2005年

1
平成 17 年度 長崎大学２次試験前期日程 (数学問題)
平成 17 年 2 月 25 日
• 教育・工学部は， 1 , 3 , 5 , 6 数 II・III・B(120 分)
• 経済・水産・環境科学部は， 2 , 5 数 II・B(80 分)
• 医学部は， 1 , 4 , 6 数 II・III・B(100 分)
• 歯・薬学部は， 1 , 2 , 3 数 II・III(100 分)
1 原点を O，放物線 C : y = x2 上の 2 点 P(−2, 4)，Q(1, 1) を通る直線を l，線
分 PQ を t : (1 − t) に内分する点を R とする．ただし，0 5 t 5 1 とする．さら
に l と y 軸との交点を N とする．次の問いに答えよ．
(1) l の方程式を求めよ．
(2) R が第 1 象限に含まれるような t の値の範囲を求めよ．ただし，座標軸は
どの象限にも含まれないものとする．
(3) t の値が (2) で求めた範囲にあるとき，4ORN の面積を求めよ．
(4) t の値が (2) で求めた範囲にあるとき，C ，線分 PR および線分 OR で囲ま
れた図形の面積を S1 とし，C ，線分 RQ および線分 OR で囲まれた図形
の面積を S2 とする．S1 ，S2 を t で表せ．
2 円 C : x2 + y2 = 1 上の点 P(−1, 0) を通る直線 l : y = x + 1 および C 上の点
Q(cos α, sin α) を考える．ただし，0◦ 5 α 5 90◦ とする．Q における C の接
線 m と l との交点を R とする．次の問いに答えよ．
(1) Q と R との距離が 1 以下となるような α の値の範囲を求めよ．
(2) Q と R との距離が 1 のとき，l と m のなす鋭角 β について，cos β の値を
求めよ．
2
log x
a
，g(x) = + b を考える．ただし，a，b
x
x
は定数とする．次の問いに答えよ．
3 x > 0 で定義される関数 f (x) =
(1) 関数 f (x) の増減を調べよ．
(2) 原点を通り曲線 y = f (x) に接する直線 l の方程式と，その接点 P の座標
を求めよ．
(3) 曲線 y = g(x) が P において l に接するような a，b の値を求めよ．
√
(4) a，b が (3) で求めた値のとき，0 < x < e で g(x) > f (x) となることを
√
示せ．さらに 0 < x 5 e と y = 0 の範囲で，2 曲線 y = f (x)，y = g(x)
および x 軸によって囲まれた図形の面積を求めよ．
³
x2 y 2
π´
4 楕円 E : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) と，E 上の点 P(a cos α, b sin α) 0 5 α <
a
b
2
を考える．P における E の接線を l1 とし，これに平行で E の反対側にある接線
を l2 とする．さらに，l1 と直交する接線のうち，E の上側にあるものを m1 ，下
側にあるものを m2 とする．また，m1 の接点を Q(a cos β, b sin β) とおく．m2
と l1 ，l1 と m1 ，m1 と l2 および l2 と m2 の交点を，それぞれ，A，B，C および
D とする．次の問いに答えよ．
(1) l1 ，l2 の方程式と辺 AD の長さ L を α で表せ．また m1 ，m2 の方程式と辺
AB の長さ M を β で表せ．
(2) α と β の関係を求めよ．
(3) t = tan2 α とおくとき，長方形 ABCD の面積 S(t) を求めよ．
(4) S(t) の最大値と最小値を求めよ．
3
5 p，q ，r を正の実数とし，p > r とする．
f (x) = x3 − (2p + r)x2 + (p2 + q 2 + 2pr)x − (p2 + q 2 )r
とするとき，次の問いに答えよ．
(1) f (r) を求めよ．
(2) x についての 3 次方程式 f (x) = 0 の解を求めよ．
(3) (2) で求めた解のうち，絶対値が最小のものを z1 ，虚部が最小のものを z2
とする．α = z2 − z1 とし，複素数平面上で点 α を原点の周りに θ だけ回
転した点を β とする．α と β を求めよ．
《注》複素数 a + bi (a, b は実数，i は虚数単位) に対し，b をこの複素数の虚
部という．
(4) β が実数となるとき，tan θ を p，q ，r で表せ．
6 空間における 3 つのベクトル ~a，~b，~c が次の条件を満たしているものとする．
| ~a | = | ~b | = | ~c | = 1, ~a·~b = ~b·~c = ~c·~a = cos θ
(0◦ < θ < 120◦ )
次に，点 O を始点とするベクトル ~a，~b，~c，~a + ~b，~b + ~c，~c + ~a，~a + ~b + ~c の終
点をそれぞれ，A，B，C，D，E，F，G とする．さらに，線分 AD，BD，BE，
CE，CF，AF の中点を，それぞれ，H，I，J，K，L，M とする．次の問いに
答えよ．
−
→
−
→
(1) ~u = IH，~v = IJ とするとき，~u，~v を ~a，~b，~c で表せ．
(2) H，I，J の定める平面を α とする．K，L，M は α 上にあることを示せ．
−
→
《注》 P が α 上の点であるための必要十分条件は，IP = s~u + t~v (s, t は実
数) と表されることである．
(3) 多角形 HIJKLM は正六角形であることを示せ．
D
I
H
B
J
A
~a
~b O
G
E
M
~c
K
C
L
F
4
正解
1
(1) y = −x + 2
(2) P(−2, 4)，Q(1, 1) を t : (1 − t) に内分す
る点 R は
y
l
P
C
4
((1 − t)·(−2) + t·1, (1 − t)·4 + t·1)
すなわち
(3t − 2, −3t + 4)
2
N
R は第 1 象限にあるから
3t − 2 > 0,
−2
−3t + 4 > 0
0 5 t 5 1 に注意して
2
3
R
Q(1, 1)
O
<t51
(3) (1)，(2) の結果から，N の y 座標は 2，R の x 座標が 3t − 2 であるから
1
4ORN = ·2·(3t − 2) = 3t − 2
2
(4) (3) の結果を用いて
Z 0
{(−x + 2) − x2 } dx + 4ONR
S1 =
·
−2
¸0
4
x3 x2
+ (3t − 2) = 3t +
= − −
+ 2x
3
2
3
−2
Z 1
S2 =
{(−x + 2) − x2 } dx − 4ONR
0
·
¸1
19
x3 x2
= − −
+ 2x − (3t − 2) = −3t +
3
2
6
0
(5) S1 : S2 = t : (1 − t) であるから
µ
¶ µ
¶
4
19
3t +
: −3t +
= t : (1 − t)
3
6
¶
µ
¶
µ
19
4
(1 − t) = t −3t +
したがって
3t +
3
6
0 5 t 5 1 に注意して，これを解くと
t=
8
9
x
5
2
(1)
l :y =x+1
y
l
C の Q(cos α, sin α) における接線 m の方程式は
1
x cos α + y sin α = 1
R
Q
P
l と m の交点 R は
¶
µ
1 + cos α
1 − sin α
,
sin α + cos α sin α + cos α
O
α
1
x
C
m
したがって
¶
1 − sin α
1 + cos α
,
− (cos α, sin α)
sin α + cos α sin α + cos α
1 − sin α + cos α
=
(− sin α, cos α)
sin α + cos α
−→
QR =
µ
0◦ 5 α 5 90◦ より，
1 − sin α + cos α
= 0 であるから
sin α + cos α
QR =
1 − sin α + cos α
sin α + cos α
QR 5 1 であるから
1 − sin α + cos α
5 1 ゆえに
sin α + cos α
よって
sin α =
1
2
30‹ 5 α 5 90‹
(2) l，m と x 軸のなす角は，それぞれ 45◦ ，60◦ であるから，l と m のなす角は
45◦ + 60◦ = 105◦ ,
したがって，求める鋭角 β は
よって
180◦ − 105◦ = 75◦
75◦
cos β = cos(45◦ + 30◦ )
= cos 45◦ cos 30◦ − sin 45◦ sin 30◦
√
√
√
6− 2
1
1 1
3
−√ · =
=√ ·
4
2 2
2 2
6
3
(1)
1 − log x
x2
y = f (x) の増減表は，次のようになる．
f 0 (x) =
x
0 ··· e ···
f (x)
+ 0 −
f (x)
% 1e &
¶
µ
log t
における接線の方程式は
(2) P t,
t
0
y−
log t
1 − log t
1 − log t
2 log t − 1
=
(x
−
t)
すなわち
y
=
x
+
t
t2
t2
t
この直線が原点を通ることから
√
2 log t − 1
= 0 これを解いて t = e
t
µ
¶
1
1
√
よって
l:y=
x, P
e, √
2e
2 e
a
a
(3) g(x) = + b を微分すると g 0 (x) = − 2
x
x
y = g(x) の P における接線が l に一致するから
√
1
g( e ) = √ ,
2 e
したがって
よって
√
1
g0( e ) =
2e
a
1
a
1
√ +b= √ ， − √ 2 =
2e
e
2 e
( e)
1
1
a=− , b= √
2
e
7
y
(4) h(x) = g(x) − f (x) とおくと
1
1
log x
h(x) = − + √ −
2x
x
e
2 log x − 1
h0 (x) =
2x2
√
√
0 < x < e において h0 (x) < 0，h( e ) = 0
y = g(x)
√
e
2
O
1
√
y = f (x)
√
したがって，0 < x < e において，h(x) > 0
√
よって，0 < x < e において g(x) > f (x)
求める面積を S とすると
¶
Z √e
1
log x
1
− + √ dx −
S= √
dx
e
2x
x
e
1
2
¸√e ·
¸√e
·
1
x
1
−
(log x)2
= − log x + √
2
2
e √e
1
Z
√
e
µ
2
=
3
8
−
1
2
log 2
e
x
8
4
(1) E の P(a cos α, b sin α) における接線 l1 の方程式は
(a cos α)x (b sin α)y
+
= 1 すなわち
a2
b2
cos α
a
x+
sin α
b
y=1
l2 は P と原点に関して対称な点における接線の方程式であるから
(−a cos α)x (−b sin α)y
+
= 1 すなわち
a2
b2
cos α
a
x+
sin α
b
y = −1
L は P から l2 までの距離に等しいから
¯
¯
¯
¯ cos α
sin α
¯
¯
¯ a ·a cos α + b ·b sin α + 1¯
2ab
s
=p
L=
µ
¶
2
³ cos α ´2
b2 cos2 α + a2 sin2 α
sin α
+
a
b
m1 y
m2
m1 ，m2 および M は，l1 ，l2 および L の α を β にそれぞれ置き換えたものであるから
B
P
sin β
cos β
x+
y = 1，
m1 :
Q
A x
a
b
O
C
cos β
sin β
l1
m2 :
x+
y = −1
b
b
2ab
D
l2
M = p
2
2
2
2
b cos β + a sin β
µ
¶
µ
¶
cos α sin α
cos β sin β
,
,
(2) l1 の法線ベクトル
と m1 の法線ベクトル
a
b
a
b
は垂直であるから
cos α cos β sin α sin β
·
+
·
=0
a
a
b
b
よって
b2 cos α cos β + a2 sin α sin β = 0
9
(3) (1) の結果から
S(t) = LM = √
2ab
b2 cos2 α + a2 sin2 α
4a2 b2
2ab
·p
b2 cos2 β + a2 sin2 β
=p
(b2 cos2 α + a2 sin2 α)(b2 cos2 β + a2 sin2 β)
(2) の結果により
(b2 cos2 α + a2 sin2 α)(b2 cos2 β + a2 sin2 β)
=(b2 cos α cos β + a2 sin α sin β)2 + a2 b2 (sin α cos β − cos α sin β)2
=a2 b2 sin2 (β − α)
P，Q の位置関係により，0 < β − α < π であるから
4a2 b2
S(t) = p
a2 b2 sin2 (β − α)
=
4ab
sin(β − α)
ここで，
「α = 0」「β = π2 」「t = 0」が同値であることを示す．
π
t = 0 のとき，t = tan2 α であるから，0 5 α < より α = 0
2
π
これを (2) の結果に代入すると b2 cos β = 0 すなわち β =
2
π
2
逆に，β = を (2) の結果に代入すると a sin α = 0
2
π
0 5 α < であるから α = 0 このとき t = tan2 0 = 0
2
π
(i) t = 0 のとき，α = 0，β = であるから
2
S(0) =
4ab
³π
´ = 4ab
sin
−0
2
10
(ii) t > 0 のとき，β 6=
π
であるから，(2) の結果により
2
tan α tan β = −
b2
b4
b4
2
,
tan
β
=
=
a2
a4 tan2 α
a4 t
したがって
tan β − tan α
tan β − tan α
=
2
1 + tan β tan α
1 − ab 2
tan2 β − 2 tan α tan β + tan2 α
tan2 (β − α) =
2
(1 − ab 2 )2
tan(β − α) =
=
b4
a4 t
2b2
+
a2
2
− ab 2 )2
+
(1
t
(a2 t + b2 )2
= 2
(a − b2 )2 t
1
1
(a2 − b2 )2 t
=
1
+
=
1
+
tan2 (β − α)
(a2 t + b2 )2
sin2 (β − α)
s
(a2 − b2 )2 t
したがって
S(t) = 4ab 1 + 2
(a t + b2 )2
s
(a2 − b2 )2 t
(i)，(ii) から
S(t) = 4ab 1 + 2
(a t + b2 )2
(4) (3) の結果から，t = 0 のとき，最小値 4ab をとる．
また，t > 0 であるから
1+
(a2 − b2 )2 t
(a2 − b2 )2 t
=
1
+
(a2 t + b2 )2
(a2 t − b2 )2 + 4a2 b2 t
(a2 − b2 )2
=1+ 2
(a t − b2 )2 t−1 + 4a2 b2
(a2 + b2 )2
(a2 − b2 )2
=
51+
4a2 b2
4a2 b2
上式において，等号が成立するのは，t =
µ
S
b2
a2
r
¶
= 4ab
b2
のときで，最大値は
a2
(a2 + b2 )2
= 2(a2 + b2 )
4a2 b2
11
解説
Q(a cos β, b sin β) は，P(a cos α, b sin α) によって決定するので，β は α の関数
と考えてよい．したがって，f (α) = sin(β − α) とおくと
¶
µ
dβ
0
−1
(1)
f (α) = cos(β − α)·
dα
また，(2) で得られた α と β の関係式
b2 cos α cos β + a2 sin α sin β = 0
(2)
を α で微分すると
¶
µ
¶
µ
dβ
dβ
2
2
−b sin α cos β + cos α sin β·
+a cos α sin β + sin α cos β·
= 0 (3)
dα
dα
f (α) が極値をとるとき，(1) より
(i) β = α +
(i) β = α +
(ii)
または
dβ
=1
dα
π
を (2) に代入して整理すると
2
したがって
(ii)
π
2
1 2
π
(a − b2 ) sin 2α = 0 ゆえに α = 0, β =
2
2
³π
´
4ab
f (0) = sin
− 0 = 1 よって
= 4ab
2
f (0)
dβ
= 1 を (3) に代入して整理すると
dα
(a2 − b2 ) sin(α + β) = 0 ゆえに β = π − α
これを (2) に代入して整理すると
−b2 cos2 α + a2 sin2 α = 0 ゆえに
b
b
tan α = , tan β = −
a
a
2ab
tan β − tan α
=− 2
1 + tan β tan α
a − b2
¡ 2ab ¢2
2
− a2 −b2
tan
(β
−
α)
4a2 b2
sin2 (β − α) =
=
=
¡
¢2
1 + tan2 (β − α)
(a2 + b2 )2
1 + − 22ab 2
tan(β − α) =
a −b
sin(β − α) > 0 であるから f (α) =
2ab
+ b2
a2
よって
4ab
= 2(a2 + b2 )
f (α)
12
5
(1) f (x) = x3 − (2p + r)x2 + (p2 + q 2 + 2pr)x − (p2 + q 2 )r より
f (r) = r3 − (2p + r)r2 + (p2 + q 2 + 2pr)r − (p2 + q 2 )r = 0
(2) (1) の結果から，f (x) は x − r を因数にもつから，f (x) = 0 は
(x − r)(x2 − 2px + p2 + q 2 ) = 0 これを解いて x = r, p ± qi
p
p2 + q 2 > p > r > 0 ゆえに |p ± qi| > p > r > 0
(3) p > r より
したがって
また
z1 = r，z2 = p − qi
よって
α = z2 − z1 = p − r − qi
β = α(cos θ + i sin θ)
= (p − r − qi)(cos θ + i sin θ)
= (p − r) cos θ + q sin θ + {(p − r) sin θ − q cos θ}i
(4) β が実数であるとき，(3) の結果から
(p − r) sin θ − q cos θ = 0 よって tan θ =
q
p−r
13
6
1 −→ 1
1 −→ 1
(1) ~u = BA = (~
a − ~b)，~v = AC = (~c − ~
a)
2
2
2
2
(2)
−→ 1
−
→ 1
OI = ~a + ~b，OK = ~b + ~c，
2
2
−→ 1 ~ ~ −−→ ~ 1~
OL = a + c，OM = a + c
2
2
したがって
−
→ −→ −
→
1
1
IK = OK − OI = − ~a − ~b + ~c = ~u + 2~v
2
2
−
→ −→ −
→ ~ ~
IL = OL − OI = c − b = 2~u + 2~v
−
→ −−→ −
→ 1
1
IM = OM − OI = ~a − ~b + ~c = 2~u + ~v
2
2
J
I
~v
~u
K
H
M
L
よって，K，L，M は α 上にある．
(3)
−
→
HI = −~u
−→ ~
KL = u
−
→ ~
IJ = v
−→
LM = −~v
−→ 1 ~ ~ ~
ON = (a + b + c) とおくと
2
−→
−
→
NH = −~v
NI = −(~u + ~v)
−→ ~
−→ ~ ~
NK = v
NL = u + v
−
→
JK = ~u + ~v
−−→
MH = −(~u + ~v)
−
→
NJ = −~u
−−→ ~
NM = u
このとき
1
|~u|2 = (|~a|2 − 2~a·~b + |~b|2 ) =
4
1
2
|~v| = (|~c|2 − 2~c·~a + |~a|2 ) =
4
1
(1 − cos θ)
2
1
(1 − cos θ)
2
~u + ~v = 1 (~c − ~b) であるから
2
1
1
|~u + ~v|2 = (|~c|2 − 2~b·~c + |~b|2 ) = (1 − cos θ)
4
2
HI，IJ，JK，KL，LM，MH および NH，NI，NJ，NK，NL，NM は等し
いので，多角形 HIJKLM は正六角形である．