乱数の原器としての円周率 - 日本オペレーションズ・リサーチ学会

乱数の原器としての円周率
三好和憲
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.
表 1 は.f2の値の小数部分における各数字の出現頻度
はじめに
を 10進 3000万桁までの範囲でまとめたものである .χ2 値
真の乱数，すなわちあらゆるパターンが等しい確率で
は 3.19 (1 000万桁まで)を除けばすべて 5%から 95% の
かつ独立に出現し得るような無限数列を得ることが可能
範囲に分布しており乱数的であるといってよい.しかし
であろうか.人間がこれを自ら生成すること，たとえば
基数を 10 以外の任意の数に選んでも同じことが L 、える保
サイコロを完全に均等に作りまた均等な配位で同等の条
証はない.
件で(すなわち重力ポテンシャルなどを全く同じにして)
振ることなどは原理的に不可能である.
自分で作り出さなくても世の中に真に確率的な現象が
、12を正則違分数で表現すると，
v
'2=[1:2, 2, 2,…]
とすべての部分商が 2 である.
、/すにかぎらず 2 次の無
存在するならば，これを目に見える形に取り出すことを
理数はすべて正則違分数の部分商が循環することが知ら
考えればよい.放射性物質の崩療やツェナーダイオード
れており，はっきりした規則性をもっている.連分数表
の熱雑音を利用する物理乱数はこの思想にしたがったも
現における規則性と数値表現における数字分布との関係
のである.しかし仮に現象そのものが確率的であったと
は不明であるが，明白な規則性をもっ数の方が数値表現
してもこれを取り出す電気回路への環境の影響を完全に
の『かき混ぜ方』が不足していると言えそうである.
排除することは難しく，得られた出力が本当に確率的で
あるかどうかはわからない.
物理法則とならんで宇宙の創世者から与えられたもの
として数がある.無理数の無限小数による表現では数字
が循環しな L 、から
_......"--t--''''--r-'~'''--v--''一一一一
¥/¥/¥/¥/¥/
3 コ
によって 1949年円周率 π と自然対数の底 e の値がそれぞ
れ 2 ， 000桁以上計算されたのも
{Reitwiesner'50} 超越
数の乱数性に着目した J.von Neumann の示唆による
O
. 10011000111000011110000011111000000111111...
2 コ
、/互のような単純な無理数よりも高尚な数として思い
浮かぶのは超越数である.世界初の電子計算機 ENIAC
4 :z
5:
z
6 コ
のような意図的に構成したものでな L 、かぎり数字の列の
ものであった.ところで同じ超越数でも自然対数の底は
正則連分数で表わすと
e=[2:1 ， 2 ， 1 ， 1 ， 4， 1 ， 1 ，.・ .2n ， I ， I ， 2{n+1} ， I ， 1 …]
中にはあらゆるパターンが等しい確率で出現するものと
とごく単純な規則性を示している.これに対して円周率
期待できる.
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きるかは別として)直ちに無限の先まで確定するわけで，
その中の数字が本当の意味で独立であろうはずはない.
π
用いている 10 と)指定すれば数字の列は(現実に計算で
一一
数を(たとえば、12 と)特定し基数を(たとえば通常
と全く不規則である.
数値表現の聞に相関がない場合に部分商 n が出現する
しかしまた一方で数字の列の中の特定のパターンがある
理論的な確率は log{(n+1}2/n{n+2}}/log 2 に等し
特定のパターンをどこか別の所定の箇所に生成する確率
いが円周率の部分商の分布は実際にこの値に近いことが
が高いと L 寸理論的な根拠もない.したがって数字の列
確かめられている.このことからも円周率は真の乱数の
は分布としては独立とみなせよう.
候補または乱数の原器として有力であるといえよう.後
に述べるように円周率の値は古典的な統計検定や筆者の
みよしかずのり
工学院大学電子工学科
〒 160 新宿区西新宿 1-24-2
1991 年 12 月号
提唱するポテンシャル検定の結果においても模範的な乱
数の性質を示している.
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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要としているわけではない.円周率のロマンと天文学
事情は同じであるが，計算機では桁数を増すと多倍長
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ところが近年のスーパーコンピュータではベクトル
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であった.別段天文学で特に高精度の円周率の値を必
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いていたことからも明らかなように円周率には数の世
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うに得られる.
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た. Gauss-Legendre の公式によれば円周率は次のよ
」
F岡田Ha
換を用いて多倍長の乗算が高速に行なえるようになっ
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算時間も 4 倍かかる.これは手計算でも機械計算でも
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の高速演算が可能になると同時に実装される記憶装置
it--
の容量も飛躍的に増大し，これにより高速フーリエ変
』
FF
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。
間は自乗よりもう少し余分にかかる.
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たが，彼に Gregory の級数展開を利用して円周率を
@‘
計算の基数をより大きくとる必要が生じるので計算時
OON
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逆正接加法公式を利用する場合，計算する桁数を 2
Fd的
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。"
計算するよう示唆したのはハレ一等星で有名な英国王
.
.
倍にすると必要な演算行程はその自乗の 4 倍になり計
。，トaFFF@
周率を計算する手法は逆正接の加法公式を利用するも
唱曲Hω
級数に x= 1 /JTを代入して 1699年に72桁を計算し
ド
手計算『こせよ計算機によるにせよ最近に至るまで円
ii
した John Machin は London 大学の天文学の教授
帥噌ト凶暗唱血FA可血FA司
-FNNaFFhvF肉付
いるであろうか.
m
計算するものであった. A
brahamSharp は Gregory
倒閣端隔週QMW同
緩、
Q
妙な逆正援の加法公式を発見し自身でも 100 桁を計算
崎F
一一
のような π/4 を与える逆正接加法公式と組み合せて
"
立天文台長 Edmund Halley である.また上記の巧
唱曲刷
@“岡
、12:を 100 桁といわず50桁で、も暗唱している人が何人
円ト.AF@Fm
寸0.0F‘FAFF
でも計算機の性能の検証，誇示の目的で ENIAC 以
国内.曲N'
円周率の値を高精度に計算することは乱数とは離れ
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を 1706年と公表された Machin の公式
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来行なわれてきた.手計算の時代から記録レースが続
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界の中で独特の地位が与えられている. 100-200桁程
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斗一
求めた級数展開
オベレーションズ・リサーチ
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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4 (6)
すなわち 1671 年に James Gregory の
のであった.
•
e や
度なら円周率の値を暗唱している人は多いが
NNaF
2
. 円周率の計算
表 2
円周率計算の歴史(最近のものは代表的なもののみ掲載)
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異なり円周率の各桁の聞には軽重の差はなく相関も認め
られないことから分割する箇所をずらしたりは倍)全
tlc+叫l=t九k 一 X/c 何
( ak 一 ak +1)戸2
Xk+l=2xk
ti回e
体を素数倍して増殖することができる.これにより円周
(k
;
;
;
;0)
率の数字列から実用的な個数の乱数を供給することも十
このとき出竺ぜ→ π
分可能である.
守'k
この手続きは Newton 法のように 2 次の収束をする
3
. 古典的統計検定
ので求める桁数を 2 倍にするには途中の計算もまた倍の
精度で行なう必要はあるがループをたった 1 回余分に回
円周率の値がどの程度乱数らしいのか，特に擬似乱数
るだけでよい.したがって多倍長の乗算が主記憶上で実
と比べてどのくらい質的に異なるのかは興味深い.超越
行できるだけの記憶装置の容量さえあれば計算する桁数
数の数字列は周期を持たないので擬似乱数発生器の検定
を増やすことに障害はない. 1982年以来次々に記録が更
に用いられるスベクトル検定 (Coveyou 他 '67) を適用
新され{金田他 '83，
'84等)現在では 10億桁以上が求め
することはできない.ここでは古典的な検定として 1 万
桁の π の値の検定 (Pathria'62)
られている.
桁数の多い計算には不向きであるが円周率を与える異
色な公式として Ramanujan により発見された次の関係
系列相関，
と同様に数字の頻度，
ラ個ずつ区切ったポーカ一手の検定を行なっ
た.
表 l と何様にして円周率の小数部分における各数字の
がある.
よ=五互ら(物) !(
I1
0H26390n)
π 兜Ol ，j叫
(n! )
'39がn
出現頻度を 10進 10億桁までの範囲でまとめたものが表 3
である. 32 レンジのうち f 値がその期待値である 9を越
数学的な輿味からこの公式自体を検証する目的で 1985
えるものはわずか 2 個しかなく全体に小さいほうに偏っ
年には 1700万桁の計算も行なわれている.以上をまとめ
ており、/互に比べてややお行儀が良すぎるきらいはあ
たものが衰 2 である.
る.近年の円周率記録レースの発端となった 200 万桁ま
10億桁の数字列を数値計算での適当な精度，たとえば
8 桁ずつに分割すれば 1 億 2500万個の乱数標本が得られ
ることになる.これだけではスーパーコンピュータを用
ででは偶然 f 値が期待値に一致している.
表 41 土 5 億桁，
10億桁の範囲それぞれを 10 のプロック
に分け全体および各プロック内でそれぞれ数字の頻度，
いた大規模なシミュレーションには乱数の個数としてま
系列相関，
だ不足である.しかし乗算合同法による擬似乱数などと
値をまとめたものである.頻度検定(自由度 9 )では全
1991 年 12 月号
5 個ずつ区切ったポーカ一手検定を行ない f
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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円周率の数字の出現頻度
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© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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回.『圃{伺}
表 3
体に χq砲が小さく， 2 項系列相関(自由度如)や
表 4
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ポテンシャル検定
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4
.
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も見られたものである.
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-cb
-om
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+,
が大きい.この傾向は 2 ∞万桁 ， 8∞万桁の検定で
円周率の古典統計の f 値
( )内の数値は上側確率
-bn
ポーカー手検定(自由度 6 }では x 2 値のばらつき
t- ーーーー+ーーー句ーー ------t ーーーーーーーーー『ーーー+ーーー---ーーー-ーーー+
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1
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1
1
01
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.1
7
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2.04(>.90) 1
2 1 11
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1
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01
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) 1 1
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>
.
9
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4
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118.91(<.005)1
5
5.11
1113.54(<.05} 1 0.42(>.995)1
8.50
6
186.51
3.98
7
1
.1
2(
>
.9
0
) 1
4.10
192.95
5.63
8
1102.50
6.13
9 1 13.02
.4
1(
<
.005)1 5.86
1
1
31
1
1
11
.24(<.10) 1 5.93
11
0 1 12.68
シミュレーションを行なううえで常に真の乱数
が求められていると L 、うわけではなく，それぞれ
の目的に応じた検定を行なって棄却されなければ
合格とするのでかまわない.
擬似乱数の格子構造 (Marsaglia '68)
は多く
のシミュレーションで有害と考えられる.これを
検出する理論的な検定法としてはスベクトル検定
法があるが，前述のように超越数の数字の列のよ
うな周期を持たない標本には適用できないため阿
←一一←一一一一一ート一一一一一ート一一一一一一+
周率を疑似乱数と直接比較することができない
First 500 冊 il1ion decima1 digits
(1)
筆者の提唱したポテンシャル検定法(三三好 '83，
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Lr
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(61og
(2+
で与えられるので，厳密には N(N ー 1)/2個の I/r は
互いに独立ではないが粒子数 N を大きくしたとき U N は
漸近的に正規分布 N (0 ， σ 刊にしたがうとしてよい.
ここで、
σ0 2 ，主
l
σ02 =(J-Y担 N-I) σ2(斗与
(1. 9143xL叩と
I
1V
、
l πf
辺、
r
である . UN を計算するとき，粒子簡の距離 !x;-xJ! は
2(1)Ji三
1-------.
;
7-Fjω+=Arctan----l
z2+1
一戸 log(2+.;T
1991 年 12 月号
a11SIZE--1
4L
、IT- 1t" )/4L に等しく，分散は
キ O. 50233899x ら
、，，、
-nH=-''t't
内，ゐ勾'・ nnu 内'uanーの JuphJW内JU 内tuFhunAリ
司自 FU--uuFT
・ -nwd
内JugF内dvan
噌白瓜 u"hvphJvan噌唱 EAaAunwJW
，，
距離の逆数の単位立方体内での期待値は
qaqJnnaqnORunE?
6 log(2+ イす)ー π九
-
・
一五七れ雨戸可T
E21'lss'IB--zBI'l
3 ~明 I
,---.
(
2
) First 1 bi11ion decimal digits
(v=(2L)8=N)
一
・
・-
Ix-x'l
4IBI--+l'l
ー+ーー---ーーーー町ーー+ーーーーーーーーーーーーー+ーーーーーーーーーーーーー+
__ _
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j
4 1t"~~
E
¥¥
.
i
・
UN=
3 rr{P(x-xtl ー 1H ，E ð(x'-xJ} ー 1 }
， E、-
の 3 次元座標を意味する.
マtoon3nu
ここで Xi は i 番目の粒子
Bt'ill
ルエネルギーは単位立方体当たり，無次元化して
次のように書かれる.
・・
とするとき，粒子系の 2 体相関によるポテンシャ
-FA
に配置しこの立方体が無限に周期構造をなすもの
-aUAM-aaa7
N個の同等な粒子を 1 辺 2L の単位立方体の内部
勾ιqJaqRUFO
周期と無関係に行なえる利点がある.
-Fra--
司"
ことを用いた統計的検定法であり，乱数発生器の
4
とならびに近傍および途方の寄与が均衡している
-nvm-o'I
lt'll-TIll--Illit--IIllit---tl
シャルエネルギーが格子構造を鋭敏に検出するこ
-cto--i
-'BAHU--nM
-・ nunH-
に配置するとき，粒子系の 2 体相関によるポテン
-K--e
'87)は乱数列を用いて同等な粒子を 3 次元空間内
l
y
-1t"
着目した粒子を中心とする単位立方体内部で考える.
粒子数 N を 10 8
=1000,
8 4096 , 2
1
6
58=15625の 3 通
=
りに選び円周率 5 億桁の小数部の数字を上位から 8 桁ず
つ区切って粒子の座標とし，それぞれ 17500， 41 ∞，
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5
0
0
(9) 5
7
7
表 S
個の標本を得た .(24Nx 標本数が 5 億
t+
・
03向
VRV
4
0
17
+1+ItEI--
--曲中-
--------・・・・・・
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E
・
T
FqF5574q46??ZTｭ
11
『u
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- - - ・ ・ ・ ・ ヲ 'RV-J-avh
句句'』
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・
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・・
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目 27Z4
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・
VE--x-36818204671
ltr--35107184455
p
筒
vEO-
4-2FFFFFFnn
-Y--gg
散 ÷σ。2X 標本サイズである.
・
分したものの 2 倍， chi.sq. は標本分
絹
布の確率密度関数を Ixl から∞まで積
1L
×イ房王子才ヌ， prob. は標準正規分
dt1--00102000oo--ｭ
tg-------tt
ndt+1+Itliti--111+aaｭ
-rEd--52633364229d-F3-78846Oz--Z74-tt
nd't-u-45?76?65230-nn
-n-a-t-81020501?13-aa
paLm-n-16773841438-ee
-tP1-a-170T42057Ez--t
-ff
目・-・・・・・・・・・・・
dgme
na--m-00203000oo--11
る.表で z は標本平均÷標本標準偏差
r o - e - t -gg
σ (UN ) を検定した結果を表 5 に掲げ
fcfO+1+11111111tlt+11
』・・
。 o-F
toek---
U
。 l
ロッグの各々について，標本平均
=μ (UN ) および標本標準偏差 s.d.=
12345678?OF*
。-。
・ obo-L-ht-**
標本全体とこれを 10個に分割したプ
r ・
-r
。
CPU 時間の関係である. )
b
存できるデータセット容量の上限値と
m-mOMb-Hｭ
uhU2--4
NTN4+I+11111111111+
桁に達していないのはディスク上に保
円周率のポテンシャル検定
,
EIF+
乱数が少数の超平面上に落ちる格子
構造があると UN は負の値をとり，ま
た粒子がすべて相異なる格子点上に配
置されると UN は正の値をとる.後者
は U N の患大値を与え N が奇数の 3 乗
のときはほぼ 0.53N また偶数の 3 乗の
=
"
'
+日ーーーーーー+ーーーーーーーーー -iトーーーーーー -iトーーーーーー+ー---ーー+-ーーー『ーー『同+
1 bloek
x
Iyl 岡・ an(U)
1 prob.1 ...d. 1
ehl- ・ q.
I
+日ーーーーー -iトー--ー』ーーーーー+ー-ー』ーーー+ー---ーー+ーー-ーーー+ーーーーーーーーー+
ときはほぼ 0.90N となる，
1 whol ・
粒子数N を大きくするほど格子構造
の検出能力は高くなるが， 32 ビット機
で悪名高い乗数 65539 による乗算合同
法擬似乱数から粒子系を構成すると N
=1000 でも μ (UN) がー 190 にもなり正
規分布 N (0， σ ぷ)からほど遠いこと
0.6797931
0.3493172.69Y
.lf24.621 4243.1
1 -4.0832751-0.6590150.99 Y. 1125.461
与 30. 唱
2
四 1.4099431-0.2202182.57 Y. lf29.661
3
4
5
6
7
8
9
10
2.7264651 O.4365166.24Y
.1126.461
1 -6.79709fl-l.0915127.51 Y. lf2ι.091
0.9143281 0.1494188.13Y
.1123.951
4.0328581 0.6951148.70XI117.481
.7564912.13051 3.31Y
.llf8.571
112.1
1 -4.0058141-0.6211153.45Y
.1130.591
1 -0.2035591-0.0336197.32Y
.1122.551
3.1483081 0.5098161.02Y
.1125.041
459.3 牢
E
1
437.0
434.4
41 守 .8
377.0
384.1
465. 宇牢
,
I
410 3
427.2
+ーーー四ーーー+ー--ーー『ーーーー+-司ーーーー田+ーー四ー田町+ーーー--ー+ーー皿ーーーーーー+
*I
がはっきりする.
5.
(
)
f 1nd ・ p ・ nd ・ nt P..rtlel ・.. =
40守晶
Th oratleal .tand ・ rd d ・ vlatlon
122.5016
Numb ・ 2・。 f "ampl ・.
4100
1.03046400 d ・ el 同 aL dl 冒 It.. or ・ þroe ・ g ・・ d
Numb ・ r
・ Ignlfleant
at 10 p ・ re ・ nt l ・ v ・ t
まとめ
円周率の数字列は種々の検定で良好
な結果を示している.また厳密な検定
ではないが円周率の値を整数部の 3 も
含めて頭から I1贋に数字をとって整数を
{乍るときこれが素数になるのは 160 桁
までの範囲では 1 桁( 3) ,
6 桁 (314159) ，
38桁(略)
2 桁 (31 ),
だけであ
る.これも素数定理から導かれる素数
の分布とよく合致している.
現時点では，乱数の原器として 1 つ
だけ選ぶとすれば類似品がないこと，
=
=
Numb..r of Ind ・ þ"nd ・ nt partleL ・..
15625
Th..or ・ tle..l standard d ・ vlatlon
299.1031
Numb ・ r 01 S8 刷 pl ・.
500
187500000 d ・ e I 同 al dlglt. ar ・ proe ・..・ d
=
+ー一ーーーーー+ーーーーーーー ---iトーーーーー』ー+由ーーー-ー+ーーーー』ー+ーーー--ーーーー+
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Iy' 冊。 an(U)
1 prob.1 ...d. 1 ehl-sq.
+--ーーーー-+ー--------ー+四ー四『ーーー+目『ーーーー+ーーーーーー+ーーーーー-ー--+
1 whol ・ 1-24.6270521-1.82641 6.78Y
.1301.511 508.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 -8.8799021-0.2022183.98Y
.1310.551
1 39.6500991 0.8727138.28XI321.261
1 11.5831971 0.2646179.13χ1309.571
I-S9.3749251-1.4235115.46Y
.I294.931
1 11.4333071 0.2577179.66Y
.1313.681
1-32.7605091-0.8154/41.48Y
.1284.081
1-16.02626 守 1-0.4501/65.26 Y. 1263.201
1-94.0778071-2.01811 4.36 1. 132 守 .631
1-35.6865421-0.9458134.42Y
./266.811
1-60.1291651-1.4221115.50Y
.1296.971
53.9
57.7
53.6
48.6
55.0
45.1
44.8
60.7
39.8
50.0
+ーー『ーーーー+ーーーーーーーーーー+司ーーー『ー-+-ーー四ーー+ーー一ーーー+ー-ーーー白骨--+
再現性があること，などから円周率で
No ehl-..q.
valu ・
4 ・
s
IgnIfIe ・ nt at 10Y
.
l ・v・ t
あろう.凝似乱数や物理乱数との比較
5
1
8 (10)
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
オベレーションズ・リサーチ
に利用するのに最適であり，実際のシミュレーションを
多数個の擬似乱数を用いて行なう場合でも円周率の数字
列を用いたテスト結果と照合することで結果の信頼性を
高めることができょう.
11 月号/発売中/定価 930 円
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生物の発生における対羽市Eの破れ
大隅典子・土居洋文
新しい対称性量ヲ常手への入門
上野喜三雄他
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ザ・ UNIX
戸J" 隼人箸/A5/定価 1751 円
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サイエンス社
東京都千代田区神田須田町2-4 安部徳ピル
電話 (ω)3256・1091 (代〉振替東京 7 -2387
1991 年 12 月号
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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