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MicroCap5/CQを用いたアクティブフィルターの設計と製作
卒 業 研 究 報 告 題 目 MicroCap5/CQ を用いたアクティブ フィルターの設計と製作 指 導 教 員 綿森道夫助教授 報 告 者 久 保 格致 平成 １３年 ２月 ９日 高知工科大学 電子・光システム工学科 目次 第1章 序論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１ 第2章 ２−１ ２−２ −1 −2 −3 −4 フィルターについて アクティブ・フィルタ・・・・・・・・・・・・・・・・２ 規格化低域通過フィルタの伝達関数・・・・・・・・・・３ 2 次のバターワース特性・・・・・・・・・・・・・・・６ 3 次のバターワース特性・・・・・・・・・・・・・・・８ 4 次のバターワース特性・・・・・・・・・・・・・・・９ 5 次のバターワース特性・・・・・・・・・・・・・・・10 第3章 Q の定義・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・13 第4章 ４−１ −1 −2 −3 −4 −5 回路の設計 アクティブ・フィルタの設計・・・・・・・・・・・・・16 RC フィルタの設計・・・・・・・・・・・・・・・・・16 2 次のローパスフィルタの設計・・・・・・・・・・・・16 3 次のローパスフィルタの設計・・・・・・・・・・・・20 4 次のローパスフィルタの設計・・・・・・・・・・・・27 5 次のローパスフィルタの設計・・・・・・・・・・・・32 第5章 ５−１ −1 −2 ５−２ 回路の作成と評価 ローパスフィルタのプリントパターンの作成・・・・・・39 1 次、2 次のローパスフィルタのプリントパターンの作成 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・39 3 次のローパスフィルタのプリントパターンの作成・・・41 回路の実測・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・46 第6章 結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・48 第7章 総括・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・49 参考文献・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・50 謝辞・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・51 第１章 序論 現代社会では電気製品無しでは生活できないくらいに電気製品は浸透してい る。しかし、日常生活を普通に送っている限りそれら電気製品の中がどうなっ ているかなど気にもとめることなどない。 今回は工学部の学生として電気製品を構成している回路というものに注目し、 回路というのはどういうものかということで、基本的な小規模回路としてアク ティブフィルターを選択した。 アクティブフィルターとして安価で作れるＲＣ回路を選び、理解しやすいバ ターワース特性を学ぶこととした。回路シミュレーションはＭｉｃｒｏＣａｐ ５／ＣＱ、回路エディタはＰＣＢＥを使用した。 ＭｉｃｒｏＣａｐ５とはＳｐｅｃｔｒｕｍＳｏｆｔｗａｒｅ社の回路シミュ レーターでＳＰＩＣＥとの上位互換性のあるソフトである。これはＷｉｎｄｏ ｗｓ上で回路図の作成から解析までの一連の操作が行えるようにしたもので回 路の設計、動作チェック、回路定数の変化による回路への影響、温度変化によ る回路特性への影響という実際に設計した回路がどのように動くかが回路を作 る前に確認ができる、というメリットがある。 ＰＣＢＥは高戸谷 隆氏が作られた実際のプリント基板を作るための回路エ ディタである。プリンタで印刷して版下を作成できる、ガーバーファイル、ホ ールファイルを出力できる、主な操作コマンドは、ツールバーに配置してある。 という機能を持ちあわせている。 これらを使い、回路を設計し、シミュレーションをして作成、そしてシミュ レーションと実測値の違いなどを検証した。 1 第２章 フィルターについて ２−１ アクティブ･フィルタ 低周波では形状が大きくて単価の高いコイルを使わず、抵抗とキャパシタと 増幅回路網で構成されているフィルタをアクティブ･フィルタと呼ばれている。 増幅回路にはＯＰアンプを使うことが一般的なので今回の研究でもＯＰアンプ と使用した。増幅回路を使用せずにＣＲ回路のみで構成された回路はパッシ ブ・フィルタと呼ばれている。今回のように周波数が低い場合はアクティブ･フ ィルタが効果的だが周波数があがってくるとＯＰアンプの周波数特性の関係で 設計どおりに動作しなくなるので高い周波数の場合はＲＣフィルタまたはＬＣ フィルタで設計しなくてはならない。 ＲＣフィルタの中にＯＰアンプを使うことにより、フィルタ各段の出力イン ピーダンスを遮断周波数ｆｃに関係なく低インピーダンスにすることができる ので、形状が小さくなるだけでなくフィルタ各段の遮断周波数とＱを決定する ためのＣＲ定数を、前後の段から独立して設計することができる。これがアク ティブ・フィルタの特徴である。 今回は前述のＱを使用してＣとＲを求める方法と、伝達特性と接点方程式を 用いてＣとＲを求める方法の二通りで回路を設計した。 2 ２−２ 規格化低域通過フィルタの伝達関数 伝達関数と接点周波数から回路定数を求める方法でフィルタを設計する場合、 まず希望するフィルタの設計仕様を満足する伝達関数を求めなければならない。 理想低域通過フィルタ（ideal low pass filter）は、図１に示すように規格化 遮断周波数が１で、通過域での振幅特性が１（０dB）で、かつ阻止域で０倍（− ∞dB）のフィルタである。しかし現実的にはここまでの理想的なフィルタを構 成することができないことが知られている。このために、理想低域通過フィル タにできるだけ近づけるように回路を設計している。この近似させる方法はい ろいろあるが、ここではバターワース特性について述べる。 図１ 1.0 減衰率 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.01 0.1 1 10 通過域 阻止域 バターワース特性（Butterworth）の周波数特性は、関数 x n が n の大きいとき x < 1 ではほぼ０、 x > 1 では∞に近くなるという性質を利用している。具体的に は実現性を考慮して、 1 | H ( jω) |= 1 + ω 2n −① の特性を持つ。ただし、 n はフィルタの次数(order)であり、ωは規格化周波数 (normalized frequency)である。周波数がω＝０の付近では十分に平坦な特性を 持 ち 、 ω > 1 で は ほ と ん ど ０ と な る 。 周 波 数 が ω = 1 の 遮 断 周 波 数 (cuttoff frequency)の点で、１／ 2 （−３dB）の減衰がある。周波数の範囲が 0 ≤ ω ≤ 1 の範囲を通過帯域(passband), 1 < ωを減衰帯域(stopband)という。遮断周波数よ り高い周波数の領域では、フィルタの次数をn とすると、約 − 20 × n[dB dec ] の 傾きで減衰する。 3 図2 図２にフィルタの次数の違いによる周波数特性を示す。フィルタの次数が多 くなるに従い、減衰が大きくなるのがわかる。フィルタの次数はフィルタの設 計仕様により決定しなければならないのが普通であるが今回は次数の違いによ りどのような特性の差が出るかの研究なので１次から５次までの回路を設計し て違いを見ることにした。バターワース特性の伝達関数は①の式を２乗して 1 = G( s ) 1 + ω2 n とする特性関数 G(s ) を考える。 s = j ω であるから上式より、 H ( jω) = 2 G( s ) = 1 s 1 + j 2n を得る。 この式の分母を０とする代数方程式の解は s j 2n = −1 = e − jπ を解くことで得られる。 (s j ) は絶対値１の複素円上にあるはずであるからこ れを e j α とすると 2 nα = 2πk − π となる。ただし k = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅,2 n である。したがって根は s k = je j 2 k −1 π sn となる。 根 sk は複素平面上の単位円の円周上を π / 2n の角度で等間隔に配置される。n が 奇数の場合は実軸上に−１の根を持つ。 正極側をとると伝達関数 H (s ) は不安定となるので右半円の解を捨て、左半円上 の点を極として計算する。 4 なぜ負極側をとるのかは、 1 ω 1 + ω c ’ 2n この式を解くことを考える。 の中をいったん複素数に拡張して、絶対値が等しい２つの関数の積 ω 1 + ω 2n = f ( s) g ( s) となるようにする。 ただし｜ f (s ) ｜＝｜ g (s ) ｜である。 この時、バターワース関数 1 ω 1 + ω c ただし s = j 2 n は 1 1 または f (s) g (s) ω で与えられる。 ωc 2n ω ω s= j とおいて 1 + ＝ 1 + ω ωc c 2n s は 2 n 個の解 s1 , s 2 ,...........s2 n を用いて j 2n ω 1 + ＝ (s − s1 ) (s − s2 ) ･…… s − s 2 n と積の形にかける。 ω c ( ) f ( s ) ⋅ g ( s ) ⋅ k ( s ) ＝ f ( s ) ⋅ g ( s ) ⋅ k ( s ) がいえるので絶対値の等しいものどおし を２つに分類する。 例えば、 ( s − s1 ) と ( s − s 2 ) を用いて s1 = a + bj 、 s 2 = c + dj 、 s = j ω とすると 5 s − s1 = a 2 + (ω − b ) 2 s − s 2 = c 2 + (ω − d )2 つまり b = d a = ±c ということになる 以上のことを踏まえて絶対値の等しいもの同士を２つに分類すると (s − s )(s − s ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(s − s ) 1 2 n −1 3 (s − s )(s − s ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(s − s ) 2 4 2n となるので 1 ω 1 + ω c ＝ 2 n 1 (s − s )(s − s ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(s − s ) 1 2 n −1 3 または 1 ω 1 + ωc ＝ 2 n 1 (s − s )(s − s ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(s − s ) 2 4 2n となる。 ここで、計算上は正極側、負極側どちらでもよいのだが、現実で回路を作る場 合、正極側をとると負のコンデンサを使うこととなり、正のコンデンサで作る と帰還の位相が入力位相と同位相になり、発振してしまい実現不可能なので負 極側をとる。 ２−２−１ ２次のバターワース特性 フィルタの次数が n = 2 の場合、特性関数は G( s ) = 1 であるから、その極は 1+ s4 s 4 = −1 = e jπ なので 6 s=e 1 k j π+j π 4 2 となる。 = e jα と考えると ここで s 1 k α = π + π になり 4 2 k = 0→ α= 1 3 π k = 1 → α = π 4 4 5 7 k = 2 → α = π k = 3 → α = π 4 4 以上から負極側を選択すると 1 +j 2 1 s2 = − −j 2 1 2 1 2 s1 = − の二つの極が得られる。 2 次の 2 つの極 これより伝達関数 H (s ) は H (s ) = 1 (s − s )(s − s ) 1 = = 2 1 s − s s1 + s 2 + s1 s 2 2 ( ) 1 s + 2s + 1 2 7 ２−２−２ ３次のバターワース特性 ３次の場合は n = 3 なので G( s ) = 1 であるから、その極は 1+ s6 s 6 = 1 = e j 0 なので s=e k j π 3 ここで s α= となる。 = e jα と考えると k π になり 3 1 k = 0 → α = 0 k = 1 → α = π 3 2 3 k = 2 → α = π k = 3 → α = π 3 3 4 5 k = 4 → α = π k = 5 → α = π 3 3 以上から負極側を選択すると s1 = − 1 3 +j 2 2 s 2 = −1 1 3 −j 2 2 の３つの極が得られる。（次項参照） s3 = − 8 3 次の 3 つの極 これより伝達関数 H (s ) は H (s ) = = = 1 s − s1 s − s 2 s − s 3 ( )( )( ) 1 s − s s1 + s2 + s 3 + s s1 s 2 + s 2 s 3 + s 3 s1 + s1 s2 s3 3 2 ( ) ( ) 1 s + 2s + 2 s + 1 3 2 ２−２−３ ４次のバターワース特性 ２次、３次と同様にして G( s ) = 1 であるから、 1 + s8 1 k α = − π + π になり 8 4 k = 0→ α= − π 1 k = 1 → α = π 8 8 3 5 k = 2 → α = π k = 3 → α = π 8 8 7 9 k = 4 → α = π k = 5 → α = π 8 8 11 13 π k = 7 → α = π 8 8 以上から負極側を選択すると k = 6→ α= 9 s1 = −0.383 + 0.924 j s 2 = −0.383 − 0.924 j s3 = −0.924 + 0.383 j s 4 = −0.924 − 0.383 j の４つの極が得られる。 4 次の 4 つの極 これより伝達関数 H (s ) は H (s ) = 1 (s − s )(s − s )(s − s )(s − s ) 1 2 3 4 = 1 1 ⋅ 2 s − s s1 + s 2 + s1 s 2 s − s s 3 + s 4 + s 3 s 4 = 1 1 ⋅ 2 s + 0.766s + 1 s + 1.848s + 1 2 ( ) ( ) 2 ２−２−４ ５次のバターワース特性 ３次の場合も同様に G( s ) = α= 1 であるから 1 + s 10 k π になり 5 10 k = 0→ α= − π 0 k = 1 → α = π 5 5 1 2 k = 2 → α = π k = 3 → α = π 5 5 3 4 k = 4 → α = π k = 5 → α = π 5 5 5 6 k = 6 → α = π k = 7 → α = π 5 5 7 8 k = 8 → α = π k = 9 → α = π 5 5 以上から負極側を選択すると s1 = −0.309015 + 0 .951057 j s 2 = −0.309015 − 0.951057 j s3 = −1 s 4 = −0.809015 + 0.587788 j s5 = −0.809015 − 0.587788 j 以上より５つの極が得られる。 5 次の 5 つの極 これより伝達関数 H (s ) は 11 H (s ) = 1 s − s1 s − s 2 s − s 3 s − s 4 s − s5 ( )( )( )( )( ) = 1 1 ⋅ 2 s − s s1 + s 2 + s 3 + s s1 s 2 + s 2 s 3 + s 3 s1 + s1 s 2 s 3 s + s s4 + s 5 + s 4 s 5 = 1 s + 1.61803s + 1.61803s + 1 s + 1.61803s + 1 3 2 ( ) ( 1 3 2 ) ⋅ 2 となる。 12 ( ) 第３章 Q の定義 第２章で述べた伝達関数 H ( s) = 1 s 1 + j 2n より求めた複素平面上の極 sk で実軸を対称にした極の和の 逆数が Q である。 伝達関数は 次数が偶数のフィルタの場合、２次の伝達関数の積。 1 1 1 H ( s) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ( s − s1 )( s − s 2 ) ( s − s 3 )( s − s 4 ) ( s − s n −1 )( s − s n ) 次数が奇数のフィルタの場合は１次の RC フィルタと２次の伝達関数の積で 考え、１次の RC フィルタの部分は s k = −1 ということになる。 H ( s) = 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ s + 1 ( s − s1 )( s − s 2 ) ( s − s 3 )( s − s 4 ) ( s − s n − 2 )( s − s n −1 ) 以上の伝達関数の２次部分を一般的に表したものを 1 1 = 2 ( s − sn −1 )( s − s n ) s − ( s n −1 + sn ) s + 1 とすると Q＝ − 1 s n −1 + s n が Q の定義になる。 ２章の伝達関数より２次と３次の Q を求めてみる。 n = 2 の場合 s1 + s 2 = − 2 ゆえに 1 Q= 2 13 n = 3 の場合 s1 + s 3 = −1 ゆえに Q=1 以下同様に求めるわけだがテキストにバターワース特性の正規化テーブルが載 っていたので今回はそちらを使用した。 計測のためのフィルタ回路設計より抜粋。 f c Q n 2次 f1 1.0 Q1 0.707107 3次 f1 1.0 Q1 0.5 f2 1.0 Q2 1 f1 1.0 Q1 0.541196 f2 1.0 Q2 1.306563 f1 1.0 Q1 0.5 f2 1.0 Q2 0.618034 f3 1.0 Q3 1.618034 f1 1.0 Q1 0.517638 f2 1.0 Q2 0.707107 f3 1.0 Q3 1.931852 f1 1.0 Q1 0.5 f2 1.0 Q2 0.554958 f3 1.0 Q3 0.801938 f4 1.0 Q4 2.246980 f1 1.0 Q1 0.509796 f2 1.0 Q2 0.601345 f3 1.0 Q3 0.899976 f4 1.0 Q4 2.562915 4次 5次 6次 7次 8次 この表で１次のところが Q=0.5 となっているが、伝達関数 H (s ) は入出力の電圧 14 比でもあるので H ( s) = 1 sC R+ 1 sC = 1 sCR + 1 となり j が残ってしまう。 1 次のときは形式上 Q と書いてあるが普通の RC フィルタで考える。 15 第４章 回路の設計 ４−１ アクティブ・フィルタの設計 伝達関数を用いる方法と Q を用いる方法の２つの方法で、２次、３次、４次、 ５次のアクティブ･フィルタを設計し、両方を比較する。 また、１次の RC フィルタも次数の変わるとどのように変わっていくかの比較 のためにアクティブ･フィルタではないが設計する。 ４−１−１ RC フィルタの設計 f c = 1kHz, R = 10 kΩ として C= 1 より 2πf c R C = 16nF ４−１−２ ２次のローパスフィルタ設計 ２次のバターワース回路より − V 12 1 1 + + + jωC 1 V 11 − − j ωC 1 V out = 0 R 1 R 1 R 2 R 2 V in − 1 + + j ωC 2 V12 = 0 R2 R 2 V11 V12 − Vout = 0 という方程式ができるが、実際に回路を作るときには２つの抵抗値を同じに するので、 16 R = R1 = R2 として V 2 + + j ωC1 V11 − 12 − jωC1Vout = 0 −① R R R V 1 − 11 + + jωC 2 V12 = 0 −② R R − Vin V12 − Vout = 0 −③ ③より V12 = Vout −③’ ②，③’より V11 = (1 + jωC 2 R )Vout −②’ ①、②’③’より V V 2 − in + + j ωC1 1 + jωC 2 R Vout − out − jωC1 RV out = 0 R R R ( ( )( ) ) Vin = 2 + jωC1 R 1 + j ωC2 R Vout − Vout − jωC1 RVout ( ) = 2 + jωC 2 R + jωC1 R − ω2 C1C 2 R 2 Vout Vout Vin = 1 1 + 2 j ωC2 R − ω2 C1 C 2 R 2 1 C1 C 2 R 2 = 2 1 − ω2 + j ω − C1 R C1C 2 R 2 = H ( j ω) これを先ほど求めた伝達関数と比較する。 1 H ( s) = 2 s + 2s + 1 ω ここで s = j とおくと ωc 17 ωc2 ω H(j ) = となり ωc − ω2 + 2 jωωc + ωc2 2 = 2ωc C1 R 1 = ωc2 2 C1C 2 R ゆえに 2 2ωc R 2 C2 = 2ωc R C1 = 以上のことから C1 : C 2 = 2 : 1 であることがわかる。 ここで f c = 1kHz, R = 10 kΩ とすると ωc = 2πf c より C1 = 2 = 2 ⋅ 2πf c R 1 2π1 × 10 3 ⋅1 × 10 4 ≈ 2.25 × 10 −8 = 22.5nF C1 : C 2 = 2 : 1 より C2 = 11.25nF 次に Q を使う方法での回路を設計する。 f c = 1kHz, R = R1 = R2 = 10kΩ として 正規化表より Q=0.707107 なので 1 Cf = = 15.9nF 2πf c R 18 C1 = ２Q C f = 22.5nF C2 = C1 = 11.25nF 2 となり、 H (s ) から求めた値と同じになる。 これを MicroCap5 で回路を作ると以下のようになる。 上図で out1 が 1 次の RC フィルタで out2 が 2 次のアクティブ･フィルタの出力 である。またバッファとしてオペアンプを用いた。 この out1 と out2 で遮断周波数とその 10 倍の周波数での利得をシミュレーショ ンしたのが下図である。（次項参照） 19 青いラインが 1 次の RC フィルタ、緑のラインが 2 次のバターワースフィルタ である。下の Left 部分、上段の青字で−3.000 の下に 0.976K と書いてあるのが out1 の遮断周波数で下段の−20.000 の下に 9.958K と書いてあるのが−20dB での周波数である。理論上は 1 次の RC フィルタは遮断周波数 1kHz、−20dB/dec なのでほぼ満たしているといえる。同じように Right 部分、上段の緑字で−3.000 の下に 0.965K と書いてあるのが out2 の遮断周波数で下段の緑字で−40.000 の 下に 10.000K と書いてあるのが−40dB での周波数である。これも理論上は遮 断周波数 1kHz、−40dB/dec なのでほぼ満たしているといえる。 ４−１−３ ３次のローパスフィルタ設計 ３次のバターワース回路より 節点方程式は − 1 V 1 + + + jωC1 V11 − 12 = 0 R1 R1 R2 R2 Vin 20 − 1 V 1 + + + jωC 2 V12 − 13 − jωC 2Vout = 0 R2 R2 R3 R3 V11 − 1 + + jωC3 V13 = 0 R3 R3 V12 V13 − Vout = 0 という方程式ができるが、実際に回路を作るときには３つの抵抗値を同じに するので、 R = R1 = R2 = R3 として V 2 + + j ωC1 V11 − 12 = 0 R R R V V 2 − 11 + + jωC 2 V12 − 13 − j ωC2 Vout = 0 R R R V 1 − 12 + + j ωC3 V13 = 0 R R − Vin V13 − Vout = 0 となる。 ④より V13 = Vout −④’ ③，④’より V12 = 1 + j ωC3 Vout R ( ( ) ) V13 = 1 + j ωC3 R Vout −③’ ①、③’より V 2 − in + + j ωC1 V11 − 1 + j ωC3 R Vout = 0 R R V 1 2 + jωC1 V11 = in + 1 + jωC3 R Vout R R R ( ) ( ) 21 −① −② −③ −④ 1 V11 = 2 R + j ωC1 R ①’、②より − ( Vin + 1 + jωC 3 R 2 R + j ωC1 R ) Vout −①’ V 1 Vin + 2 + j ωC3 R Vout 2 + jωC 2 R 1 + jωC3 R Vout − out − j ωC2Vout = 0 ⋅ + R 2 + j ωC1 R R R ( ( ( ) ) 1 + j ωC3 R 1 + j ωC2 R 2 + jωC2 R 1 + j ωC3 R − = + Vout = 0 2 + j ωC1 R R 2 + jωC1 R R R ( Vin Vout Vin ) ( ) ) − 1 − j ωC3 R + ( 4 + 2 jωC1 R + 2 j ωC2 R − ω2 C1 C2 R 2 )(1 + j ωC3 R ) = 2 2 − 2 + 2 jωC 2 R + jωC1 R − ω C1 C2 R − 1 − j ωC3 R + 4 + 2 j ωC1 R + 2 jωC 2 R − ω2 C1 C2 R 2 + 4 j ωC3 R − 2ω2 C1 C2 R 2 = 2 2 3 3 2 2 − 2ω C1 C2 R − j ω C1 C 2 C3 R − 2 − 2 jωC 2 R − j ωC1 R + ω C1 C2 R ( ) ( ) = 1 + jω 3C3 R + C1 R − 2ω2 C1 C3 R 2 + C 2 C3 R 2 − jω3 C1 C 2 C3 R 3 Vin Vout = 1 1 + jω 3C3 R + C1 R − 2ω C1 C3 R 2 + C2 C3 R 2 − j ω3 C1 C2 C3 R 3 ( ) 2 ( ) ここで分子分母を C1 C2 C3 R 3 で割ると Vin Vout = 1 C1 C2 C3 R 3 1 1 3 1 − jω3 − ω2 ⋅ 2 + + jω + 2 C R C R C C R C2 C3 R 2 1 2 1 3 これを伝達関数 H (s ) と比較する。 ２章で求めた H ( s) = これを s = j 1 s 2s + 2 s + 1 3+ 2 ω とおくと ωc ωc2 ω H(j ) = となるので ωc − j ω3 − 2ωcω2 + 2ωc2 ω + ωc3 22 1 + C C C R3 1 2 3 1 1 + = 2ωc 2 C2 R C1 R 3R 1 + = 2ωc2 2 2 C C R C C R 1 2 2 3 1 3 C C C R 3 = ωc 1 2 3 ここでコンデンサ C1 , C 2 , C3 を X= 1 1 1 ,Y = ,Z = , ω R = 1 とすると C1 C2 C3 c 1 = XYZ 2 = Y (3 X + Z ) 2 = 2( X + Y ) −① −② −③ 以上のことから ③より X + Y = 1 −③’ Y = −X +1 ②、③’より 2 = ( − X + 1)( 3 X + Z ) 2 = −3 X 2 − XZ + 3 X + Z 3 X 2 − 3 X + 2 = Z (1 − X ) 3X 2 − 3X + 2 Z= 1− X ①、②’より −② 3X 2 − 3X + 2 1− X 3X 3 − 3X + 2 − 1 = 0 1 = X (1 − X ) これをＭａｔｈｍａｔｉｃａを使って解くと X = 0.718057,0.148971 ± 0.66659i であるが 必要なのは実数解なので X = 0.718057 このＸを使いＹとＺを解くと Y = 0.281943 Z = 4.93946 ωR を元に戻して C1 , C 2 , C3 の値が決まる。 23 ここで f c = 1kHz, R = 10 kΩ とすると C1 = 1 1 = = 0.2242386 × 10 −7 Xωc R 0.718057 × 2πf c R = 22.4nF 1 1 C2 = = = 0.56477 × 10 − 7 Yωc R 0.281943 × 2πf c R = 56.5nF 1 1 C3 = = = 0.032237 ×10 −7 Zωc R 4.93946 × 2πf c R = 3.2nF 設計した回路図は以下の図である。 この回路のシミュレーション図は以下の図である。（次項参照） 24 遮断周波数が９４２Hz と予定とは違ってしまっているが、１０ｋHz でほぼ −60dB と−20×ｎdB/dec とこちらの方は予定通りに動いた。 次に Q を使う方法での回路を設計する。 f c = 1kHz, R = R1 = R2 = R3 = 10kΩ として 正規化表より Q 1 =0.５、Ｑ 2 ２＝１より 1 次の部分は普通のＲＣフィルタなので 1 C1 = = 15.9nF 2πf c R 2 次の部分は 1 Cf = = 15.9nF 2πf c R C2 = ２Q 2 C f = 31.8nF C1 = 7.95nF 2 設計した回路図としては以下のようにした。（次項参照） C3 = 25 この回路のシミュレーション結果は以下のようになった。 こちらも遮断周波数が 944Hz と予定より少し低いが、10kHz では−59.982dB とほぼ−60dB を満たしている。 今回は H (s ) から求めた値と異なっている。 その理由としては以下のような回路があったとすると ＲＣ部分は 1 次のフィルタ、この出力側に回路 RL があったとすると 26 回路 RL 1 1 // RL j ωC + jωC RL この回路の伝達関数は = なので 1 1 R +( // RL ) R + ( j ωC + ) jωC RL 1 jωC RL RL が非常に大きければ = となり 1 R + j ω C R + ( j ωC + ) RL j ωC + RC 回路に影響はほとんどないが、RL が小さいと Va の電圧が変わって RC 回 路の特性が変わってしまう。Q を使って設計するほうはバッファを挟むので後 ろの回路のことは考えなくてよいが H(s)から求める方法では後ろの回路のこと も考慮しているのでコンデンサの値が変わってくる。 ４−１−４ ４次のローパスフィルタ設計 4 次のフィルタは２次のフィルタを 2 段に直列接続すればよいので節点方程 式は４−１−２の式をそのまま使う。 まず、1 段目の C の値を決める。 2 次のフィルタの電圧比は 1 C1C 2 R 2 H ( j ω) = 2 1 − ω2 + jω − C1 R C1 C2 R 2 これを先ほど求めた伝達関数と比較する。 1 s + 0.766s + 1 ω ここで s = j とおくと ωc H ( s) = 2 ωc2 ω H(j ) = となり ωc − ω2 + 0.766 jωωc + ωc2 27 2 = 0.766ωc C1 R 1 = ωc2 C1C 2 R 2 ゆえに 2 0.766ω c R になる。 0.766 C2 = 2ω c R C1 = ここで f c = 1kHz, R = 10 kΩ とすると ωc = 2πf c より C1 = 2 1 = 0.766 ⋅ 2πf c R 0.766 × π ×10 7 ≈ 0.416 × 10 −7 = 41.6nF C2 = 0.766 より 2ωc R C2 = 0.766 0.766 = 2πf c R 4 × π × 10 7 ≈ 0.0609 × 10 −7 = 6.1nF 続いて 2 段目の回路を設計する。 ωc2 ω H(j ) = なので ωc − ω2 + 1.848 jωωc + ωc2 2 = 1.848ωc C3 R 1 = ωc2 2 C 3 C4 R ゆえに 28 2 1.848ω c R になる。 1.848 C4 = 2ω c R C3 = ここで f c = 1kHz, R = 10 kΩ とすると ωc = 2πf c より 2 1 = 1.848 ⋅ 2πf c R 1.848 × π × 10 7 C3 = ≈ 1.72 × 10 −8 = 17.2nF C4 = 1.848 より 2ωc R C4 = 1.848 1.848 = 2πf c R 4 × π × 10 7 ≈ 1.47 × 10 −8 = 14.7nF 次に Q を使う方法での回路を設計する。 f c = 1kHz, R = R1 = R 2 = R3 = R4 = 10kΩ として 正規化表より Q 1 =0.541196、Q 2 ＝1.306563 なので Cf = 1 = 15.9nF 2πf c R C1 = ２Q 1 C f = 2 × 0.541196 × 15.9 × 10 −9 = 1.72 × 10 −8 = 17.2nF 15.9 ×10−9 C2 = = = 1.47 ×10 −8 2Q1 2 × 0541196 Cf C2 = 14.7nF 29 C3 = ２Q 2 C f = 2 ×1.306563 ×15.9 × 10 −9 = 4.16 × 10 −8 = 41.6nF C4 = Cf 2Q2 = 15.9 × 10 −9 = 6.08 × 10 −9 2 × 1.306563 = 6.1nF となり、どちらのやり方でも 1 段目と 2 段目の C の数値が逆になったが値的に は同じになった。 これを MicorCap5 で回路を作ると以下のようになる。 この図では Q を使った式の順番でＣが並んでいるが入れ替えても同じなのでシ ミュレーションもこの回路一つで行った。シミュレーション結果は下図である。 (次項参照) 30 図を見ると遮断周波数が 928Hz、‐80dB/dec であることがわかる。4 次のバタ ーワース特性は顕著に出ているが遮断周波数の誤差が‐7％になってしまって いる。ただこれはグラフの表示範囲を−50dB くらいにすると遮断周波数が 985Hz に変化するのでソフト的な問題と思われる。（下図参照） 31 ４−１−４ 5 次のバターワースフィルタの設計 5 次のフィルタも 3 次と 2 次に分けて考えられるので先に 3 次の方を考えてみ ると、前章で求めた 1 s 1.61803s + 1.61803s + 1 ω これを s = j とおくと ωc H ( s) = 3+ 2 ωc2 ω H(j )= となるので ωc − jω3 − 1.61803ωc ω2 1.61832ωc2 ω + ωc3 1 1 + = 1.61803ωc 2 C 2 R C1 R 3R 1 + = 1.61803ωc2 2 2 C 2 C3 R C1C 2 R 1 3 C C C R 3 = ωc 1 2 3 3 次のときと同様にして解くと X = 0.718057 Y = 0.281943 Z = 4.93946 f c = 1kHz, R = 10 kΩ とすると C1 = 1 1 = = 0.224 × 10 −7 Xωc R 0.710347 × 2πf c R = 22.4nF 1 1 C2 = = = 1.613 ×10 −7 Yωc R 0.0986685 × 2πf c R = 161nF 1 1 C3 = = = 0.011× 10 − 7 Zωc R 14.2676 × 2πf c R = 1.1nF 32 次は残りの 2 次の部分を設計する。 1 s + 1.61803s + 1 ω ここで s = j とおくと ωc H ( s) = 2 ωc2 ω H(j ) = となり ωc − ω2 + 1.61803 j ωωc + ωc2 2 = 1.61803ωc C4R 1 = ωc2 C 4C 5 R 2 ゆえに 2 1.61803ω c R になる。 1. 61803 C5 = 2ω c R C4 = ここで f c = 1kHz, R = 10 kΩ とすると C4 = 2 1 = = 0.257 ×10 7 7 1.61803 ⋅ 2πf c R 1.61803 × π × 10 = 25.7 nF C5 = 1.61803 より 2ωc R C5 = 1.61803 1.61803 = = 0.098 × 10 − 7 7 2πf c R 4 × π × 10 = 9.8nF 設計した回路図は以下の図である。（次項参照） 33 シミュレーション結果は 遮断周波数 1.015kHz、‐99.804dB/dec と理想に限りなく近いシミュレーショ ン結果になった。 次に Q を使った 5 次のバターワースフィルタの設計は Q 1 = 0.5 、Q 2 = 0.681034 、Q 3 = 1 .618034 R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R, f c = 1kHz として 34 1 段目は 1 次のパッシブ･フィルタなので C1 = 1 1 = 2πf c R 2 × π × 107 = 15.9nF 2 段目は 1 1 Cf = = = 1.59 × 10 −8 2πf c R 2 × π ×10 7 C2 = 2 Q 2 C f = 0.197 ×10 − 7 = 19.7nF C3 = Cf 2Q2 = 0.129 × 10 − 7 = 12.9nF 3 段目は C4 = 2 Q 3 C f = 0.515 × 10 −7 = 51.5nF C5 = Cf 2Q3 = 0.0492 × 10 − 7 = 4.9nF これをもとに以下のような回路図を作成した。（次項参照） 35 この回路をシミュレーションした結果が以下の図である。 図を見ると遮断周波数が 916kHz と目的の 1kHz からの誤差が−8％以上とだ いぶ開きがあるが−100dB/dec とこちらの方はほぼ理想どおりの結果が得られ た。しかし、4 次のフィルタのとき同様に Y 軸の範囲を変えてみると遮断周波 数が違う結果になった。シミュレーションの結果を以下に示す。（次項参照） 36 10kHz では同様の−100dB であるが遮断周波数が 983kHz と 1kHz にかなり 近く−2％程度の誤差で充分と言える結果が出た。 ４−２−１ OP アンプの特性 1 次から 5 次までの回路をシミュレーションしたが 1 次のパッシブ・フィルタ 以外はどれも 100kHz 付近でディップが発生している。これはパッシブ･フィル タでは発生していないことから OP アンプが原因であると考えられる。今回の 研究では安価であることと入手しやすいという理由からナショナルセミコンダ クタ社の LF353 という OP アンプを使用した。この LF353 がほかの素子を繋 がず、単体で今回のような正帰還に接続するとどのような動作をするか調べて みた。 37 これをシミュレーションしてみたところ以下のような結果が得られた。 やはり 100kHz 付近で特性が変化してしまっている。これが原因であると思 われる。ただ LF353 の仕様書では利得帯域幅が 4MHz と書いてあるで、40kHz までのローパスフィルタは動作的に保証されているといえるので今回は 1kHz が遮断周波数として設定しているので動作上問題はないといえる。 38 第 5 章 回路の作成と評価 ５−１ ローパスフィルタプリントパターンの作成 回路の作成としてシミュレーションでは 5 次の回路までしたが作成するにあ たり、4 次以上は 2 次と 3 次の回路の結合なので 3 次までの回路を作成できれ ば、次数に関係なく回路を作成できると考え、1 次、２次、3 次のローパスフィ ルタを作ることにした。 作り方の流れとしては、 ①MicroCap5 を使って作った回路を元に PCBE で基板のプリント配線のパタ ーンをつくる。 ②それをプリンタでマスク用のフィルムにパターンを打ち出す。 ③そのパターンを感光基板に焼き付ける。 ④現像、エッチング。 ⑤パターンにあわせて基板に素子を乗っけていく。 と、いう流れで作る。 ５−１−１ １次、２次のローパスフィルタのプリントパターン作成 ４章で設計した回路を作ろうとしたところ、このままではコンデンサの値を 実現するのに適当な容量のコンデンサがないので、コンデンサを中心に回路を 作り直すことにした。コンデンサは E22 系列を使用した。 1 １次のフィルタではコンデンサと抵抗の値を決める式としては C = と 2πf c R 用いていたのでコンデンサを中心に C = 10nF としたら R = 15.9kΩ になるので、 もっとも近い値で C = 10nF , R = 16kΩ を使って作ることにした。 また、2 次のフィルタでは C1 = 22nF , C2 = 11nF とし、抵抗は 10k のままで作 ることとした。製作に取り掛かる前に MicroCap5 を使って動作シミュレーショ ンを行った。（次項参照） 39 1 次のフィルタが遮断周波数 976Hz、ほぼ−20dB/dec、2 次のフィルタが遮 断周波数 1009Hz、ほぼ−40dB/dec なのでシミュレーション上は問題がないの がわかった。 40 ５−１−２ 3 次のローパスフィルタのプリントパターンの作成 同様にして 3 次のフィルタもコンデンサをもとに抵抗の値を決める。 並列に繋げばかなり細かい値まで実現できるがなるべく少ないコンデンサで 近い値になるようにコンデンサの値を決めた。Q を使わないで設計したほうは、 C1 = 22.4nf , C 2 = 56.5nF , C3 = 3.2nF なので C2 は 47 nF と 10nF 、C3 は 2.2 nF と 1nF を並列に繋ぐことにした。 R は 10kΩ のままにする。 動作的には遮断周波数 948kHz と理想値より−5％程度、−60dB/dec もほぼ 満たしている。 次に Q から求めたほうだが、 C2 : C3 = 31.8 : 7.95 = 4 : 1 なので C1 ,C 2 を 22 nF 、 41 C3 は 1nF ,2.2nF , 2.2nF を使い 5.4nF とした。 シミュレーション結果は 遮断周波数 985kHz、ほぼ−60dB/dec とかなり理想値に近い値になった。 42 これが PCBE を使って作成したプリントパターン図である。 感光するときに失敗することもあるのでこれらをいくつか複写してフィルムに 印刷した。 出来上がったフィルム 次に現像する。 43 現像 エッチング 44 これらの作業で残ったプリントパターン上の感光剤をヤスリで削ると以下のよ うになる。 こうしてできたプリント配線が途中で断線していないかをテスターでひとつひ とつ調べて断線していないものを切り取りその上に回路図どおりに素子を乗っ けていく。 1 次と 2 次のローパスフィルタ 45 3 次のローパスフィルタ 回路パターンを書くとき、コンデンサや抵抗を並列や直列に繋ぐことを考えて いなかったので多少無理のある形になってしまった。 ５−２ 回路の実測 以下の器材を用いて作成した回路の実測をした。 ①KENWOOD 社製 FUNCTION GENERATOR (交流電圧源用) ②同社製 DISTORTION METER (利得測定用) ③同社製 REGULATED DC POWER SUPPLY ×2(ＯＰア ンプ直流電源用) 測定をするための初期値は 1 次から 3 次まですべて同じ条件で行った。 入力電圧１ｖ、OP アンプ直流電圧＋１５ｖ、−１５ｖ 150Hz 付近で出力が入力電圧と同じである。 これらを確認した上で以下の観測をした。 1 2 3 3 −3 d B 992Hz 920Hz 977Hz 965Hz −2 0 d B 10.07kHz 3.90kHz 2.28kHz 2.29kHz −4 0 d B 97.6kHz 9.66kHz 4.87kHz 4.93kHz 10kHz 次 −20dB 次 −40dB 11.36kHz 次① −58dB 11.42kHz 次② −58dB シミュレーションでは 100kHz 付近でディップが発生していたが実測では発 生しなかった。また、OP アンプも−3dB になるのは 1.4MHz と 200kHz ほ 46 −6 0 d B ど理論値よりも低かった。 実測した結果をグラフとして表すと dB 実測値 10 ゲイン 0 1次 -10 -20 -30 2次 2次 1次 3次 3次Ｑ使用 -40 3次 3次Ｑ使用 -50 -60 150 104 1000 周波数(Hz) 実測では目盛り読み取り誤差などがあるせいか、曲線が多少波打ったりして いるが全体的にはだいたいシミュレーションどおりの結果になった。 47 6章 結果 シミュレーションと実測値の差 遮断周波数 (-3dB) /dec 1 次 -20dB/dec 976Hz 992Hz 9.958kHz 10.07kHz 2 次 -40dB/dec 965Hz 924Hz 10.228kHz 9.66kHz 3 次 -60dB/dec 948Hz 990Hz 10.009kHz 11.36kHz 3 次 Q 使用 -60dB/dec 985Hz 960Hz 10.176kHz 11.42kHz ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ 実測 ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ 実測 比較してみると抵抗やコンデンサの値は同じなのだがやはりｼﾐｭﾚｰｼｮﾝと実測 値では違いが出るようだ。しかし、3 次の 60dB 下がるところ以外はさほどの差 にはならなかった。ただ 3 次の場合は−60dB と値がかなり小さいので多少の誤 差は測定器の精度などの関係で現れてしまっていると考えられる。 全体的に見て次数n が上がるにつれて-20dB/dec を満たしているのでバター ワース特性のローパスフィルタとしては実際に回路として有効性はあるとい える。 48 7 章 総括 実際に回路を作ったのは 3 次までではあったが、だいたい予定通りの動作を してくれた。次数が奇数のフィルタを設計する場合、手間などを考えると正規 化表があるならば 1 次と 2 次のフィルタを接続したほうがよいと考えられる。 低い周波数のうちはいいが、高い周波数帯まで使えるフィルタを設計する場 合はよほど高性能なＯＰアンプを使うか OP アンプを使わないで設計する必要 があると思われる。 今回は基礎的な回路を作成するだけだったので充分だったが複雑、巨大な回 路を作成する場合、それなりの性能のソフトとハードが必要である。 今回の研究にでは自分の望みの遮断周波数から抵抗、コンデンサの値を決め て MicroCap5/CQ を使い回路のシミュレーションをし、ＰＣＢＥで回路のパタ ーンの作成と、簡単ではあるが一つの回路ができるまでの一連の流れを体験し た。途中の計算式が違って思い通りにシミュレーションの結果がでなかったり、 基板のプリントパターンを作る過程での失敗、計測時に原因不明と思われた誤 動作、初めて触る計測機器の使用法など思っていた以上にすんなりとはいかな かった。しかし企業などでは個々の部門に分かれて全体に携わることはおそら くないであろうと思われるので今回の研究では大変貴重な体験ができた。 49 参考文献 ①小高明夫・佐藤邦夫著 ｢改訂版｣SPICE による電子回路の基礎（東海大学 出版界） ②黒田徹著 はじめてのトランジスタ回路設計（ＣＱ出版社） ③計測のためのフィルタ回路設計（ＣＱ出版社） ④トランジスタ技術 SPECIAL No.44 特集 フィルタの設計 ⑤トランジスタ技術 SPECIAL No.56 特集 電子回路シミュレーター活用 マニュアル（ＣＱ出版社） ⑥T･グレイ、J･グリン著 榊原進訳 Mathematica ビギナーズガイド（アジ ソン ウェストレイ・トッパン） ⑦JOHN KEOWN 著 町好雄訳 SPICE による電子回路設計（東京電気大 学出版局） 使用ソフト ①MicroCap5/CQ SpectrumSoftware 社 ②PCBE 高戸谷隆 氏 ③KaleidaGraph ヒューリンクス社 ④Mathematica アジソン ウェスレイ・ジャパン社 50 謝辞 今回の研究と論文の作成にあたり、終始丁寧なご指導と、ご教示を承りまし た高知工科大学電子･システム工学科綿森道夫助教授に深い感謝の意を表しま す。 また本研究の遂行にあたり、適切なるご助言を賜った橘昌良助教授に深い感謝 の意を表します。 高知工科大学電子・光システム工学科在学中にご指導を賜った原央学科長に 心から感謝いたします。 最後に高知工科大学電子・光システム工学科在学中、本研究の実験遂行、各 過程で終始ご厚意、ご協力を頂いた高知工科大学電子･光システム工学科、平木 昭夫教授・河津哲教授・河東田隆教授・神戸宏教授・成沢忠教授・矢野政顕教 授・畠中兼司教授・西本俊彦教授、野中弘二助教授・八田章光助教授・井上昌 昭助教授・関口晃司助教授、笠原泰講師、武田光由実験講師、西田謙助手の方々 に重ねて感謝の意を述べさせていただきます。 また、本研究を遂行するにあたり細部にわたり実験にご協力いただいた梅村佳 克氏、嶋真秀氏、新田敏弘氏、長谷川和也氏に感謝いたします。 51