時計の文字盤とみなして · · · 時とい
う。（研究社英和辞典より）
hit the target at three o’clock
的の輪の３時の所に（右の真横）に命中する。
応用 友達と公園を散策しているとき, 素敵な（男性/女性）を見かけた
とき, 指さして友達に伝えてはいけません。指さしは大変失礼です。この
とき,「？時の方向に素敵な人がいるよ」と使えます。
応用 映画館や劇場での指定座席番号は（直交）座標系の考え方の応用
です。相手に分かりやすい座標系を使って自分の位置を知らせる工夫を
しましょう。
位置の表し方 補足
avenue と street の違い？
米国の大都市などでは Street は東西（ヨコ）;Avenue は南北（タテ）に
走る道路を表す場合がある。
クリスマスツリーの綺麗な New York のロックフェラーセンターの場所
は W 53 rd St. と Fifth Ave. の交差点が目印？
通りに大統領の名前等を付けている町がある。待ち合わせ場所として，A
大統領 St. と B 大統領 Ave. の交差点というように使われる。
5
行列とベクトルと整理学
行列演算は自然科学や社会科学など広い分野で用いられる，優れた有
力な数学的言語である。このために行列の重要性は 1940 年代から認識さ
れはじめ，近年では現象を表現し解析するための不可欠な手段となって
いる。行・列, 行列を辞書で調べると：
Row:(まっすぐな線に並んだ人・物の) 列, 行,(劇場等の) 席の列,(表の数
字などの) 横の列
Column:縦の欄, (艦隊の) 縦列
9
Matrix:行列, マトリックス (いくつかの数を長方形に並べたもの)
日常生活に現れる行列の例：
1. 美味しいアイスクリーム屋の前にできる１行または１列の「いわゆ
る行列」
2. 大きな駅の改札口にできる複数列の「いわゆる行列」
3. 劇場での観客席
4. 囲碁・将棋の盤
5. 京都市や札幌市等の案内図
このとき，順番又は位置の決め方はどうなっていますか。３列までなら,
左・中・右と前からの順番で場所を表せます。４列以上の場合にはどうし
ますか？ 日常生活では「左から何番目」と「前から何番目」として位
置を表すことに慣れて居ます。
日常生活の中での位置の決め方：座標軸
劇場の観客席の番号:「あいうえお」「イロハニホ」「A B C D E」のいず
れかと数字
囲碁将棋: 横はアラビヤ数字，縦は漢数字
囲碁は（左から，上から），将棋は（左から，上から）(相違点：交点か
囲まれた部分か)
「左から何番目」かということを「左から何列目」とよび，
「前から何番
目」かということを「前から何行目」と呼ぶことにします．
「左から」
「右
から」ということも位置を表すときの約束としておけば，
（「何行目」，
「何
列目」）の組いえば，誰にでも位置が分かることになる。
表示の記号： 平仮名，カタカナ，ローマ字，数字．
表示法は誰にでもよく解るようなものであることが望ましい。そのため
には，平仮名，カタカナ，英字は有効です。しかし，
「あいうえお」は５
１文字中せいぜい４４文字，
「イロハニホ」４７文字，
「A B C D E」では
２６文字しかありません。非常に大きな行列を表示するにはどうしたら
良いか ?
数学での行列の表し方の習慣は，前から（上から）何番目で左から何
番目というふうになっています．前から i 行目, 左から j 列目の位置の
表し方になっています。これを記号 (i, j) で表すとき, (65, 53) とあれ
ば，前から 65 番目左から 53 番目の位置を示します．この方法の弱点は，
最初の数字は前から，２番目の数字は左からと憶えていないと，(53, 65)
と混乱します。
位置を表示できる（座標を導入する）と，それに付随していろいろな事
10
柄を分かり易く表現できるといったことは，日常生活でもよく見かけま
す。例えば
1. マンションの各部屋の販売価格 2. 劇場の各座席の値段
3. 昔風の薬タンスの中身の表示
これらは行列の考え方を用いると，非常に分かりやすい情報にできます。
数学で位置あるいは席 (i, j) に値段を付けたり，ある物を納めたりして意
味を持たせることを関数関係として捉えます。つまり (i, j) に対応させる
ものを a(i, j) または aij で表します。
行列あるいは表の重要性の第一は「情報を見易く整理できること。多様
な情報を整理する場合には，小さな行列では対応できません。．情報を整
理するときに気を付けなければいけないことは，情報を格納する（入れ
る）場所，番地，席を間違えないことです。
情報ベクトル まず最初に，調査したい項目を整理して，それが文字化あ
るいは数値化できるものかどうかを検討します。最近では社会常識となっ
てきたデータベースでは，設計段階 (計画立案) で各項目のデータの種類
(文字か数値か) と桁数を指定します。文字データは「全角・半角・文字
数」を指定することが必要な場合が多いようです。身近なデータベース
としては，図書館の文献データベースがあります。１冊の本を図書館で
受け入れる際に，利用者からみて便利な情報を抽出（抜き出）します。話
を簡単にするため，例えば１冊の本には少なくとも
（著者名，書名，出版社，発行年，分類，キーワード１，キーワード２,
ISBN）
をデータとして登録することにします。これは８つの成分をもつ情報ベ
クトルです。図書や学術雑誌の冊数は n = 何十万冊 というオーダーで
すので，n × 8 の行列ができます。図書館では，１冊の本にもっと詳しい
データが登録されています。以前は, 必要な図書の検索はカードで行われ
ていました。欲しい本のカードを見つける手間は大変でした。現在では
OPAC(Online Public Access Catalog) という計算機ソフトを使って瞬時
に文献があるかどうかまたそれが何処にあるかを知ることができます。島
根大学のホームページ (http://www.shimane-u.ac.jp) から附属図書館に
アクセスして見て下さい。
図書には ISBN, 雑誌には ISSN という固有の番号が付されていますので，
検索に利用できます。
このように便利な検索を可能にするためには，所蔵本のデータの遡及入
力が必要となります。このための費用は１冊につき，入力のための人件費
11
α 円がかかります。情報化にはハード面 (機械類) やソフト面以外に，移
行のための人件費がかなり負担になるとの認識は大切です。
整理学の観点：格納したデータの取り出し方は？
タンスから必要な物を取り出すようにデータを格納場所から取り出して
利用できることが日常生活の感覚にマッチしていますが，実際には，郵
便配達の人が郵便物を配達するのと同じように一軒一軒を通って行くし
か方法がありません。つまり，格納場所つまり座席番号を平面の格子点
の集合の要素として表し，これに移動可能な順番をつけます。縦方向に
番号をつけて蛇行するか，横方向で進か或は北西（左上）隅から近い順
に蛇行する方法が考えられます。座席の全員にサービスが行き届くこと
は同じですが，一人でサービスする場合には，サービスを受ける側では，
左上隅の人以外は順番が一般に違ってきます。処理する対象が大きいか
小さいかによって，サービスの順番の違いに気付くことでしょう。デー
タは直線状につながって格納されています。これはワープロ作業で気が
付きます。見かけ上は独立に見える画面の文字を「del」キーで処理する
と文字列が曳づられます。これはデータがつながっているためです。
記号 m 行 n 列の行列とは, m × n 個の数 aij を次のように並べたもの：
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
am1 am2
· · · a1n
· · · a2n
..
..
.
.
· · · amn
これを簡単に (aij ) とも表し，m × n 行列という。
ある集団の健康診断カードから統計調査のために次の項目のデータを集
めることにします。
身長 (a1 cm)，体重 (a2 kg)，胸囲 (a3 cm)，座高 (a4 cm)，視力（左 a5 ，右
a6 ）
個人データを格納する場所（順番と個数）としては，上の項目の順に数
値（数字）が６個ならぶようにします。つまり (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ) を組
((6 次元) ベクトル) にして取り扱います。
１人のデータは６項目からなり，その集団の人数（例えば, 5500 人) につ
いて書き並べると，行列としては 5500 × 6 の大きなものになります。こ
のようなデータを処理するには，電子計算機の助けを借りる必要があり
ます。
12
6
生活の中の関数関係
1998 年 8 月に関西国際空港からルフトハンザ航空でフランクフルトに向
かいました。所要時間１１時間３５分の機内で, テレビ画面にシベリヤ上
空で航空機の速さ, 高度, 外気温についての次の表示がありました。
525mph 3500feet −65◦ F
850km/h 10700m −53◦ C
国際便では, 機長が何カ国語かでこのことを説明します。外国語は聞き取
れませんが, 文字画面ですのでメモしました。
注：mph, m.p.h.,MPH = miles per hour
生活に関連した諸単位が国ごとに異なることは海外旅行や外国映画で経
験できます。単位の換算から始めて, 生活の中の関数関係を探します。
(1) 正比例: y = ax 換算表：
(a) 通貨：ドル対円，ドル対フラン，ドル対マルク，ドル対リラ
(b) 度量衡：メートル法対尺貫法，メートル法対ヤード・ポンド法
1 feet = 31 yard= 12 inchi = 30.48 cm
1 yard「さお」= 91.44cm (ヤード・ポンド法の基本単位)
1 mile = 1.609 km (時速 100 マイル= 時速 160km)
1 尺 = 30.3cm (尺貫法の基本単位）
1 町 = 60 間 = 360 尺 = 109m
1 間 = 曲尺 (かねじゃく) で 6 尺 = 1.82m
1 間 = 田や土地では 6 尺 5 寸; 室内の畳には 6 尺３寸 (これを京間とい
い，田舎間と区別する)
里 (り)： 36 町を 1 里に統一 (明治 9 年)，1 里 = 3.9km
話の種：
「マリリン・モンロー」のゴールデンプロポーション
(B,W,H) =(37, 23, 38) B=Bust. W=Waist, H=Hip をメートル法で表示
すると (B,W, H) = (94, 58, 97) となる。どちらが好まれるか？
余談 「アメリカ大リーグで伊良部投手が時速１００マイルの速球を投
げる」というニュースを聞いてどう思いますか？(2) 一次関数
映画「バグジー」で主人公が恋人に快適な暮らしをさせるとき室温を
「seventy-five degrees」にすると言ったとき，字幕ではどのように出せば
よいか？
摂氏温度：
「摂氏」はスウーデン人 セルシウス (A. Celsius) の中国語表記
1 気圧における水の氷点を 0 度，沸点を 100 度とし，その間を 100 等分し
た温度目盛
13
氷点以下や沸点以上の温度も同じ目盛り間隔にしてある。1742 年にセル
シウスが提唱した。
華氏温度：「華氏」はドイツ人ファーレンハイト (G.D. Fahrenheit) の中
国語表記
水の氷点を 32 度，沸点を 212 度とし，その間を 180 等分した温度目盛り
である。1714 年にファーレンハイトが制定し，ヤード・ポンド単位系で
用いられている。
摂氏と華氏の対応関係は：C:−→ F; 0−→32, 100−→212
これは２点 (0, 32), (100, 212) を通る直線であり，中学数学の公式から
F − 32 =
212 − 32
(C − 0)
100 − 0
整理して
9
F = C + 32
5
となる。これは摂氏の世界から華氏の世界への変換公式である。この公
式を C について解いたもの
5
C = (F − 32)
9
が外国で温度を聞いたり見たりしたときに自分の感覚に合わせる換算公
式である。
30◦ C = 86◦ F, 25◦ C = 77◦ F, 39◦ C = 102.2◦ F, 映画の字幕の数値は 75◦ F =
23.9◦ C。
病気で 105◦ F の高熱は 40.5◦ C である。
余談 映画「スピード」でバスジャックされたとき, 指定されたバスの走
行スピードは８０マイルでした (?)。
(3) 相関関係を調べる: 回帰直線の利用法
２変数間の直線的関係の研究方法
ある植物の収量と実験農場毎の給水量のデータを基に給水量から収量を
予測する
各地区の戸数とごみ収集量とのデータを基にして，新しくできた住宅団
地のごみの量を予測する。
(4) 階段関数の上手な利用法：郵便料金，宅配便
(5) 折れ線 (区分的に直線である曲線):収入と所得税の関係
(6) 損益分岐点
ある理容師が家賃 10 万円の店を借りて開業する計画である。自分の人権
14
費を 30 万円確保し，客１人当たりの売上げを a =3 千円としたい。客１
人当たりの必要経費（シャンプー，剃刀，水道料等）を b =2 百円と見積
もり１月２５日働くとして，商売がうまくいく（利益がプラス又はゼロ）
となるためには，１日何人以上の客が来ればよいだろうか？
１日 n 人の客が来るとする。
固定費：c= 300,000 + 100,000
原価：400,000 + 200 × n
売上：3, 000 × n
利益：売上 ー 原価 = 3,000n - (400,000 + 200n)
利益 0 の点：損益分岐点は
40000
= 143/月 (142.8 を四捨五入）
2800
従って 143/25 = 5.72/日 となり，１日６人以上の客が来れば経営が成り
立つと考えられる。原価グラフ c + bn と，売上 an と２つのグラフを描い
て損益分岐点を右にずらす（客数 n を増やすか b を減らす）か，左にず
らす（単価 a を増やす）かを判断できる。
(7) 関数関係をグラフから読みとる方法
(a) y = x2 , y = x3 , y = xn
座標軸 (x, y) を座標軸 (X, Y ) に変換
n=
Y = log10 y, X = log10 x
したものを両対数グラフ用紙 (縦軸・横軸共に対数目盛) という。データ
(x, y) をこの用紙の (X, Y ) としてプロット (点を記入) する。このとき，
点が直線 Y = AX + B の上に大体乗っていれば，元の変量 x, y は
B = log10 b として y = bxA である。
(b) 指数的に増加する現象の分析：y = ax (a > 0)
座標軸 (x, y) を座標軸 (x, Y ) に変換
Y = log10 y
したものを片対数グラフ用紙 (縦軸は対数目盛，横軸は通常) という。こ
の世界では, Y と x は正比例の関係：Y = Ax (A = log10 a) になる。
座標軸を変換することは, 物の見方を変えることになります。つまり, 世
界が変われば，曲がったものも真っ直ぐに見える！
話の種 大きな量, 小さな量を表すための接頭語：
15
基本単位として m, kg, s, A · · · を定めてはみたものの, 対象領域によって
はそれらの単位が小さすぎたり大きすぎたりすることがある。そこで, 主
として 103n (n は整数) を表す接頭語を定義して, 必要に応じてそれを単位
記号の前に付けて使うように定められている。
da : 10（デカ), h : 102 (ヘクト), k : 103 (キロ), M : 106 (メガ),
G : 109 (ギガ), T : 1012 (テラ), P : 1015 (ペタ), E : 1018 (エクサ)
d : 10−1 (デシ), c : 10−2 (センチ), m : 10−3 (ミリ), µ : 10−6 (マイクロ),
n : 10−9 (ナノ), p : 10−12 (ピコ), f : 10−15 (フェムト),a : 10−18 (アット)
SI 単位系 SI=Système International d’Unités（国際単位系）について
日常生活での SI 基本単位（フランス語）
長さ m(metre, メートル)
質量 kg(kilogramme, キログラム)
時間 s(second, 秒)
電流 A(Ampr̀e, アンペア)
基本単位記号の記号の前に接頭号を一つだけ付けたものを, 単位記号の基
本因子とする。質量については, kg が基本単位であるが接頭語を付ける
際には, それが g に k が着いたものであるかのように扱う。
圧力（応力, 気圧等）は「単位面積にかかる力」ということで
N/m2 = m−1 · kg · s−2
を単位として測る単位を Pa(Pascal, パスカル) としている。１気圧 (SI の
単位ではない) は 101.3kPa(キロパスカル)(＝ 1013 ミリバール＝ 1013 ヘ
クトパスカル) である。
参考書 伊理正夫：現代応用数学, 放送大学教材 56377-1-8711
余談 関数 (function) と翻訳 (translation) はよく似ているが, 前者は一義
的, 後者は多義的という大きな相違点がある。 「世界共通語が何故ないの
か？」と考える人に勧めたい本：
三浦綾子著, 旧約聖書入門, 光文社文庫, (バベルの塔 (８１頁∼９２頁）)
7
ローン返済額を知る
1.「元金均等毎月返済借入法」 元金を毎月均等に返済していく借入法．
一般に，完済までに支払う利息合計額が最も少ない借入法の一つ。
2.「元利合計均等毎月返済借入法」 返済全期間にわたって元利合計額を
16
均等に毎月返済していく借入法。元金均等返済法では当初の返済額が多
くて大変だということから考え出された借入法である。
3.「アドオン式毎月返済借入法」 単利で借入期間内の元利合計を計算
し，それを毎月均等に返済する方法。一般に借入月数が小さい場合が多
い。 品物を購入するときなどに一般に採用されているものの一つで，借
入法のなかでは，完済までに支払う総利息額が最も多い借入法の一つで
ある。
数学的な考察をするための記号の約束：
借入金額を S (万円) 借入月数を m (月) 完済までの利息合計を Rj (万円)
元利合計を Tj (万円) 利息年利 i パーセントを月利 p に直す。月利率は
p = i/1200 である。
日歩：例えば日歩 8 銭 (100 円につき 1 日当たり 8 銭 = 0.08 円の利息) を単利
で年利に直すには 100 円につき 365 日当たりの利息 365×0.08 = 29.2(円)
となり, 実質年利は 29.2 パーセントである。
n 個の数 x1 , x2 , · · · , xn の和（足し算）の結果をシグマ記号で表す
n
∑
x k = x1 + x2 + · · · + x n
k=1
復習？ 等差数列や等比数列という数学用語を覚えていますか。
1. 「元金均等毎月返済借入法」 は毎月の元金返済額は同じ (元金均等返
済) s = S/m で利息は元金残高にかかる方法だから，第 k 回目の利息 rk
は残りの元金 S − (k − 1)s に対して計算される：利息の総和 R1 は等差
数列の和の公式により
(
k−1
m+1
R1 =
S(1 −
)p = Sp
m
2
k=1
m
∑
)
従って完済までの元利合計返済額 T1 は T1 = S + R1 となる。第 k 回目
の返済金額
S
s + rk = [1 + (m − k + 1)p]
m
は返済月数 k が増えると減少する。
2. 「元利合計均等毎月返済借入法」は毎回の元利合計返済額は同じであ
る返済方法であるから 第 k 回目の利息額 rk の他に第 k 回目の元金返済
額 sk を考える必要がある。均等であることは rk + sk = r1 + s1 と表され
る。利息は元金残高にかかる方法だから，第 k 回目の利息 rk を計算す
る。利息は元金 × 利率であるから r1 = Sp は容易にわかる。初回の元金
17
返済額 s1 を定める問題を考える。
r2 = (S − s1 )p = Sp − s1 p = r1 − s1 p, s2 = s1 + r1 − r2 = s1 (1 + p)
r3 = (S −s1 −s2 )p = r1 −s1 p{1+(1+p)}, s3 = s1 +r1 −r3 = s1 (1+p)2
であることから, 第 k 回目の rk は次の式で与えられる：
rk = r1 − s1 p{1 + (1 + p) + (1 + p)2 + · · · (1 + p)k−2 }
等比数列の和の公式を利用して
rk = r1 − s1 {(1 + p)k−1 − 1},
sk = s1 + r1 − rk = s1 (1 + p)k−1
毎回の元金返済額の総和は借入額 S に等しいことから
S=
m
∑
k=1
sk = s1
m
∑
(1 + p)k−1 = s1
k=1
(1 + p)m − 1
.
p
つまり, 初回の元金返済額 s1 は：s1 = Sp/[(1 + p)m − 1]。
以上の計算結果からみると, 借入額 S は, 複利 p で m 期間,s1 円を定額積
立貯金した額に等しくなる。
毎月の元利合計返済額 t = r1 + s1 = Sp + s1 , 完済までの元利合計総返済
額 T2 = S + R2 であり, 完済までの利息合計 R2 は a = (1 + p)m として
R2 = S × (pma − a + 1)/(a − 1) となる。
3. 「アドオン式毎月返済借入法」は完済までの利息合計額を元金ととも
に毎回均等に返済する方法である。 完済までの利息合計額は R3 = Spm
である。各回の利息額は一定 r = R3 /m = Sp で毎回の元利合計返済額は
1
s + r = S( m
+ p) 完済までの元利合計総返済額は T3 = S + R = S(1 + mp)
となる。
計算方法
T1 と T3 の値はポケコンで簡単に計算できる。月数 m と月利率 (年利 i
から計算) p，借入額 S を当てはめるだけでよい。
T2 の計算には関数電卓 指数関数 ax 計算機能をもつ関数電卓かパソコン
が必要となる。ローンを組むときは自分で計算してみよう。
(A) 公式を利用した具体的な数値例：
m = 240 月 (20 年）, S = 100 万円の場合の場合に, 利息 i パーセントに
対する返済総額のベクトル T (i) := (T1 , T2 , T3 ) を計算すると次のように
なる：
T (6) = (160.25, 171.945, 220), T (5) = (150.208, 158.389, 200), T (4) =
(140.167, 145.438, 180),
T (3.5) = (135.146, 139.192, 170)
(B) 元利合計均等毎月返済法においては，当初は毎月の利息返済額 rk が
18
元金返済額 sk を上回る。では, 毎月の元金返済額が利息返済額を上回る
のようになるのは第何回目からであろうか。解説 a = (1 + p)m , b(k) :=
(1 + p)k−1 , f (k) = a − 2b(k) とおくと, 問題は, 不等式
rk − sk =
Sp
f (k) > 0
a−1
を初めて満たす k を求めることである。つまり, f (k) < 0 となる最初の
k を求めればよい。この値は借入金額には無関係であることに注意しよ
う。
m = 240 として，利息 i パーセントに対する 解 k の値を k(i) で表すと
計算結果は：k(6) = 103, k(5.5) = 90, k(4) = 33
注意： 「借入額は担保物件の 70 パーセント以下，元利合計の毎月の返
済額は所得の 3 分の 1 以下」が望ましいこととされてる。返済契約を守れ
ないと軽度は違約金，重度は担保物件の差し押さえという惨めな結末に
なります。担保物件がない場合には，金利は当然高くなります。新聞の
チラシにある各種キャッシングでは実質年利 29.20 ー 40.004 パーセント
となっている。遅延損害金の金利は実質年利 36.50 ー 40.004 と明記され
ているものもある。
最初に S 円持っていたとき, 複利月利率 q で m 月定期貯金をすれば, 元
利合計は T = S(1 + q)m となる。元利合計均等返済法との比較：
T2 − T = S[
pm(1 + p)m
− (1 + q)m ]
(1 + p)m − 1
公的金利あるいは銀行の貸付金利と預金者の預金金利の関係は? 銀行 (住
宅金融公庫) の貸付金利 p に比べて, 銀行・郵便局等の預金金利 q が高い
ことに注意する。
参考書 関根鴻：知って得する生活数学, 講談社
参考資料: 多重債務について
1980 年代後半からの経済停滞をよそに, 消費者信用産業は著しい成長を
遂げて, 95 年の市場規模 (住宅ローンを含まない) は 75 兆円とわが国の一
般会計予算に匹敵する巨額となっている。消費者金融会社は業績好調を
背景に, 96 年には大手企業が３社が東京証券取引所１部上場を果たした。
ここでの消費者信用は無担保金融でクレジットあるいはローンと呼ば
れるものである。消費者信用は統計分類上, 販売信用 (分割払いや翌月一
括払い等で商品やサービスを購入するもの) と消費者金融 (商品等の移転
を伴わず資金のみを借り入れるもの) に分けられる。消費者に信用を与え
19
融資を行う業者 (Creditor) は銀行などの金融機関, 信販会社, 消費者金融
会社がある。殆どの業者は消費者の便宜のため, カードを発行している。
消費者はカードを携行し, 必要に応じ ATM などの自動貸出機から必要額
を引き出して使い, 後日また, 機械に借入額と利子を返済したり, 自ら銀
行口座等からの振り替えによって返済を行っている。この利便性が若者
からお年寄りまで受けて, 急速に伸びたのが消費者信用産業である。
住宅ローンを除いた消費者信用の新規供与額は,70 年代の初めは 3 兆円
程度だった市場規模も,75 年には 7 兆円,78 年には 10 兆円にも達した。こ
の頃サラ金禍と称される社会問題も露呈して, 多額の借金を苦にして自殺,
蒸発, 一家離散など新聞紙上をにぎわすことが多発した。1978 年 11 月に
は全国サラ金問題対策協議会がつくられるなど, 被害者の救済が焦眉の
急の課題となった。俗にサラ金 3 悪と呼ばれる, 高金利, 過剰融資, 悪質取
立てはすさまじく, 多くの債務者を窮地に追いやっていった。当時の金利
規制は, 出資法の上限である日歩 30 銭 (年利 109.5 パーセント) であり, 業
者はその範囲の高利を貪っていた。83 年には遅蒔きながら, 貸金業者に
対する融資や取立に関する規制 (貸金業者規制法) が制定され, 同時に出
資法の改正が行われ, 金利の上限が 40 パーセントまで下げられることに
なった。市場規模は拡大し続け,80 年には 20 兆円,85 年には 35 兆円,89 年
には 58 兆円に達し,10 年間に 3 倍増とその勢いは止まらなかった。90 年
代にはバブル崩壊も手伝って, 不況下での生活費不足から, 借り入れに依
存する所帯が増加し,94 年のデータでは 70 兆円と安定した伸びを示して
いる。こうしたなかで, 多数の債権者から多額の借入れをし, 多重多額の
債務を抱えた消費者が大量に発生するという, 多重債務者問題が表面化し
た。96 年には, 自己破産者が 5 万人を超えるというようなわが国の金融史
上にない現象が生じている。消費者信用は現代人の消費生活にとって, 便
利なツールではあるが, 一歩誤ると借金地獄に陥る可能性をはらんだシス
テムであることを忘れてはならない。
多重債務者とは
複数の業者から借りては返し繰り返すうちに累積的に債務額が大きくな
り返済困難に陥っている者を指す。多くの場合, 返済に充てるために他の
業者から新たな借金をして, 数年のうちに雪だるま式に多額の債務を抱え
るようになっている。はじめのうちは金利の低い業者から借り入れるが,
やがては金利の高い業者からでも構わず借りる行動にでる場合も目立っ
ている。多重債務者は最初の借入時点では, 通常のクレジット利用者の動
機と同じである。初めからやがて多くの借金を背負うことになることを
20
予想して借金する人はいないはずだ。ではなぜ？ 臨時的支出の増大も
しくは借金に対する金銭感覚の麻痺であろう。通常の人間行動として, あ
る行動の結果を予測し, 仮に将来の不安があるものに対しては, 一定程度
それを極力避けようとするある種その行動を抑制しようとする心理が働
く。自身の返済能力を超えた過度の借金は後の生活破綻を招くという自
明の理は多重債務者も認識している。殆どの場合, 多重債務者も初回の借
金はきちんと期日に返済している。ではいつから階段を転げ落ちて行く
のか？ 順調なクレジットライフが, ある不測の事故を機に, 事態が暗転
している。本人や家族の病気入院, 職場での作業中の事故, 交通事故, 失業
などが代表的である。事故に加え, 今一つの原因は借金中毒 (金銭感覚の
麻痺症状)：カードホリック (カード中毒) である。借入の簡便さに, 財布
の中身を確認することなく, 給料日とは無関係にいつでも潤沢な資金を利
用できるカードは, 現代版玉手箱と錯覚する。使用感の心地よさで金銭感
覚を麻痺させ, しばらくのち多額の請求書が送られて, 初めて利用額を知
る。しかし, 利用に慣れた給料以上の生活スタイルを簡単には切り下げる
ことができず, ひたすら返済を先送りする。そのためには他社から借り入
れて返済に充てるというカード中毒に陥る。
クレジットの基本的性格
１ 今買って後で払う 支払い猶予という消費者信用の基本であり, 借り
手を信用してクレジット会社が一時的に立て替え, 販売店に支払いを済ま
せてくれる。返済期日を守らないクレジット利用者は数回の督促の後, 期
限の利益を喪失し, しかも遅延賠償金を課されてしまう。また, 信用がな
い者と判断されると個人信用情報機関にブラック情報として登録される。
２ 他人の金を使う 商品として現金の融通を受けるので, その一定期間
の使用料として金利を支払うことになる。クレジットの金利の高さを感
じることのできる人は少ないようである。
３ 将来の自分の収入を拘束する 最も見過ごされ易い点である。住宅
ローンは不動産という担保があるので, 万が一の時にも物件を手放すとい
う最終手段がある。クレジットは無担保融資であり, 給与や所得が将来も
確実に入ってくるという前提条件で融資を受けている。毎月の返済額は
当月分の収入を拘束する。自らの身体が健康で事故もなく過ごしていく
であろうという仮定の上に成り立っている。
もしもの時どうするか 債務負担が極限に達し家計破産を招来したとき
は, 最後の手段として破産制度を利用し得ることが選択肢としてあること
も知っておくことが必要である。破産をすることの得失を正しく認識す
21
るとともに, 他の手段としてクレジットカウンセリングを受けたり, 市区
町村の無料法律相談を利用する方法なども心得ておくべきである。
参考文献 西村隆男編著： クレジットカウンセリング 多重債務者の生
活再建と消費者教育, 東洋経済新報社, 1997. 余談 カード拒否反応の人
がいます。しかし外国旅行をしてホテルの予約や料金の支払いをすると
きには, プラスチックマネーとして現金よりも役に立ちます。しかし, カー
ドの暗唱番号設定には十分注意しましょう。
8
平均について考える
日本人は平均＝人並みが好きであるとよく言われます。平均とはどんな
ものであるかを知った上で自分の行動を考えよう。
（１）「平均値」の種類：
１ 算術平均（相加平均）：データ x1 , · · · , xn を加えてそのデータの個
数 n で割ることによって計算された値 (小学校以来のお馴染みの値）x̄ :=
∑
(x1 + · · · + xn )/n = n1 nk=1 xk .
２ 幾何平均（相乗平均）G：n 個のデータ x1 , · · · , xn がすべて正のと
き，これらデータ全ての積 x の n 乗根 G を幾何平均という。記号 G =
√
x1/n = n x で表す。
√
a の n 乗根 x = n a は xn = a となる数 x として定義される。お馴染み
の 「相加平均は相乗平均より大きい」を一般化すると：
√
x1 + x2 + · · · + xn
≥ n x 1 · x2 · · · xn .
n
n
n
∏
1∑
xk ≤ [ xk ]1/n
n k=1
k=1
記号: n 個の数 x1 , x2 , · · · , xn の積（掛け算結果）を記号 (パイの大文字)
を使って表す
n
∏
xk = x1 · x2 · · · xn
k=1
現実問題での幾何平均の例：
「ある商人が資本金 A 円で商売を始め，１年間で資本金を a 倍にし，次
の１年間では１年目の終わりの資本金の b 倍にし，また次の１年では更
に資本金を c 倍にした。平均１年間で資本金を何倍にしたと考えられる
22
か。」解説：3 年間で資本金は abcA 円となる。毎年平均 x 倍になったと
すると，3 年間で x3 倍になるから，abcA = x3 A が成り立つ。すなわち
x は abc の 3 乗根 (幾何平均) である。
注意１：ある数 a の n 乗根 x とは，xn = a となる数のことである。この
値は関数電卓が教えてくれる。また，関数 f (x) := xn − a の根を求める
ことをニュートン法や二分法等のアルゴリズムのプログラムを作ること
によっても容易に計算できる。
注意２：幾何平均の対数は各データの対数の算術平均である。
３ 調和平均 H ：各データ x1 , · · · , xn の逆数 1/x1 , · · · , 1/xn の算術平均
の逆数 H を調和平均という。
H=
1
x1
+
1
x2
n
+ ··· +
1
=
H
or
1
xn
1
x1
+
1
x2
+ ··· +
n
1
xn
.
日常生活における調和平均の例
「大山登山で上りは毎時 a km の速さで上り，下りは毎時 b km の速さで
下ったとする。往復で平均の速さは毎時何 km か。」解説：山道の片道の
距離を d km とする。上りの所要時間は d/a, 下りの所要時間は d/b であ
る。往復 2d km の距離を歩くのに d/a + d/b 時間を要したので，求める
(平均の) 速さ＝ 距離/所要時間 H は
H=
2d
=
+ 1b )
d( a1
1
a
2
+
1
b
a, b の調和平均.
類題 箱根駅伝である大学チームの５人の走者が距離 d1 , d2 , · · · , d5 を平
均時速 a1 , a2 , · · · , a5 で完走したときのチームの平均時速 H を求めよ。
H=
w1
a1
1
+ ··· +
w5
a5
ただし wi =
di
.
d1 + · · · + d5
特に５人の走る距離が等しいときには, wi = 1/5 となり, H は a1 , · · · , a5
の調和平均である。
（２）日常生活の中の算術平均
算術平均は「統計」における代表値「ある集団の特性を表す数値」とし
てだけでなく，学校の成績や予算決算の説明，株価の変動等々，日常生活
に溢れた数値である。算術平均はデータから形式的な計算で容易に得ら
れるので，平均値が一人歩きして，平均値を求めるデータについての意
味を深く考えないことが起きる。次の例を検討しよう。
例１ A 君の成績は国語 70 点，英語 80 点，数学 90 点であった。B 君の
23
成績は音楽 100 点，体育 100 点，図工 70 点であった。A 君と B 君の 3 科
目の算術平均はそれぞれ 80 点，90 点である。このとき，平均点の意味は
同じか。
例２ ある人の身長は 167cm, 体重は 67kg, 動物性脂肪摂取量 18g/日であ
る。これらの数値の算術平均 (167 + 67 + 18)/3 = 84 に意味があるか。
算術平均の特徴
１ 平均値に総数をかけるとデータの総和が得られる。
２ 統計的な量であり，分散や標準偏差と関わりがある。
３ 算術平均は特別大きい値や特別小さい値があると，それに強く影響
を受ける。この「算術平均の弱点」をカバーする方法：スポーツ競技で
の審判員の採点の平均値の計算法
４ 平均をとればデータがなめらかになる（移動平均法）
（短所は長所に
もなりうる）時系列的に全体の変化を把握する際の手法
余談：算術平均以外の代表値
中央値 (メディアン)，最頻値 (モード)
統計調査
母集団全体の統計量を調べる方法として，全数調査と抜き取り調査の方
法がある。抜き取り調査を正当化するためには，統計・確率論的な知識
が必要となる。母平均の推定，信頼区間，仮説検定等についての概念を
解説する。
話題：視聴率
視聴率には個人視聴率と世帯視聴率がある。個人視聴率は全国あるいは
特定の地域を選びそこに居住する一定年齢以上の個人を対象にしてしら
べたもので，世帯視聴率は世帯を単位に調査したものである。世帯視聴
率調査はメータ調査で行われる。メータ調査は
ビデオ・リサーチ社：関東，関西，静岡，中京，札幌，仙台，北九州，広
島の８地区
ニールセン日本支社：関東，関西、中京の３地区
が実施している。テレビ受像器にメータを設置し、テレビ視聴率を１分
単位で自動的に記録する調査機である。
テレビ局，広告代理店，スポンサー等番組関係者にとっての重要なデー
タである。
参考書 ダレル・ハフ著：高木秀玄訳,「統計でウソをつく法」, 講談社,
(How to lie with Statistics by Durrell Huff)
24
9
p 進法について
年当てカードで遊ぶ：p = 2 進数の応用
参考書 矢野健太郎著： 数学のおくりもの, 旺文社文庫,1980
（二進数と数学遊技, 89 頁)
カードの作り方:６枚のカードを用意して, 第１枚目のカードには, 2 進数
で表したときに, 右から第１桁目が１になる数を 10 進数で記入する。第
２枚目のカードには, 2 進数で表したときに, 右から第 2 桁目が１になる
数を 10 進数で記入する。同様に第 3, 4, 5, 6 のカードに 1 から 64 までの
数を 2 進数で表して,1 のある桁に対応するカードに, その数を 10 進数で
記入する。
なぜ当たるかの理由：種明かし
ある人が第 1，第 2，第 5 のカードを抜き出したとすると, その人の年を 2
進数で書けば １００１１ ということを示しています。２進数と１０
進数の対応表からすぐに１９ということは分かりますが，計算機でない
我々は対照表を覚えておくことはできません。
しかし２進数の定義から
(10011) = 1 × 2^0 + 1 × 2^1 + 0 × 2^2 + 0 × 2^3 + 1 × 2^4 + 0
× 2^5
カード
第１
第２
第３
第４
第５
第６
左上の数字：１
2
4
8
16
32
つまり, 選ばれたカードの右上の数字の和 １＋２＋１６＝１９ がその
人の年齢です。カードを選ぶことは：数字１：のあるカード, つまりどの
桁を ON にするかを表しています。カードを 1 枚増やせば,1 から 128 ま
での数当てゲームに使えます。
２進数の工学的な応用
情報伝達の手段：長距離の情報伝達をするためには，送りたい情報を運
んでくれる電波，搬送電波に乗せることつまり変調する必要がある。お
馴染みの変調方式としては
AM(Amplitude Modulation)：振幅変調
FM(Frequency Modulation)：周波数変調
がある。長距離の情報伝達には，雑音の影響の少ない変調方式が望まし
い。雑音の影響は一定限度以下には小さく出来ないことが（1948 年シャ
ノン「通信の数学的理論」）知られている。２進法を利用した変調方式
PCM(Pulse Code Modulation):パルス符号変調
25
PPM(Pulse Position Modulation)
がほぼ最良な方式であると言われている。
1980 年，宇宙探索衛生ボイジャーは土星の写真をわずか 20 ワットの出力
で地球まで送信した。写真は多数の点に分解され，それぞれの明暗を２
進法による符号に変換した後，毎秒４万５千ビットの速さで送り出した
のである。
ビット：情報処理装置の構成部分が貯蔵しうる２進数の桁数
土星から地球への電波が伝えられるには約１時間を要する。
（太陽から地球へは８分２０秒を要する）
この通信の解析に約３カ月を費やしたといわれるが，鮮明な土星の映像
に２進法の威力を思い知らされる。
1989 年, ボイジャーは海王星から映像を送ってきた。海王星から地球へ電
波が伝えられるには最も近いときでも約４時間を要する。
参考書 赤井逸著：数学外論，共立出版，15 頁∼ 16 頁
p 進数の実例は日常生活の中に見つけることができる。長さ，面積，容積，
時間等の単位を思い出そう。
メートル法：p=10：
1869 年にフランス政府の提議により，1875 年に締結されたメートル法（度
量衡同盟）は，単位間の関係が 10 進法によって規定された度量衡（長さ
と体積と重さ）である。日本は 1885 年（明治 18 年）にメートル条約に加
入を通告し，翌年４月２０日これを公布した。
度量衡原器：計量器の統一と正確を期すために制作・保存される基本単
位の基準器メートル原器，キログラム原器等がある。
１メートルの定義： 当初：地球の大きさに関連。子午線の北極から赤
道に至る長さを１万キロメートルとなるように定めた。
1983 年の改定：1/299792458 秒間に光が到達する距離となった。つま
り，光の速度 c = 2.99792458 × 108 m/ 秒 が定義値になった。
秒の定義： １メートルの定義の時間単位に必要となった。当初の定義：
平均太陽日 1/(24 × 60 × 60) 1983 年の改定：物理学的定義
１キログラムの定義：当初は１気圧最大密度（摂氏４度）の水 1000 立方
センチメートルの質量 メートル法は科学のより精確であることを目指
した優れた度量衡であるにも拘わらず，各国毎に複雑な度量衡が未だに
健在である。
その理由：慣習の力，人体に適合した度量衡, ヤード・ポンド法：
（ヨー
ロッパ，アメリカ）, ゴルフ，外国での自動車の速度
26
尺貫法（日本）
：土地建物：１坪＝ 3.3 平米, 酒類：１升=1.8 リットル, １
間=1.8 メートル，１坪＝１間×１間＝畳２枚の広さ
７進数: 日常生活の周期が 7
日月火水木金土：太陽と月，肉眼で見える５つの惑星
「旧約聖書」天地創造を終えた神が７日目に休息した。曜日と惑星の名
がどの国においても全て１対１に対応しているわけではない。
例：ドイツ 木曜日：Donnerstag（雷神）暦法が変わると月や日の数え
方が変わるが, 曜日の方は改暦に際しても連続して使えるので７進法は強
力である。
６０進法: 時刻や角度の表示
１回転の角度（４直角を 360 度）と定めたのは１年の日数に近い区切り
の良い数であるという考え方もある。
時間：１時間＝６０分，１分＝６０秒
角度：１度＝６０分，１分＝６０秒
12 進数
１ダース（1 dozen) 12, １グロス (1 gross) 12 × 12 ,
1 グレートグロス 12 × 12 × 12
16 進数:電子計算機
数字：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F(10,11,12,13,14,15)
10
統計的な知識
データの平均だけではなく, それらの散布度を考える必要がある。
（１）「データの散らばり具合 (散布度)」を示す数値：
１ 範囲 (range)：データの最大値と最小値の差
計算が簡単だがデータの散らばりの特徴を捉えることができない。
２ 四分位偏差:データを大きさの順に並べ, 小さい方から数えて, 全体の
1/4 の位置にある値を Q1 , 全体の 3/4 の位置にある値を Q3 とするとき,
Q1 を第１四分位数, Q3 を第３四分位数という。さらに, Q3 − Q1 を四分
位範囲といい,
1
Q = (Q3 − Q1 )
2
を四分位偏差という。
３ 平均偏差：n 個のデータ x1 , · · · , xn の平均を x̄ とする。データと平
均の差 xj − x̄ を平均からの偏差という。偏差の絶対値の平均を平均偏差
27
という。
M.D.(mean deviation) :=
n
1∑
|xj − x̄|.
n j=1
４ 標準偏差 偏差の平方和の平均 (分散) V の正の平方根 σ を標準
偏差という。
n
√
1∑
σ = V , V :=
(xj − x̄)2 .
n j=1
標準測度 (z スコア, Z スコア) データ x ∈ {x1 , · · · , xn } に対し z =
(x − x̄)/σ で変換されたデータ z1 , · · · , zn は 平均 0, 標準偏差 1 である。
これを z スコアという。これを便宜的に平均 50, 標準偏差 10 とする変換
Z = 10z + 50 =
10(x − x̄)
+ 50
σ
で得られたデータを Z スコアという。もしデータが正規分布に従うとき
には, この Z 値を T で表し, T スコアという。
T スコアについては, 正規分布表を用いて, 次のことが分かる。
T ≤ 20 or T ≥ 80 は 0.1 パーセント
T ≤ 25 or T ≥ 75 は 0.6 パーセント
T ≤ 30 or T ≥ 70 は 2.3 パーセント
T ≤ 35 or T ≥ 65 は 7 パーセント
T ≤ 40 or T ≥ 60 は 16 パーセント
T ≤ 45 or T ≥ 55 は 31 パーセント
T ≤ 50 or T ≥ 50 は 50 パーセント
（２）日常生活の中の分散
A 店と B 店のある商品（例えば, 卵の１ケース）の重さの平均は同じで
あるが, 分散は A 店の方が B 店よりも小さいという。このとき, あなた
はどちらの店で卵を買いますか？
商店を製品メーカーに置き換えて考えると, 分散が小さい方が製品のばら
つきが少ないことになります。
統計的な判断信頼区間：正規母集団 N (µ, σ 2 ) からの大きさ n のランダム
サンプルの標本平均 X̄ が正規分布 N (µ, σ 2 /n) に従うとき
Z=
X̄ − µ
√σ
n
28
は正規分布 N (0, 1) に従うことが知られている。このとき, 正規分布表か
ら P (|Z| < 1.96) = 0.95 を読み取ることにより, 母集団の平均 µ が区間
(信頼区間)
σ
σ
X̄ − 1.96 √ < µ < X̄ + 1.96 √
n
n
の数値である確からしさはの 95 パーセントである。P (|Z| < 2.58) = 0.99
を利用すれば, 99 パーセント信頼区間が 1.96 を 2.58 に替えることで求ま
る。信頼区間を実際に求める場合には, 母集団の標準偏差ではなく, 標本
の標準偏差を用いる。
正規分布とは 確率変数 X の度数分布が
1
(x − µ)2
f (x) = √ Exp[−
]
2σ 2
σ 2π
で表されるものを, 平均 µ 分散 σ 2 の正規分布とよび, N (µ, σ 2 ) と表す.
特に, 確率変数 Z が平均 0 分散 1 の正規分布 N (0, 1)(標準正規分布とよ
ぶ) とき, その分布関数
x2
1
φ(x) := √ e− 2
2π
の曲線と ２直線 x = 0, x = t とで囲まれた図形の面積
P(0 ≤ Z ≤ t) =
∫
t
φ(x)dx
0
は正規分布表として, 大抵の統計の本に表が掲載されている. 代表的な値：
P(|Z| < 1.96) = 0.95 P(|Z| ≥ 1.96) = 0.05
P(|Z| < 2.58) = 0.99 P(|Z| ≥ 2.58) = 0.01
P(Z ≥ 1.64) = 0.05 P(Z ≥ 2.33) = 0.01
余談 成績表の五段階評価法は, 成績 X が平均 µ 分散 σ 2 の正規分布
N (µ, σ 2 ) に従うとして, 大変良い (5) 及び 大変悪い (1) は全体の 6.68
パーセント, 良い (4) 及び 悪い (2) は全体の 24.17 パーセント, 普通 (3) は
全体の 38.3 パーセントを割り振ることになる。
数式で表せば
P (X ≥ µ + 1.5σ) = P (X ≤ µ − 1.5σ) = 0.0668
P (µ + 0.5σ ≤ X ≤ µ + 1.5σ) = P (µ − 1.5σ ≤ X ≤ µ − 0.5σ) = 0.2417
P (µ − 0.5σ ≤ X ≤ µ + 0.5σ) = 0.383
29
11
仮説検定
母集団の様子を探る方法として, 仮説検定とよばれる統計的手法があ
る。
例 ある正規母集団 N (µ, 52 ) の母平均 µ は従来 150 とされていた。とこ
ろが, 母集団に影響する条件の変化があって, 最近の µ は従来と異なるの
ではないかと言われはじめた。そこで, 大きさ 100 のランダムサンプルで
調査したところ, 標本平均 152 を得た。この結果を見て, µ は従来と異な
ると判断して良いか。
解説：判断基準として「H0 : µ = 150」(最近の µ は従来と同じである)
という仮説を立てる。この仮説が正しいとして, 論理的な推論を行った結
果, 何か不都合なことや不自然なことに到達した場合に, 仮説がおかしい
と考えて, H0 を 棄却する。数学で用いられる背理法に似ている。 最初
の問題の感触と同じ方向に仮説「最近の µ は従来と異なる」を立てない
ことに注意する。仮説の結果母集団は N (150, 52 ) に従うので, 大きさ 100
のランダムサンプルの標本平均は N (150, 52 /100) に従う。
Z=
X̄ − 150
5
10
= 2(X̄ − 150)
は N (0, 1) に従う。ここで P (|Z| ≥ 2.58) = 0.01 は正規分布表から読み取
る。このことは, |Z| が 2.58 以上になる確率は 0.01 であることを示して
いる。標本平均 152 を代入して Z を計算すると, Z = 4 となり, µ = 150
が起きる確率は 1 パーセント以内であることが分かる。従って, 統計的な
判断は「仮説: H0 は有意水準 1 パーセントで棄却される。」となる。
「起
こり得ないことと考えられるようなことが起きた」となると, これは何か
あるぞと考えることが「有意」の意味である。変だと考えるのに使った
基準の確率を有意水準という。
仮説 H0 が実際には正しいにもかかわらず, 正しくないとみて, H0 を棄
却する誤りをおかす確率を有意水準である。
適合度検定の例
例 ある玩具店で買ったサイコロが正常なサイコロであるかどうかを
調べるために, 無作為に 300 回投げる実験を行って, 次の観測結果を得た。
目 １ ２ ３ ４ ５ ６ 計
回数 60 41 57 38 62 42 300
このサイコロは正常なサイコロと見なせるか？
解説：判断基準として「H0 : このサイコロは正常なサイコロである」と
30
いう仮説を立てる。つまり, どの目の出る確率も 1/6 と仮定すると, この
ときの各目の期待度数は 300 × 1/6 = 50 となる。各目について, 期待度
数 Ei と観測度数 Oi の用いて, 次の基準値を考える：
2
χ :=
6
∑
(Oi − Ei )2
Ei
i=1
実験観察を繰り返すとき, この値 χ2 が近似的に, 自由度 k − 1 の χ2 − 分
布に従うことが知られている。χ2 − 分布表から χ2 − の値が数 λ より大
きくなる事象の確率が α に等しくなる, 記号で書けば
P (χ2 ≥ λ) = α
ような関係を読みとることができる。有意水準 α が指定されたとき, χ2
分布表から λ を求めて定まる範囲 χ2 ≥ λ が有意水準 α の棄却域である。
サイコロの例に戻って α = 0.05 (有意水準 5 パーセント) の場合には,
2
χ − 分布表から λ = 11.07 が分かる。観測値から計算した χ2 の値は 11.64
である。この値は有意水準 5 パーセントの棄却域に入る。ゆえに仮説 H0
は棄却される。すなわち, このサイコロは正常なサイコロではないという
結論を得る。
適合度検定の例
ある小学校で, 曜日毎の忘れ物件数を一定期間調べた結果がある。この結
果を見て忘れ物件数が曜日に関係しているとみなせるかどうかを判断し
たい。
分割表
ある事柄が出現する比率が２つの集団で異なるかどうかを調べるときや,
１つの集団で２種類の標識の間の関連性があるかどうかを調べるとき, 観
察結果を分割表に整理して, 統計的な判断を行う。
例 インフルエンザの予防注射を行って, 次のような調査結果を得た。予
防注射の効果は認められるか否かを有意水準 1 パーセントで検定せよ。
罹 (かか) る
罹患 (りかん) 非罹患 計
注射群 12 38 50
対照群 28 22 50
計 40 60 100
解説：判断基準として「H0 : 注射群と対照群の, それぞれの母集団におけ
る罹患率の差はない」という仮説を立てる。つまり, 予防注射をしてもし
31
なくても, インフルエンザに罹る率は同じであると仮定する。
この仮説の下で, 100 人中 40 人がインフルエンザに罹っているので, 推定
罹患率は 40/100 = 2/5 であることが分かる。これに基づいて, 罹患者の
期待値を計算すると
罹患 (りかん) 非罹患 計
注射群 20 30 50
対照群 20 30 50
計 40 60 100
サイコロの場合と同様に観測度数と期待度数から
(12 − 20)2 (38 − 30)2 (28 − 20)2 (22 − 30)2
+
+
+
= 10.67
20
30
20
30
χ2 =
を得る。この χ2 は自由度 1 の χ2 − 分布に従うことが知られている。有
意水準 1 パーセントの棄却域は χ2 ≥ 6.63 であるので, 観測値からの値
10.67 はこの棄却域に入る。したがって, 予防注射の効果が認められると
いう結論を得る。
上の例は 2 × 2 分割表とよばれる。場合分けが多くなれば, 一般に m × k
の分割表が得られる。この場合には, 観測度数と期待度数から計算される
χ2 は, 自由度 (m − 1) × (k − 1) の χ2 − 分布に従うことが知られている。
検定の手続きは上と同様である。
例 あるドラマが放映された後, それを観た n 人に感想 (非常に感動, や
や感動, 全然感動せず) を聞いた結果を得たとき, このドラマに対する感
動の度合いに, 男女差が認められるかを判断したい。
参考書 水野恭之著： 看護学系の統計入門, 培風館
12
数について
話の種
１ 次の漢字は何歳を意味しますか。
志学（しがく） ＝
而立（じりつ） ＝
不惑（ふわく） ＝
知命（ちめい） ＝
耳順（じじゅん）＝
還暦（かんれき）＝
32
古希（古稀）（こき）＝
喜寿（きじゅ） ＝
米寿（べいじゅ）＝
白寿（はくじゅ）＝
卒寿（そつじゅ）＝
茶寿（ちゃじゅ）＝
傘寿（かさじゅ）＝
２ 単位
１ナノ秒 ＝ 光が 30cm 足らずの距離しか進めない短い時間
刹那（せつな）＝ 全速力で疾走する白馬の影を，閉ざした扉の隙間か
ら見る時間
３ 数字のゴロ合わせ
円周率πの値
3.141 592653 58979 323846
身一つ世一つ生くに無意味違約無く 身文や読む
(みひとつよひとつ いくにむいみ いやくなく み ふみやよむ)
3.14159265 358979 3238462 643383279 502884197
産医師異国に向かう 産後厄無く 産婦御社に 虫散々闇に鳴く 御
礼には早よ行くな (さんいしいこくにむこう さんごやくなく さん
ぷ みやしろに むしさんざんやみになく ごれいには はよいくな) "Yes, I have a number." = 3.1416 生活の中の無理数
黄金分割 golden section
「数学」線分や幾何図形を，小さい方と大きい方との比が，大きい
方と全体との比に 等しくなるように分けることをいう。このような
比を golden ratio という。
「美術」線を２分する際，長短の比を a:b = b:(a+b) に切ること。こ
の比のときが美術 的効果が最も大であるといわれる。 研
究社英和辞典より
黄金比
線分を１点で分け，長い部分と短い部分の比が，全体と長い部分との
比に等しくなる ようにしたときの比。(√ 5 + 1):2 比の値＝ 1.618
古代ギリシャで発見されて以来，安定した美しさをもつ比とされ，種
類の縦横比など に広く応用されている。 小学館国
33
語大辞典より
白銀比 √ 2 = 1.414
√ 2: 1 = 1.4 : 1 という比は日常生活の至る所で体験している。
日頃利用している規格判と称する紙，したがってそれで作られてい
る本の縦横の長さ の比が 1.4: 1 である。つまり，規格判の紙を半分
に畳んだときの形は元の形と相似 である。√ 2 : 1 = 1 : 1/√ 2
このことを利用して，大きな紙に何頁分か（通常は 16 頁分を裏表１
枚にして）まとめ て印刷し，折り畳んで製本する。これにより，用
紙の無駄がない。
Q：どのような順に印刷するのだろうか？
A:
表
1
16
13
4
8
9
12
5
裏
2
15
14
3
7
10
11
6
規格判の用紙には，A 判 B 判の２種類がある。
A0 判の面積は１平方米
B0 判の面積は 1.5 平方米
それぞれ紙を２等分するごとに A,B の後の数字が 0,1,2, ・
・
・と大
きくなる。
例えば，A3 判の半分が A4 判，その半分が A5 判となる。
文庫本は B6 判である。
拡大・縮小複写の際の数値
A4 : B5 : A5 = 1 : √ 3/2 : 1/√ 2 = 100: 86: 70 = 2/√ 3 : 1 : √ (2/3) = 115: 100: 81
= √ 2 : √ (3/2) : 1 = 141: 122: 100
参考書 赤井逸著：数学外論，共立出版
余談 もし π を３であるとしたら, この世の中の円（丸いもの）はどのよ
うに見えるでしょうか？ 小学校での小数教育論争をどのように思いま
すか。
34
13
数の概念と数え方
自然数の四則演算つまり加減乗除から始まり整数, 小数の計算は日常生
活で必要です。自然数は物の個数を数えるときやお金の計算で日常的に
使われます。小数は利率や野球選手の打率で耳馴れています。分数はど
うでしょうか。物を分けるときの概念としては非常に分かり易い概念で
すが, 大きさは漠然としたところがあり, ポケコンなどで数値計算をしよ
うとするときには,1/3 は 0.3333333 とポケコンの有効桁数だけ数字 3 が
並びます。従って 1/3 × 3 = 1 とはなりません。負の数は引算を何時でも
できるようにするために導入されて使い方は納得できますが, 果して負の
数の生活実感はどうでしょうか。 自然数の割り算が何時でも出来る, つ
まり答えがあるようにするために, 有理数（互いに割り切れない２つの自
然数で作られる分数）があることは小学校で習います。計算機を使って
数字を処理するためだけならば, 小数の範囲の知識だけで十分ですが, 自
然現象を正確に記述したり数学的な理論展開のためには, 有理数だけでは
間に合いません。例えば半径 1 の円周の長さ 2π, 長さ 1 の正方形の対角線
√
の長さ 2, 自然対数の底 e など有用な有理数でない数（無理数）の存在
が中学高校の教科書で述べられています。
日常生活で個数を数えるのは, どのような数学的な原理に従っているの
でしょうか。
数学の用語を少し学習します。集合とは,「ある性質をもち、きまった範
囲をなすものの集まりである」
「ものの集まりであって、どんなものをとっても、それがその集まりの
中にあるかどうかを判定できるもの」（小林貞一）
「ものの集まりが集合であるためには、その集められるものの範囲がはっ
きりと定まっていなくてはならない。はっきりと区画の定まったある範囲
にあるものを一まとめに考えたとき, その全体のことを集合という。」
（赤
摂也）
井関清志「集合と論理」の第１章より
集合という概念を説明しようとしても, これはあまりにも基本的すぎて,
正確に説明することはほとんど不可能である。このようなとき, 数学では,
集合という言葉をどのように使うかについて, メタ言語（説明のための言
語）を用いて解説する。
「集合」という言葉は数学では単に物の集まりという漠然とした意味で
使いません。a が集合 A の要素（あるいは, 元, 点）である (あるいは a
が A に属す) ということを記号「a ∈ A」 で表す。
35
気だてがよい人の集まり, 美人の集まり等は集まりであっても数学で言
う集合ではありません。何故でしょう。さて次の問題から始めましょう。
問題 1. 次の２つの集合のどちらが沢山の要素をもっているでしょうか。
(1) 偶数全体と奇数全体
(2) 偶数全体と自然数全体
(3) 自然数全体と分数全体
(4) 有理数全体と実数全体
(5) 直線上の点の全体と円周上の点の全体
これらの集合の特徴は何でしょうか。集合の要素の個数を１から数え始
めてどこかで終わりになるとき, この集合は「有限個」の要素をもつとか,
有限集合であるとかいいます。そうでない場合に, 集合は無限個の要素を
もつとか, 無限集合であるといいます。日頃私たちが物の個数を数えると
いう行動をしていることを数学的に見直すとどうなるでしょうか。
「みかん箱の中のみかんや玉入れの篭の中の玉を連想して」集合の要
素をまず取り出して, これに自然数 1（番号 1）を対応させる、次に取り
出したものに自然数 2（番号 2）をというふうに順に作業を行う。最後に
取り出された要素が自然数 n（番号 n）であれば, その集合の個数は n で
あると表現しています。このとき注意すべきことは, 言うまでもなく, 同
じ要素を２度以上は数えないということです。このことを数学では,「集
合と自然数の部分集合とが１対１に対応している」と表現します。
さて, ２つの物の集まり（集合）が与えられたとき, どちらの要素の個
数が多いかを調べるにはどうしたら良いでしょうか。
それぞれの集合の要素の個数を数えて比較すればよいですね。我々は
幼稚園・小学校で数の数え方や算数を習って数を使って物の個数を表現
することが常識のようになっていますが, これはどこでも通用することで
しょうか。もし学校で数を数えることを教わっていない人（学校教育を
受けていない人は世界には沢山います）はどうするでしょうか。数を数
える道具として手足の指だけが頼りになる人には、２０個以上の要素を
もつ集合同士の比較は出来ないのでしょうか。
数を数えられない人にでも, ２つの集合のどちらの要素が多いか判断出来
る方法を思い付きますか。年末の紅白合戦での勝敗判定（審査員が篭の
なかの入れた紅白の玉の数で決めていた）や高等学校の運動会でのクラ
ス玉入れを思いだして下さい。玉を紅白両チームあるいは複数チームで
かけ声と共に１個づつ取り出していき、最後まで残った方が勝ちという
方式です。たしかに途中で数を数えていますが、勝負という点ではかけ
36
声だけで十分です。数学的には, 集合 X の要素に集合 Y の要素を対応さ
せ, 異なる要素には異なる要素を対応させることが可能ならば, 集合 Y の
要素の数が集合 X の濃度以上であると判断します。逆に、集合 Y の要
素に集合 X の要素を対応させて, 異なる要素には異なる要素を対応させ
る（数学では１対１対応という）ことが可能ならば, 集合 X の濃度が集
合 Y の濃度以上であると判断します。つまり, ２つの集合の濃度が等し
いというのは, 上の２つのことが成り立つことであると定義します。
問題 1 の解答
(1)(2)(3) については濃度（要素の個数）は同じ
(4) 実数全体の方が有理数全体よりも多い
(5) 円周上の点の全体の方が直線上の点の全体よりも１点だけ多い
どうしてそうなるかの理由を考えてみて下さい。
(1) は納得できるとしても、(2)(3) の場合には, 集合に含まれる真部分集
合と濃度が等しいという, これまでの常識では考えられない状況が生じま
す。これは, 無限個のものを考えるときに注意しなければならない点です。
(4) 実数全体の濃度と有理数全体の濃度が違うという証明はカントールの
対角線論法として有名です。つまり, きちんと証明し理解しなければなら
ない, 実数の大切な性質です。(5) は適当な対応を作って証明しますが, そ
のアイディアは数学の各分野で役に立っています。
余談 豊臣秀吉が木下籐吉郎とよばれて織田信長の台所奉行だったころ
の「太閤出世話」の中で, 上で述べた「１対１対応の原理」を用いて, 炭
焼き用の山の木の本数を数えた話があります。
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点と線：グラフとネットワーク
クイズとグラフ
「点と線」というと，推理小説のタイトルのようですが，皆さんには恐ら
く初めてであろうと思われるグラフ（ネットワーク）の話を紹介し，同
じグラフという言葉で違う物があることを注意します。
いろいろな物事の間の関係を考えるとき，それらをグラフにしてみると
理解し易いことがあるというところは，
「グラフに描けば」と同じ精神で
すが，次のような例題からはじめましょう．
例題 1 5 人の人 A, B, C, D, E が居て，A は B に,B は C に,C は A と
D に,D は B に, E は A に連絡が可能であるとする。A がメッセージを
出したとき，全員にそれが伝わるか。
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答え：E には伝わらない。
問題文を読んですぐに答えられた人も，人数が 10 人，100 人と多くなれ
ば，文章を読んで関係を探ることは困難になることは容易に想像できる。
このような連絡網や人間関係は A, B, C, D, E を点（丸印）で表し，連
絡可能なところを矢線で描く．
（例えば，A から B への矢線）この図形を
見れば E が A からのメッセージを貰えないことが直ちにわかる。
この図形のように，点と（矢）線で作られる図形をグラフといいます。
この際のグラフはものの間の関係を表示するものであるから，図形とし
ての形は異なっても内容が同じなら，同じグラフと考えるます。
グラフ理論はこのように点と線で作られる図形の内容的な構造を研究
する学問分野である．グラフ理論は理工学や社会科学の数多くの分野で
多様に応用されて始めたのは，1960 年代に入ってからである．大抵のグ
ラフ理論の本では，第 1 頁から厳しい定義が並んでいて，その抽象さの
チンプンカンプンさのあまり，興味ある話題に到達出来ないことがしば
しばです。グラフ理論の起源とも言うべき有名な次の問題は, 中学校の壁
にケーニヒスベルグの橋の絵が掛かっていたことを思い出す人もいるで
しょう。
問題 東プロシャの都市ケーニヒスベルグ（ソ連時代のカリーニングラー
ド）を流れるプレーゲル川の中の２つの島と両側の陸地を結ぶ図 のよう
な７つの橋を渡る問題である。つまり，いずれかの地点より出発し，７
つの橋をすべて丁度一度ずつ通過して，出発地点に戻ることが可能か。
ケーニヒスベルグの多くの市民が実際に橋を渡って問題を解決すること
を試みたが，誰も成功しなかったという．実は，この問題の解答は「可能
でない」ということなので，可能でないことをいかに証明するかが一般市
民には出来なかったと思われる．1736 年レオンハルト・オイラー（17071787）は ”ケーニヒスベルグの橋の問題 ”と呼ばれるこの問題をグラフ
理論的な考察で解決した。
渡河問題
ある河の岸に，狼と羊がいて，キャベツがある．渡し舟の船頭は一度に
このうちの一つを連れて対岸に運ぶ。船頭がいないときに，狼と羊，羊
とキャベツという組合せを作ることはできない．
（一方が食べられてしま
う。）全部を対岸に運ぶ最も効率の良い方法を見つけよ。
問題が古すぎると思えば，次のような変形はどうだろうか。
太郎（狼）と花子（羊）と洋子（キャベツ）がいて，自分がバイクで一
人ずつコンパの会場まで送り届ける役になったとする．自分は花子が好
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きなので，同じく花子に好意を持っている太郎と二人きりにしたくない．
また，花子と洋子は二人きりにすると喧嘩するのでコンパが気まづくな
るので困る。三人全員を会場に運ぶにはどうしたらよいか．
この問題はケーニヒスベルグの橋の問題と違って答えが２通りあります
ので，我々は思考錯誤的に頑張れば答えは見つかります．しかし，この
問題の答えが幾つあるかまできちんと答えを与えるためには，それなり
の手間がかかります。この問題をグラフと結び付けるという部分が発想
の転換点となるわけです．
渡河問題を分かりやすくするために，河のこちら側での可能な組合せ
を考える:
形式的な組合せは 16 通りあるが，
（羊とキャベツ）＝（人と狼），
（狼と
羊）＝（人とキャベツ），
（狼と羊とキャベツ），
（人）という組合せは許さ
れない．
（後２つは渡河問題の題意に反する）。したがって，全部で 10 個
の場合が考えられる。これをグラフの点（ノード）とする。
1. 人，狼，羊，キャベツ
2. 狼，キャベツ
3. 人，狼，キャベツ
4. 狼
5. 人，狼，羊
6. 羊， 7. キャベツ
8. 人，羊，キャベツ
9. 人，羊
10. 誰もいない
舟を１回動かすことによって変わりうる状態を線（アーク）で結んでみ
る。
1 から 2 （羊を運ぶ）
2 から 3 （人が戻る） 3 から 4 （キャベツを運ぶ）
4 から 5 （羊を連れて戻る） 5 から 6 （狼を運ぶ） 3 から 7 （狼を運ぶ）
7 から 8 （羊を連れて戻る）
8 から 6 （キャベツを運ぶ）
6 から 9 （人が戻る）
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9 から 10 （羊を運ぶ）
というグラフが出来上がり，解決方法は２つでいずれも７回（３往復と
１回）の行動を必要とする．
参考書 高橋・五百井著, ネットワークプログラミング，森北出版
参考書 浜田・秋山著, グラフ論要説，槙書店
問題 多くの部屋をもつ古い邸宅がある．この邸宅のうち偶数個の出入
口のある部屋には幽霊がでるという。ただ一つしかない玄関からこの邸
宅に入った人は，幽霊の出ない部屋に行き着くことができるだろうか。
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グラフの活用：仕事手順
何かある開発計画が実行されようとするとき，従来はその開発計画の
実行可能なところから手当り次第に仕事に取り掛かるかあるいは，全部の
仕事を急がせるというような計画性のない進行方法が行われてきた。こ
のようなことでは，その開発計画がいつになったら完了するのか，費用
はどのくらいになるのかは開発計画が完了するまで分からないし，仕事
を急がせるにしても，どの部分の仕事を急がせればよいのか分からない
ままに，急がせなくてよい仕事をまで急がせてしまうことが起こる。
そこで開発計画の時間割作りの問題（スケジューリング）が科学的に
研究されて，ミサイルや航空機の開発計画等でその有用性を認められて
きた。開発という言葉は，我々の日常生活からは掛けはなれて感じられ
るが，マイホームの建設計画も一種の開発計画です．例えば，工務店の
仕事手順図，設計打ち合せから資金計画，基礎工事，棟上げ，外壁工事，
床仕上げ，電気の配線，建具の搬入，電気器具の購入，カーテンや壁紙
の打ち合せ，等の後マイホーム完成までにもまだまだ沢山の段階がある。
余談ながら，将来皆さんがマイホーム作戦に成功を納めるためには，そ
れ以前にすばらしいパートナー捜しが大切かも知れませんが，各段階毎
に最も賢明な選択を行う際に，スケジューリングについての知識が役に
立つでしょう。
問題 身の回りの開発計画スケジューリングの問題を捜せ．
本日の話のキーワードは PERT = Program Evaluation and Review
Technique あるいは CPM = Critical Path Method です．PERT は軍事
研究として出発し，金は幾らかかかっても時間を急ぐ立場であり，CPM
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は民間企業でコストを考えに入れている違いがある。PERT の技法の上
にさらに費用を加えたのが CPM であるが，両者をまとめてスケジュー
リングという。現在では，土木建設界を始め全ての企業で新製品開発の
業務に利用されている。
参考文献 小林竜一著, OR 概論, 共立出版, 1970
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