線形代数とは

線形代数とは
線形代数は、理系なら大学１回生で必ず学習する科目の１つである。さっそく、線形代数とは何か
を説明すると、線形代数とは「ベクトル関数」のうち、「線形性」をもつものだけを扱う数学である。
ここではまず、「ベクトル関数」と「線形性」とはそれぞれ何かということについて解説しよう。
ベクトル関数
これまでに習った関数は、y= f0x1 のような、数を数に写す関数であった。ベクトル関数とは、こ
れを拡張した、ベクトルをベクトルに写す関数 y =f0x1 である。具体的にどのようなものがあるか
⾒てみよう。
[具体例 ] x =
x
89
y
とする。 f0x1 =
たとえば、 x =
1
89
3
x 2+ y 2
8
xy
9
、g0x1 =
8
x + 2y
9
2x + 3y
というベクトルは、f0x1によって、y =
、h0x1 =
1 2 +3 2
8
1･3
8
sin 0 x +y 1
cos 0 x - y 1
10
9 89
=
3
9
・・・など。
にうつることになる。
上の例では２次元ベクトルの関数のみを扱ったが、３次元ベクトルを３次元ベクトルに写すベクト
ル関数も同様に作ることができる。しかしここでは話が複雑になるのをさけるために、２次元ベクト
ルの関数だけを考えていくことにする。（３次元以上のベクトル関数については、大学の線形代数を
参照して下さい。）
線形性
上でベクトル関数について説明したが、⾒ればわかるように、「これまでの」関数y = f0x 1 よりも
事情は複雑である。（成分が２つあるため。）そこで思い切って、考察の対象を、次の形をしたもの
に限ってしまう。
f0x1 =
8
ax +by
cx+ dy
9
(a,b,c,dは定数) …（＊）
要するに、成分が１次式のものだけを扱おうということである。上に挙げた具体例の中では、g0x1だ
けがこの形でかかれている。
v このような特殊なものだけしか扱わないことに、不満と不安を覚えるかもしれない。もちろん、
この形で表わせないベクトル関数の方が多い。しかし数学と物理学の長い歴史の中で結局、この形の
ベクトル関数についての理論を整備すれば、十分役に立つということがわかってきたのである。ただ
その歴史は複雑であり、簡単に解説できることではない。つまり、役に立つ理由が説明しにくい。こ
のあたりが線形代数を学ぶ動機の難しさの１つである。線形代数の歴史については、「数学史」の記
事を参照して下さい。
さて、重要なのは、次の定理が成り⽴つということである。
f0x1 が (＊) の形でかかれる。
C 任意の x 1、x 2 と任意の実数 s,t について、f0sx + ty1= sf0x 1+tf 0y1 が成り⽴つ。
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とても大事な定理なので絶対に覚えておいてほしい。f0x1 が線形性をもつとは、この定理の後者の
命題「任意の x 1、x 2 と任意の実数 s,t について、f0sx + ty1= sf0x 1+tf 0y1 」が成り⽴つことなので
る。線形性をもつベクトル関数のことを、１次変換という。次回以降は、この１次変換およびそれを
簡潔に表現する方法である⾏列が主役になる。定理の証明の概略を書いておこう。
"（E）実際に代入することにより確かめられる。
（D）もし、f0x1の成分に１次式以外の項が含まれていると、その項のせいで線形性が成り
⽴たなくなる。 ■ つづく
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