佐賀競馬における裁定機会の出現頻度

佐賀競馬における裁定機会の出現頻度
神戸大学経済学部 芦谷政浩
2013 年 1 月
芦 谷 （2012，国 民 経 済 雑 誌 ，第 205 巻 第 6 号 ）と Ashiya (2013)は荒 尾 競 馬 における裁 定 機 会 の存
在 を明 らかにしたが，一 部 の読 者 から「これは荒 尾 競 馬 に限 られた現 象 ではないか？」との指 摘 を受 け
た。そこで本 稿 は，2010 年 4 月 10 日 から 12 月 26 日 までに佐 賀 競 馬 で行 われた，出 走 頭 数 が 7 頭
以 下 の全 134 レースのうち，3 レースにおいて裁 定 取 引 の機 会 が存 在 したことを明 らかにする。
キーワード：arbitrage; pari-mutuel; market efficiency; betting; wagering.
657-8501 神 戸 市 灘 区 六 甲 台 町 2-1 神 戸 大 学 経 済 学 部
[email protected]
1
１．はじめに
公 営 賭 博 における裁 定 取 引 の可 能 性 については古 くから数 多 くの研 究 がなされてきたが ，芦 谷
（2012）は日 本 の地 方 公 営 競 馬 （NAR）において「各 馬 について一 番 割 安 な方 法 で単 勝 馬 券 を合 成
し，１着 ・２着 ・３着 の着 順 がどうなったとしても払 戻 金 総 額 が勝 馬 投 票 券 の購 入 費 用 を上 回 るように勝
馬 投 票 券 を買 う」という裁 定 取 引 が可 能 であることを示 した。 この「レースの結 果 によらず必 ず利 益 が出
る勝 馬 投 票 券 の買 い方 」は，業 界 用 語 で“lock”と呼 ばれている。 1 さらに Ashiya (2013)は，2011 年 9
月 30 日 から 12 月 23 日 までに荒 尾 競 馬 で行 われた全 175 レースを分 析 し，このうち 2 レースで lock
が可 能 であることを示 した。
しかし，これらの研 究 は，どちらも荒 尾 競 馬 を分 析 対 象 としている。このため，一 部 の読 者 から「lock は
荒 尾 競 馬 でのみ観 察 される現 象 ではないか？」との疑 問 が寄 せられた。 そこで本 稿 は，2010 年 4 月
10 日 から 12 月 26 日 までに佐 賀 競 馬 で行 われた，出 走 頭 数 が 7 頭 以 下 の全 134 レースを分 析 し，
このうち 3 レースにおいて裁 定 取 引 の機 会 が存 在 したことを明 らかにする。なお，本 稿 の分 析 において
も，芦 谷 （2012）と同 様 に「馬 券 の最 小 購 入 単 位 」と「裁 定 取 引 によるオッズ変 化 」の両 方 が 考 慮 されて
いることは言 うまでもない。 2
２．裁 定 可 能 なレースの具 体 例
単 勝 i 番 のオッズが O i ，馬 番 連 勝 単 式 i-j 番 のオッズが O ij であるとしよう。いま仮 に，任 意 の馬 券 を
任 意 の数 量 だけ，オッズを変 化 させることなく購 入 できるとしよう。i 番 が 1 着 になったときに必 ず 1 円 の
払 戻 金 を得 る為 には，単 勝 i 番 を 1/O i 円 購 入 するか，あるいは連 単 i-j 番 を全 てのj ≠ iに つ い て 1/O ij
円 ず つ 購 入 す れ ば 良 い 。 よ っ て ， ど の 馬 が 1 着 になったとしても必 ず 1 円 の払 戻 金 を得 る為 に必
要 な馬 券 購 入 額 の最 低 値 は，
1
1
∑ni=1 min { , ∑j≠i }
O
O
i
ij
である。同 様 に考 えると，三 連 勝 単 式 i-j-k 番 のオッズが O ij k であるとき，
1
1
Oi
Oij
P ≡ ∑ni=1 min { , ∑j≠i min {
, ∑k≠i,j
1
Oijk
}} ≤ 1
(1)
が 成 立 す る な ら ば（ 総 費 用 1 円 以 下 の 馬 券 購 入 で 必 ず 1 円 の 払 戻 金 を 確 保 で き る の で ）裁 定
取 引 の 余 地 が 存 在 す る 。(1)式 は ，同 じ 馬 に 対 す る 単 勝 ・連 単 ・三 連 単 のオッズが大 きく異 なってい
るほど成 立 しやすくなる。
本 稿 で 分 析 対 象 と す る 134 レ ー ス に つ い て (1)式 の P の 値 を 計 算 す る と ，P<0.7 の レ ー ス は
存 在 し な か っ た 。 0.7 ≤ P < 0.8の レ ー ス は 2 つ ， 0.8 ≤ P < 0.9の レ ー ス は 3 つ ， 0.9 ≤ P ≤ 1の レ
ー ス は 8 つ 存 在 し た 。 つ ま り ，P ≤ 1の レ ー ス は 合 計 で 13 レ ー ス （ 全 体 の 9.7%） 存 在 し た こ
と に な る 。 こ の 比 率 は ， Ashiya (2013)が分 析 した荒 尾 競 馬 の 値 （ 175 レ ー ス の う ち 20%） よ
2
り も か な り 低 い 値 で あ る 。 表 1 の 第 1 列 目 は ， こ れ ら 13 レ ー ス の 具 体 的 な P の 値 を 表 す 。
第 2 列 目 は ， 裁 定 取 引 に よ っ て 獲 得 可 能 な 保 証 利 益 額 （＝自 らにとって最 も都 合 の悪 い着 順 が実
現 したときの利 益 額 ）の最 大 値 を表 す（詳 細 後 述 ）。
次 に ， P>1 の レ ー ス に は 裁 定 取 引 の 余 地 が 存 在 し な い の で ， P ≤ 1だ っ た 13 レ ー ス に つ い
て 裁 定 取 引 が 可 能 で あ る か を 検 討 し た 。 そ の 際 に は ， 単 勝 ・連 単 ・三 連 単 だけでなく，馬 番 連 勝
複 式 の存 在 も考 慮 した（今 回 は 7 頭 立 て以 下 のレースを分 析 したので，枠 番 連 複 は発 売 されていな
い）。また，馬 券 の購 入 単 位 が 100 円 であることと，裁 定 取 引 それ自 体 がオッズを変 化 させることも考 慮
した。
日 本 の地 方 競 馬 （NAR）の単 勝 オッズは，単 勝 の総 発 売 票 数 を S，単 勝 i 番 の発 売 票 数 を S i とする
と，
S
(2)
Oi = max {0.1 × INT [1 + 7.38 ] , 1}
Si
と い う 式 で 計 算 さ れ る （ JRA と は 係 数 が 異 な る こ と に 注 意 ）。 こ こ で ， INT[x]は ， x 以 下 の
最 大 の 整 数 を 与 え る 関 数 で あ る 。 (2)式 よ り 明 ら か に ， 裁 定 取 引 で 単 勝 i 番 を購 入 すると，その
オッズOiは低 下 する。このため，(1)式 は満 たされにくくなる。
この影 響 を，2010 年 6 月 13 日 の佐 賀 競 馬 第 2 競 争 で確 認 してみよう。表 2 は，このレースの単 勝
馬 券 と馬 番 連 勝 単 式 馬 券 の最 終 オッズ（投 票 締 切 後 の確 定 オッズ）である。表 3 は，各 馬 券 の発 売 票
数 である。このレースにおいて，保 証 利 益 額 が最 大 になる馬 券 購 入 の組 合 せは，表 4 の第 1 列 目 で表
される。裁 定 取 引 の実 行 者 が表 4 の組 合 せで馬 券 を合 計 131 票 購 入 すると，単 勝 1 番 のオッズは
63.5（表 2 参 照 ）から 49.9 に低 下 する。このため，1 番 が 1 着 になると，裁 定 取 引 の実 行 者 は 49.9×3
×100＝14,970 円 の払 戻 金 を受 け取 る。また，2 番 が 1 着 になったときは連 勝 単 式 馬 券 のどれかが的
中 するので，32,900 円 から 78,940 円 の払 戻 金 を受 け取 る。同 様 に， 3 番 が 1 着 になったときは
13,590 円 から 15,190 円 ，4 番 が 1 着 になったときは 13,630 円 ，5 番 が 1 着 になったときは 13,760
円 ，6 番 が 1 着 になったときは 14,280 円 の払 戻 金 を受 け取 る。つまり，表 4 の組 合 せの馬 券 を購 入 す
れば，どのようなレース結 果 になったとしても，少 なくとも 13,590 円 の払 戻 金 を得 られる。表 4 の組 合 せ
の馬 券 を購 入 する費 用 は 13,100 円 であるから，この裁 定 取 引 の保 証 利 益 額 は 13,590－13,100＝
490 円 となる。ちなみに，利 益 が最 大 になるのは「2 番 が 1 着 ，5 番 が 2 着 」のときであり，（78,940 円 の
払 戻 金 を得 るので）65,840 円 の利 益 を得 る。
他 のレースについても同 様 の分 析 を行 ったところ，2010 年 7 月 25 日 佐 賀 競 馬 第 4 競 争 では，表 5
で示 される 24,100 円 分 の馬 券 を購 入 することで保 証 利 益 額 が 2,900 円 になった。 3 また，2010 年 6
月 19 日 佐 賀 競 馬 第 8 競 争 では，表 6 で示 される 21,700 円 分 の馬 券 を購 入 することで保 証 利 益 額
が 1,180 円 になった。
３．結 語
3
本 稿 では佐 賀 競 馬 における裁 定 機 会 の存 在 を明 らかにしたが ，現 実 に裁 定 取 引 を行 う上 では ，芦
谷 （2012）などが指 摘 する各 種 の制 約 条 件 を考 慮 する必 要 がある。第 一 に ，オッズ・データは馬 券 売
場 やインターネットで常 時 無 料 公 開 されているので，そこから現 時 点 での馬 券 総 発 売 票 数 と個 別 馬 券
の発 売 票 数 を逆 算 することは可 能 である。 4 しかし，最 終 的 な総 発 売 票 数 は，馬 券 購 入 時 点 では原 理
的 に知 ることができない。このため，「投 票 締 切 直 前 において裁 定 可 能 なレース」を発 見 することは可 能
だが，そのレースが本 当 に裁 定 可 能 であったのかどうかは，事 後 的 にしか知 ることができない。第 二 に，
裁 定 取 引 が可 能 か否 かを判 定 するには ，細 かな計 算 が必 要 である。裁 定 条 件 式 (1)の計 算 は，予 め
関 数 を組 んでおいたエクセル・シートにオッズ・データを流 し込 めば ，一 瞬 で完 了 する。しかし，(1)式 の
P の値 が 1 より十 分 に小 さいレースであっても，裁 定 取 引 の余 地 が存 在 しないことがある。例 えば表 1
にあるように，2010 年 9 月 26 日 佐 賀 競 馬 第 1 競 争 は P=0.832 であったが，「必 ず儲 かる馬 券 の買
い方 」は存 在 しなかった。その一 方 で，芦 谷 （2012, p.87）は「P=0.9147 でも裁 定 取 引 が可 能 だったレ
ース」を紹 介 している。今 後 の研 究 では，「裁 定 取 引 が可 能 となる P の閾 値 」が，（平 均 売 上 票 数 が異
なる）地 方 競 馬 の各 レース場 においてどのような値 を取 るのかを分 析 していきたい。
注
本 研 究 は JSPS 科 研 費 課 題 番 号 24530197 の補 助 を受 けている。佐 賀 県 競 馬 組 合 からは，貴 重 な
勝 馬 投 票 券 の売 上 明 細 表 を頂 いた。記 して感 謝 したい。
１．先 行 研 究 の紹 介 や仮 想 例 による lock の説 明 は，芦 谷 （2012）と Ashiya (2013)を参 照 されたい。
芦 谷 （2010）は，「オッズの歪 み」に関 する広 範 なサーベイ論 文 である。
２．これら２つの要 因 が裁 定 取 引 の障 害 になる理 由 と，その悪 影 響 の大 きさについては，芦 谷 （2012）と
Ashiya (2013)を参 照 されたい。
３．このレースでは 1 枠 1 番 が出 走 を取 り消 したが，返 還 票 数 は 0 であった。
４．具 体 的 な方 法 は，芦 谷 （2012）と Ashiya (2013)を参 照 されたい。
参考文献
Ashiya, Masahiro (2013) “Lock! Risk-Free Arbitrage in the Japanese Racetrack Betting
Market,” Discussion Paper Series No. 1301, Graduate School of Economics, Kobe
University.
芦 谷 政 浩 （2010）「『穴 馬 への過 剰 な選 好 （longshot bias)』に関 するサーベイ」『国 民 経 済 雑 誌 』，第
202 巻 第 2 号 ，pp.13-28.
芦 谷 政 浩 （2012）「日 本 の公 営 競 馬 における『競 馬 必 勝 法 』の具 体 例 」『国 民 経 済 雑 誌 』，第 205 巻 第
6 号 ，pp.81-91.
4
表 1
P ≤ 1だ っ た レ ー ス の 一 覧 表
競争名
P
保証利益額の最大値
7 月 25 日 4R
0.745
2,900 円
6 月 13 日 2R
0.775
490 円
6 月 19 日 8R
0.823
1,180 円
9 月 26 日 1R
0.832
マイナス
7 月 3 日 6R
0.876
マイナス
7 月 25 日 11R
0.915
マイナス
6 月 19 日 2R
0.926
マイナス
12 月 11 日 1R
0.929
マイナス
6 月 26 日 1R
0.952
マイナス
5 月 3 日 2R
0.955
マイナス
6 月 20 日 1R
0.977
マイナス
6 月 26 日 6R
0.977
マイナス
8 月 22 日 4R
0.990
マイナス
い ず れ も 2010 年 の佐 賀 競 馬
5
表 2
2010 年 6 月 13 日 佐 賀 競 馬 第 2 競 争 の，単 勝 ・馬 番 連 勝 単 式 の最 終 オッズ
(1) 単 勝
Oi
1
2
3
4
5
6
7
63.5
23.4
1.2
5.7
21.2
14.9
8.0
(2) 馬 番 連 勝 単 式
O ij
O ij
O ij
O ij
1-1
---
2-1
557.8
3-1
156.2
4-1
139.5
1-2
355.0
2-2
---
3-2
150.2
4-2
126.0
1-3
488.1
2-3
780.9
3-3
---
4-3
8.6
1-4
216.9
2-4
355.0
3-4
7.0
4-4
---
1-5
650.7
2-5
976.1
3-5
18.0
4-5
14.7
1-6
557.8
2-6
780.9
3-6
15.4
4-6
9.5
1-7
216.9
2-7
557.8
3-7
10.7
4-7
9.4
O ij
O ij
O ij
5-1
433.8
6-1
186.0
7-1
150.2
5-2
390.5
6-2
130.2
7-2
102.8
5-3
36.5
6-3
21.6
7-3
20.1
5-4
32.6
6-4
14.3
7-4
12.6
5-5
---
6-5
27.9
7-5
37.6
5-6
45.4
6-6
---
7-6
22.4
5-7
50.1
6-7
18.0
7-7
---
6
表 3
2010 年 6 月 13 日 佐 賀 競 馬 第 2 競 争 の，単 勝 ・馬 番 連 勝 単 式 の発 売 票 数
(1) 単 勝
Si
1
2
3
4
5
6
7
7
19
390
79
21
30
56
総 発 売 票 数 は 602 票
(2) 馬 番 連 勝 単 式
S ij
S ij
S ij
S ij
1-1
---
2-1
7
3-1
25
4-1
28
1-2
11
2-2
---
3-2
26
4-2
31
1-3
8
2-3
5
3-3
---
4-3
459
1-4
18
2-4
11
3-4
559
4-4
---
1-5
6
2-5
4
3-5
218
4-5
266
1-6
7
2-6
5
3-6
254
4-6
415
1-7
18
2-7
7
3-7
365
4-7
416
S ij
S ij
S ij
5-1
9
6-1
21
7-1
26
5-2
10
6-2
30
7-2
38
5-3
107
6-3
181
7-3
195
5-4
120
6-4
274
7-4
310
5-5
---
6-5
140
7-5
104
5-6
86
6-6
---
7-6
175
5-7
78
6-7
217
7-7
---
総 発 売 票 数 は 5,290 票
7
表 4 2010 年 6 月 13 日 佐 賀 第 2 競 争 において保 証 利 益 額 が最 大 になる馬 券 購 入 の組 合 せ
種類
購入票数
追 加 購 入 後 のオッズ
的 中 時 の払 戻 額
単勝 1 番
3
49.9
14,970
単勝 4 番
29
4.7
13,630
単勝 5 番
8
17.2
13,760
単勝 6 番
12
11.9
14,280
単勝 7 番
21
6.5
13,650
連 単 2-1
1
493.4
49,340
連 単 2-3
1
657.9
65,790
連 単 2-4
1
329.0
32,900
連 単 2-5
1
789.4
78,940
連 単 2-6
1
657.9
65,790
連 単 2-7
1
493.4
49,340
連 単 3-1
1
151.9
15,190
連 単 3-2
1
146.2
14,620
連 単 3-4
20
6.9
13,800
連 単 3-5
8
17.5
14,000
連 単 3-6
9
15.1
13,590
連 単 3-7
13
10.5
13,650
総 購 入 票 数 は 131 票
8
表 5
2010 年 7 月 25 日 佐 賀 第 4 競 争 において保 証 利 益 額 が最 大 になる馬 券 購 入 の組 合 せ
種類
現 実 の発 売 票 数
裁 定 取 引 の購 入 票 数
追 加 購 入 後 のオッズ
的 中 時 の払 戻 額
単勝 2 番
15
8
34.4
27,520
単勝 3 番
26
14
19.8
27,720
単勝 4 番
52
27
10.1
27,270
単勝 5 番
29
15
18.0
27,000
単勝 6 番
15
8
34.4
27,520
単勝 7 番
125
63
4.3
27,090
連 単 8-2
100
6
48.4
29,040
連 単 8-3
212
12
22.9
27,480
連 単 8-4
205
12
23.7
28,440
連 単 8-5
295
17
16.5
28,050
連 単 8-6
152
9
31.9
28,710
連 単 8-7
909
50
5.4
27,000
裁 定 取 引 の総 購 入 票 数 は 241 票
単 勝 の総 発 売 票 数 は 937 票
馬 番 連 勝 単 式 の総 発 売 票 数 は 6,835 票
このレースでは 1 番 が出 走 を取 り消 したが，返 還 票 数 は 0 であった
9
表 6
2010 年 6 月 19 日 佐 賀 第 8 競 争 において保 証 利 益 額 が最 大 になる馬 券 購 入 の組 合 せ
種類
現 実 の発 売 票 数
裁 定 取 引 の購 入 票 数
追 加 購 入 後 のオッズ
的 中 時 の払 戻 額
単勝 4 番
70
25
9.3
23,250
単勝 5 番
91
32
7.2
23,040
単勝 6 番
43
15
15.3
22,950
単勝 7 番
24
9
26.8
24,120
連 単 1-4
1598
44
5.2
22,880
連 単 1-5
1691
47
4.9
23,030
連 単 1-6
564
16
14.6
23,360
連 単 1-7
251
7
32.8
22,960
連 単 2-4
19
1
422.8
42,280
連 単 2-5
22
1
367.7
36,770
連 単 2-6
22
1
367.7
36,770
連 単 2-7
30
1
272.8
27,280
連 単 3-4
27
1
302.0
30,200
連 単 3-5
15
1
528.5
52,850
連 単 3-6
16
1
497.4
49,740
連 単 3-7
19
1
422.8
42,280
連 複 1-2
115
6
41.1
24,660
連 複 1-3
141
7
33.6
23,520
連 複 2-3
20
1
236.7
23,670
総 購 入 票 数 は 217 票
単 勝 の総 発 売 票 数 は 1,115 票
馬 番 連 勝 単 式 の総 発 売 票 数 は 11,335 票
馬 番 連 勝 複 式 の総 発 売 票 数 は 6,721 票
10