数学Aのレポート問題（7月5日提出）の解説 f(x) の導関数 f (x) の定義 f

数学Ａのレポート問題（７月５日提出）の解説
f (x) の導関数 f (x) の定義 f (x) = lim
ε−→0
よ.
f (x+ε)−f (x)
ε
に基づいて次の問いに答え
1. 加法公式 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β を用いて f (x) = sin x に対
して f (x) = cos x を証明せよ.
証明. 定義にしたがって,
sin(x + ) − sin x
→0
sin x cos + cos x sin − sin x
= lim
→0
cos − 1
sin = (sin x) · lim
+ (cos x) · lim
→0
→0 2
cos − 1
sin = (sin x) · lim
+ cos x
(lim
= 1 を使った)
→0 (cos + 1)
→0 sin 1
= (sin x) · lim − sin ·
·
+ cos x
→0
cos + 1
f (x) = lim
= cos x
( → 0 のとき, sin → 0 かつ cos → 1 である)
2. 加法公式 cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β を用いて f (x) = cos x に対
して f (x) = − sin x を証明せよ.
証明. 定義にしたがって,
cos(x + ) − cos x
→0
cos x cos − sin x sin − cos x
= lim
→0
cos − 1
sin + (− sin x) · lim
= (cos x) · lim
→0
→0 2
cos − 1
sin = (cos x) · lim
− sin x
(lim
= 1 を使った)
→0 (cos + 1)
→0 1
sin ·
= − sin x
lim − sin ·
= 0 は上と全く同様
→0
cos + 1
f (x) = lim
3. 前の結果を用いて f (x) = tan x の導関数 f (x) を求めよ (上と同様に証明
もしっかりかくこと).
証明. tan x =
sin x
と授業で導いた商函数の導関数
cos x
h (x)g(x) − g (x)h(x)
(h(x)/g(x)) =
g(x)2
によって
cos x cos x − (− sin x) sin x
cos2 x
1
=
cos2 x
f (x) =
を得る.
最後に 定義を用いて導関数を求める際にちゃんと正しい操作と正しい理由付
けをもって極限操作ができるかを確認する意味でやってもらっています. 以前
sin = 1 がここで大切な役割を演じていることをしっ
のレポートでやった lim
→0 かり認識してください.