数 学 Ⅱ

数学 Ⅱ
ラジオ
学習メモ
第 5 章　微分と積分
第 1 節　微分係数と導関数
第 68 回　導関数 ⑴
講師：水 谷 信 也 導関数の定義
関数 y＝f(x) の x＝a における微分係数 f'(a) を求めてみよう。
そして，aをx でおきかえて得られる導関数を定義する。
微分係数 f'(a) を求める
導関数の定義
微分するということ
微分係数 f'(a) を求める
関数 f(x) ＝ x2 の x ＝ a における微分係数 f'(a) を求めてみよう。
f(a ＋ h）- f(a) ＝ (a ＋ h)2 - a2 ＝ h(2a ＋ h)
f (a ＋ h) − f (a)
h
よって　f '(a) ＝ lim
h→0
h(2a ＋ h)
＝ lim
(2a＋h)＝2a
h→0
h
＝ lim
h→0
この式を用いれば，いろいろな a の値について f'(a) の値を求めることが
できる。
微分係数を求めてみよう。
〈例５〉　関数f(x)＝x2のx＝3における微分係数 f'(3)は，
上の f'(a)＝2aの式にa＝3を代入して
f'(3) ＝ 2 × 3 ＝ 6
f(x) ＝ x2 について，上の f'(a）=2a の式を用いていろいろな a の値にお
ける微分係数を求めると，次のようになる。
a
f'(a)
-3
-6
-2
-4
-1
-2
0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
すなわち，a のそれぞれの値に対して f'(a) の値が定まり，f'(a) は a の
関数になる。
このとき，文字 a を x でおきかえて得られる関数
f'(x) ＝ 2x
どうかんすう
を関数 f(x)＝x2の導関数という。
導関数
一般に，関数 f(x) の導関数 f'(x) は，次の式で求められる。
導関数
f'(x) ＝ lim
h→0
f(x ＋ h) − f(x)
h
び ぶん
関数 f(x) からその導関数 f'(x) を求めることを，f(x) を微分するという。
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131
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第 5 章　微分と積分
第 1 節　微分係数と導関数
第 68 回　導関数 ⑴
導関数の定義
微分する
〈例６〉　関数 f(x)＝xを微分してみよう。
f'(x) ＝ lim
h→0
＝ lim
h→0
f (x ＋ h) − f(x)
h
(x ＋ h) − x lim h lim
＝ h→0 ＝ h→0 1 ＝ 1
h
h
〈例７〉　関数 f(x)＝x3を微分してみよう。
f(x＋h)−f(x)＝(x＋h)3−x3
＝h(3x2＋3xh＋h2)
よって　f'(x)＝ lim
h→0
＝ lim
h→0
f(x ＋ h) − f(x)
h
h(3x2 ＋ 3xh ＋ h2)
h
＝ lim
(3x2＋3xh＋h2)＝3x 2
h→0
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第 69 回　導関数 ⑵
第 5 章　微分と積分
第 1 節　微分係数と導関数
講師：水 谷 信 也 xn の導関数と公式
xn の導関数や f(x)＝c の導関数がどのようになるかを学習し
よう。また，導関数の計算をするための公式を学ぼう。
xn の導関数
定数の導関数
導関数の公式
xn の導関数
関数 y ＝ f(x) の導関数を表すには，f'(x) のほかに
y'，
{ f(x) }'
などの記号も用いられる。
すでに学んだように，(x)' ＝ 1，(x2)' ＝ 2x，(x3)' ＝ 3x2 であるから，次
の公式が成り立つ。
xn 導関数
n ＝ 1，2，3 のとき　(xn)'＝nxn−1　定数の導関数
関数 f(x) ＝ 2 を微分してみよう。
f'(x) ＝ lim
h→0
f(x ＋ h) − f(x) lim 2 − 2 lim 0 lim
＝ h→0
＝ h→0 ＝ h→0 0 ＝ 0
h
h
h
同様にして，関数 f(x) ＝ c の導関数は次のようになる。
関数 f(x)＝c の導関数
f'(x)＝(c)'＝0　導関数の公式
〈例８〉　関数f(x)＝4x2を微分してみよう。
f(x ＋ h) − f(x) ＝ 4(x ＋ h)2 − 4x2
＝ 4h(2x ＋ h)
よって
f'(x) ＝ lim
h→0
＝ lim
h→0
f(x ＋ h) − f(x)
h
4h(2x ＋ h)
h
＝ lim
4(2x ＋ h) ＝ 4 × 2x ＝ 8x
h→0
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〈例８〉で，(x2)' ＝ 2x であるから，次の式が成り立つ。
(4x2)' ＝ 4(x2)'
第 5 章　微分と積分
第 1 節　微分係数と導関数
第 69 回　導関数 ⑵
xn の導関数と公式
〈例９〉　関数f(x)＝x2＋xを微分してみよう。
f(x＋h)−f(x)＝{(x＋h)2＋(x＋h)}−(x2＋x)
＝h(2x＋h＋1)
よって
f'(x)＝ lim
h→0
＝ lim
h→0
f(x ＋ h) − f(x)
h
h(2x ＋ h ＋ 1) lim
＝ h → 0 (2x＋h＋1)＝2x＋1
h
〈例９〉で，(x2)' ＝ 2x，(x)' ＝ 1 であるから，次の式が成り立つ。
(x2＋x)'＝(x2)'＋(x)'
一般に，次のことが成り立つ。
導関数の公式
定数 k について　{kf(x)}'＝kf'(x)
{f(x)＋g(x)}'＝f'(x)＋g'(x)
{f(x)−g(x)}'＝f'(x)−g'(x)
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第 70 回　導関数 ⑶
第 5 章　微分と積分
第 1 節　微分係数と導関数
講師：水 谷 信 也 導関数の計算
導関数の公式を用いて，いろいろな関数を微分できるようにす
るとともに，導関数を用いて微分係数を求めてみよう。
導関数の公式の使い方
導関数を求める
微分係数の計算
導関数の公式の使い方
前回学習した導関数の公式などをもう一度確認しておこう。
xn 導関数
n ＝ 1，2，3 のとき　(xn)'＝nxn−1　関数 f(x)＝c の導関数
f'(x)＝(c)'＝0　導関数の公式
定数 k について　{kf(x)}'＝kf'(x)
{f(x)＋g(x)}'＝f'(x)＋g'(x)
{f(x)−g(x)}'＝f'(x)−g'(x)
導関数を求める
【例題１】　関数 y＝x3−2x2−3を微分しなさい。
【解】　y'＝(x3−2x2−3)'
＝(x3)'−(2x2)'−(3)'
＝(x3)'−2(x2)'−(3)'＝3x2−2×2x−0＝3x2−4x　【例題２】　関数 y＝(x−1)(2x＋3)を微分しなさい。
【解】　y＝(x−1)(2x＋3)＝2x2＋x−3　であるから。
y'＝(2x2＋x−3)'
＝2(x2)'＋(x)'−(3)'＝2×2x＋1−0＝4x＋1
微分係数の計算
微分係数 f'(a) を求めるには，導関数 f'(x) の x に a を代入すればいい。
導関数を利用して，微分係数を求めてみよう。
〈例10〉　関数 f(x) ＝x2＋x−2について，x＝-3における微分係数 f'(-3)
を求めてみよう。
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第 5 章　微分と積分
第 1 節　微分係数と導関数
第 70 回　導関数 ⑶
導関数の計算
f(x)を微分すると　f'(x)＝2x＋1
よって　f'(-3)＝2×(-3)＋1＝-5
■微分係数の求め方
f(x)　［関数］
f'(x)　［導関数］
f'(a)　［微分係数］
x ＝ a を代入
微分する　《問８》　関数 f(x)＝3x2-2x＋3について，x＝-2，x＝1における微分係
数をそれぞれ求めなさい。
f'(1) ＝ 6 × 1-2 ＝ 4
よって　f'(-2) ＝ 6 × (-2)-2 ＝ -14
f(x) を微分すると　f'(x) ＝ 6x-2
《問８　解答》　高校講座・学習メモ
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