抵抗力 - 工学院大学

抵抗力での運動
２．５．３ 抵抗力
工学院大学の学生のみ利用可：印刷不可：再配布不可 (C)加藤潔 2012
1
復習（等加速度運動）
v = at + v 0
1 2
x = at + v 0t + x 0
2
地上での運動
加速度 g の等加速度運動
類題３ p.30）高さｈから
地上への落下→ 速度
v = 2gh
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2
m (v=0)
v = 2gh
数値的にはどうか？
？
ｈ
h = 200 m
⇒ v = 63 m/s
現実にはこうならない →
F=mg
ｖ
空気抵抗の存在
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3
抵抗力
• 水中や空気中を運
動するときの抵抗力
条件
• 静止：力＝０
• 運動方向と逆
• 速度とともに増える
この条件を満
たす式
→ F=-bv
（ｂ：正の定数）
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4
• 初速度０で質点を落下させる
運動の定性的性質
１）はじめは重力で加速される
２）速度が増加，抵抗力も増加
３）両者が釣り合う
→力＝０→等速度運動
一定の速度：終端速度
mg
mg = bv ⇒ v ∞ =
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b (C)加藤潔 2012
v=0
F=-bv
F=mg
5
重力と抵抗力
• 正確な理解→運動方程式を解く
F = ma
•
F=-bv
F=mg
ｘ軸下向き，初期位置 ｘ＝０
mg − bv = ma
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x
6
mg − bv = ma
dv
a=
dt
dv
mg − bv = m
m
τ=
dt
b
mg
mg
m dv
v =
v−
=−
b
b
b dt
1 dv
1
1 dv
1
dt = ∫ − dt
=−
∫
v − v ∞ dt
v − v ∞ dt
τ
τ
∞
1
1
dv
=
−
dt
∫ v − v∞
∫ τ
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7
dv
1
∫ v − v ∞ = ∫ − τ dt
初期条件
t=0 → v=0
t
log v − v ∞ = − + C
τ
log(v ∞ − v ) = − + log v ∞
t
C = log v ∞
τ
指数・対数の計算：p.240
v = v ∞ (1 − e
−t /τ
)
x = ∫ vdt = v ∞ [t + τ (e − t / τ − 1)]
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速度時間変化のグラフ
運動の定性的性質
１）はじめは重力で
加速される
２）速度が増加，抵
抗力も増加
３）両者が釣り合う
→力＝０
→等速度運動
v = v ∞ (1 − e
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−t /τ
)
9
追加
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10
結果の点検
x
重力と抵抗力による運動
1
0.5
0.1
0.01
0.001
抵抗力が０になると(b=0)，重力だけのとき
の運動と一致するはず。
exp(x)
2.718282
2
1.105171
2
1.01005
x
+L
e = 1+ x +
1.5
1.12
1.01
x
近似公式(p.233)
1+x
1.648721
v = gt
11.010052
1+x+x*x/2
2.5
1.625
1.105
− t /τ
x = gt
x = v∞ [ t + τ (e − 1)]
2
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1.001001
1.001
v = v∞ (1 − e− t /τ )
1.001001
OK!
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抵抗力と雨滴の落下
１． 抵抗力なし→Ｖ＝６３ｍ／ｓ
２． 球状の物体の抵抗力
に対するストークスの公式
mg
v∞ =
b
2r ρg
v∞ =
9η
2
F = 6πrηv
4 3
m = V ρ = πr ρ
3
r = 0.2 mm
⇒ v ∞ = 4.8 m/s
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！
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