シリーズ・4年下・第16回 基本問題・練習問題のくわしい解説 すぐる学習会

シリーズ・４年下・第１６回
基本問題・練習問題のくわしい解説
※
※
※
※
直方体の体積＝たて×横×高さ
柱体の体積＝底面積×高さ
表面積は，「前後左右上下」から見た面積の和
展開図から，組み立てたときの立体を想像しましょう。
目
基本 1
基本 2
基本 3
基本 4
基本 5
基本 6
練習 1
練習 1
練習 2
練習 2
練習 3
練習 3
練習 4
練習 4
練習 5
練習 5
チャレンジ
次
…p.1
…p.1
…p.2
…p.4
…p.4
…p.5
(1)…p.8
(2)…p.9
(1)…p.10
(2)…p.11
(1)…p.13
(2)…p.14
(1)…p.16
(2)…p.17
(1)…p.19
(2)…p.20
…p.21
すぐる学習会
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
基本 1
立方体の体積＝１辺×１辺×１辺＝ 4 × 4 × 4 ＝ 64（㎝3）。
1 辺が 4 ㎝の立方体には，4 × 4 ＝ 16（㎝2）の面が，全部で
6 面あるので，表面積は，16 × 6 ＝ 96（㎝2）。
2
4cm
16cm
4cm
基本 2
直方体の体積＝たて×横×高さ＝ 4 × 5 × 7 ＝ 140（㎝3）。
右の図のアの面積は 4 × 5，イの面積は 7 × 5，ウの面積は
7 × 4 で求められ，それぞれの面のうらにも，同じ面積の長
方形があるので，この直方体の表面積は，
（ 4 × 5 ＋ 7 × 5 ＋ 7 × 4 ）× 2 ＝ 83 × 2 ＝ 166（㎝2）。
ア
ウ
7cm
イ
4cm
5cm
-1 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
基本 3
24cm
かげをつけた部分を切り取り，
3cm
18cm
3cm
右の図のようにしました。
24cm
18cm
イ
右の図のアの長さは，18 － 3 × 2 ＝ 12（㎝）です。
また，イ 2 つと 3 ㎝が 2 つで 24 ㎝ですから，
イ 2 つは，24 － 3 × 2 ＝18（㎝）です。
よってイは，18 ÷ 2 ＝ 9（㎝）です。
イ
3cm
24cm
ア
18cm
立体的に書くと，右の図のようになっています。
3cm
9cm
12cm
点線のところで折っていって，
3cm
9cm
12cm
（次のページへ）
-2 -
3cm
右の図のようにくっつけて，
12cm
9cm
さらにのこりの面も折っていって，
12cm
9cm
3cm
くっつけて，
12cm
3cm
9cm
さらに，ふたの部分の面も折っていって，
12cm
3cm
9cm
くっつけると，右の図のような直方体ができます。
直方体の体積は，「たて×横×高さ」ですから，
12 × 9 × 3 ＝ 324（㎝3）になります。
12cm
3cm
9cm
-3 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
基本 4
この立体のたては 3 ㎝，横は 3 × 3 ＝ 9（㎝），
高さは 3 ㎝です。
3cm
3cm
2
前・後・上・下の面は，3 × 9 ＝ 27（㎝ ）です。
左と右の面は，3 × 3 ＝ 9（㎝2）です。
9cm
27 ㎝2 が 4 面と，9 ㎝2 が 2 面ですから，表面積は，27 × 4 ＋ 9 × 2 ＝ 126（㎝2）になり
ます。
基本 5
この立体を前から見ると，5 × 5 ＝ 25（㎝2）の正方形が
3 面見えますから，25 × 3 ＝ 75（㎝2）になります。
後ろから見ても，75 ㎝2 です。
5cm
左から見ても，右から見ても，やはり 75 ㎝2 で，
5cm
上から見ても，下から見ても，やはり 75 ㎝2 です。
結局，前・後・左・右・上・下のどこから見ても
75 ㎝2 ですから，この立体の表面積は，75 × 6 ＝ 450
（㎝2）になります。
5cm
-4 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
基本 6
体積は，右の図のかげをつけた面が，
9㎝
6㎝
12㎝
5㎝
10㎝
左へ 10 ㎝ぶん，ぐーんと動いたイメージです。
体積は，「 かげをつけた面の面積× 10 」で
求めることができます。
9㎝
6㎝
12㎝
5㎝
10㎝
かげをつけた面は，右の図のような形をしています。
6㎝
9㎝
5㎝
12㎝
かげをつけた面の面積は，5 × 6 ＋ 9 × ( 12 － 6 ) ＝ 84
（㎝2）です。
6㎝
9㎝
5㎝
12㎝
（次のページへ）
-5 -
よって，この立体の体積は，84 × 10 ＝ 840（㎝3）
になります。
9㎝
6㎝
12㎝
5㎝
10㎝
また，表面積は，すべての面の面積の合計です。
まず，右の図のように
はずします。
２つをカパッと
10㎝
残りの面は，右の図のようにして，まっすぐに
していくと，
10㎝
下の図のような，1まいの長方形になります。
長方形のたての長さは 10 ㎝で，横の長さは，
のまわりの長さになります。
10㎝
のまわりの長さ
（次のページへ）
-6 -
のまわりの長さは，右の図のようにへこんでいるとこ
9㎝
ろをたたいて，
12㎝
右の図のような長方形にしても，まわりの長さは変わりま
せん。
9㎝
まわりの長さは，( 9 ＋ 12 ) × 2 ＝ 42（㎝）になります。
12㎝
よって，右の
長方形の面積は，
10 × 42 ＝ 420（㎝2）10㎝
になります。
42㎝
カパッとはずした
ります。
の面積は，体積を求めるときに 84 ㎝2 であることを求めてあ
よって，立体の表面積は，420 ＋ 84 × 2 ＝ 588（㎝2）になります。
-7 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 1 (1)
20cm
かげをつけた部分を切り取ると，
20cm
6cm
右の図のようになります。
20cm
20cm
6cm
20cm
この図を，点線で折り曲げていきます。
20cm
6cm
右の図のように折り曲げていって，
6cm
くっつけます。
（次のページへ）
-8 -
6cm
さらに，右の図のように折り曲げていって，
6cm
くっつけると，直方体になります。
6cm
折り曲げる前の図において，アとウの長さは
等しく，イは 6 ㎝です。
よって，アやウの長さは，
( 20 － 6 × 2 ) ÷ 2 ＝ 4（㎝）になります。
20cm
ア
20cm
イ
ウ
6cm
エ
右の図のカは 4 ㎝です。
エも 4 ㎝になるので，オの長さは，
20 － 4 × 2 ＝ 12（㎝）になります。
オ 20cm
6cm
4cm
カ
組み立ててできた直方体のたて・横・高さはそれぞれ，
12 ㎝・6 ㎝・4 ㎝になります。
よって，この直方体の体積は，12 × 6 × 4 ＝ 288（㎝3）
になります。
20cm
4cm
6cm
12cm
6cm
4cm
練習 1 (2)
組み立ててできた直方体の，前と後ろの面は，どちらも，
4 × 6 ＝ 24（㎝2）です。
左と右の面は，どちらも，4 × 12 ＝ 48（㎝2）です。
上と下の面は，どちらも，12 × 6 ＝ 72（㎝2）です。
12cm
6cm
4cm
よって，この直方体の表面積は，( 24 ＋ 48 ＋ 72 ) × 2 ＝ 288（㎝2）になります。
-9 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 2 (1)
1 まい 1 まいの板の体積の和を求めるのは，めんどうなのでやめましょう。
それよりも，中がうまっているものとして，
直方体全体の体積を求めて，
17cm
12cm
9cm
中の部分をくりぬいたのこりが，板の体積に
なる求め方の方が，簡単です。
直方体全体の体積は，12 × 17 × 9 ＝ 1836（㎝3）
です。
17cm
12cm
くりぬく
9cm
17cm
12cm
9cm
17cm
板の厚さは 1 ㎝ですから，くりぬく部分の
たての長さは，12 － 1 × 2 ＝ 10（㎝）です。
横の長さは，17 － 1 × 2 ＝ 15（㎝）です。
12cm
くりぬく
横
たて 9cm
（次のページへ）
- 10 -
くりぬく部分の深さは，右の図のように，9 － 1 ＝ 8（㎝）
です。
たてや横と同じく 9 － 1 × 2 ＝ 7 とするミスや，
深さが 9 ㎝であるというミスが多いので，注意しましょう。
（くりぬく深さが 9 ㎝だと，底がぬけてしまうので，「箱」
とはいえず，「つつ」になってしまいます。）
深さ
9cm
くりぬく部分のたては 10 ㎝，横は 15 ㎝，深さは 8 ㎝ですから，くりぬく部分の体積
は，10 × 15 × 8 ＝ 1200（㎝3）です。
くりぬく前の体積は 1836 ㎝3 ですから，板の体積は，1836 － 1200 ＝ 636（㎝3）になり
ます。
練習 2 (2)
17cm
表面積は，すべての面の面積の合計です。
12cm
9cm
2
前から見える面の面積は，9 × 17 ＝ 153（㎝ ）
です。後ろから見える面も同じです。
右
前
2
右から見える面の面積は，9 × 12 ＝ 108（㎝ ）
です。左から見える面も同じです。
17cm
上から見える面は，右の図のかげをつけた部分
だけではありません。なぜなら，
12cm
9cm
17cm
上からのぞきこむと，箱の底の面も見えるから
です。
上から見える面は，
合わせて
と
ですから，
となり，12 × 17 ＝ 204（㎝2）です。
（次のページへ）
- 11 -
12cm
9cm
下から見える面も同じです。
ここまでを整理すると，次のようになります。
前と後ろから見える面…それぞれ 153 ㎝2
右と左から見える面 …それぞれ 108 ㎝2
上と下から見える面 …それぞれ 204 ㎝2
合計は，( 153 ＋ 108 ＋ 204 ) × 2 ＝ 930（㎝2）になります。
他に，箱の中に 4 面があります。
17cm
4 面のうちの 2 面は，右の図のような長方形です。
12cm
9cm
長方形のたての長さは，9 － 1 ＝ 8（㎝）です。
長方形の横の長さは，12 － 1 × 2 ＝ 10（㎝）です。
長方形の面積は，8 × 10 ＝ 80（㎝2）です。
2 面あるので，80 × 2 ＝ 160（㎝2）です。
17cm
のこりの 2 面は，右の図のような長方形です。
12cm
長方形のたての長さは，9 － 1 ＝ 8（㎝）です。
長方形の横の長さは，17 － 1 × 2 ＝ 15（㎝）です。
長方形の面積は，8 × 15 ＝ 120（㎝2）です。
2 面あるので，120 × 2 ＝ 240（㎝2）です。
以上のことから，この箱の表面積は，930 ＋ 160 ＋ 240 ＝ 1330（㎝2）になります。
- 12 -
9cm
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 3 (1)
12cm
右の図のように，直方体 3 個に分けて求めます。
4cm
奥の直方体は，たてが 6 ㎝，横が 12 ㎝，
高さが 4 ㎝です。
体積は，6 × 12 × 4 ＝ 288（㎝3）です。
手前の左側の直方体は，たて（ア）は
15 － 6 ＝ 9（㎝），横（ウ）は 10 － 5 ＝ 5（㎝），
高さ（イ）は 4 ㎝です。
体積は，9 × 5 × 4 ＝ 180（㎝3）です。
15cm
ア
イ
5cm
6cm
エ
ウ
10cm
2cm
手前の右側の直方体は，たて（エ）はアと同じく 9 ㎝，横は 5 ㎝，高さは 2 ㎝です。
体積は，9 × 5 × 2 ＝ 90（㎝3）です。
よって，この立体の体積は，288 ＋ 180 ＋ 90 ＝ 558（㎝3）になります。
- 13 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 3 (2)
表面積は，「前・後・左・右・上・下」から見て，求めます。
12cm
前から見ると，右の図のかげをつけた部分が
見えます。
4cm
15cm
5㎝
6cm
10cm
2cm
12cm
前から見える面の面積は，後ろから見える
面積と同じですから，4 × 12 ＝ 48（㎝2）です。
4cm
15cm
5㎝
6cm
2
前・後合わせて，48 × 2 ＝ 96（㎝ ）です。
10cm
2cm
12cm
右から見ると，右の図のかげをつけた部分が
見えます。
4cm
15cm
5㎝
6cm
10cm
- 14 -
2cm
12cm
右から見える面の面積は，左から見える
面積と同じですから，4 × 15 ＝ 60（㎝2）です。
4cm
15cm
5㎝
6cm
2
右・左合わせて，60 × 2 ＝ 120（㎝ ）です。
10cm
2cm
12cm
上から見ると，右の図のかげをつけた部分が
見えます。
4cm
15cm
5㎝
6cm
10cm
2cm
12cm
上から見える面の面積は，下から見える
面積と同じです。
4cm
15cm
たて 15 ㎝，横 12 ㎝の長方形から，★の
部分の長方形を引けばＯＫです。
5㎝
6cm
★
★の部分は，たてが 15 － 6 ＝ 9（㎝），
横は 12 － 10 ＝ 2（㎝）です。
10cm
2cm
したがって，15 × 12 － 9 × 2 ＝ 162（㎝2）に
なります。
上・下合わせて，162 × 2 ＝ 324（㎝2）です。
整理すると，前・後合わせて 96 ㎝ 2，右・左合わせて 120 ㎝ 2，上・下合わせて 324 ㎝ 2
ですから，この立体の表面積は，96 ＋ 120 ＋ 324 ＝ 540（㎝2）になります。
- 15 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 4 (1)
6cm
体積は，右の図のかげをつけた面が，
奥の方へχ㎝ぶん，ぐーんと動いたイメー
ジです。
よって，「かげをつけた面の面積×χ」
が，体積である 385 ㎝3 になります。
4cm
5cm
3cm
5cm
χ
15cm
ウ
かげをつけた部分は，右の図のように
なっています。
アは，4 ＋ 3 ＝ 7（㎝）です。
イは，7 － 5 ＝ 2（㎝）です。
ウは，15 － ( 6 ＋ 5 ) ＝ 4（㎝）です。
6cm
イ
4cm
5cm
ア
5cm
3cm
よって，かげをつけた部分の面積は，
7 × 15 － ( 2 × 4 ＋ 4 × 5 ) ＝ 77（㎝2）です。
15cm
77 ×χ＝ 385 ですから，χ＝ 385 ÷ 77 ＝ 5（㎝）になります。
- 16 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 4 (2)
前と後ろにある，かげをつけた面を，
カパッとはがします。
はがしたあとは，右の図のようになって
います。
ハサミを入れてからまっすぐにしていくと，
下の図のような長方形になります。
長方形のたての長さは，(1)で求めた通り 5 ㎝です。
横の長さは，かげをつけた部分のまわりの長さになります。
5cm
のまわりの長さ
（次のページへ）
- 17 -
かげをつけた部分のまわりの長さは，
右の図のようにへこんでいるところを
たたいて，
7cm
15cm
右の図のような長方形にしても，
まわりの長さは変わりません。
7cm
まわりの長さは，( 15 ＋ 7 )× 2＝ 44（㎝）
です。
15cm
よって，下の長方形の面積は，5 × 44 ＝ 220（㎝2）になります。
5cm
のまわりの長さ
他に，かげをつけた面の面積は，
(1)で求めた通り 77 ㎝2 です。
2 面ありますから，77 × 2 ＝ 154
（㎝2）です。
したがって，表面積は，220 ＋ 154 ＝ 374（㎝2）になります。
- 18 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 5 (1)
立方体の個数を，きちんとかぞえましょう。
右の図のように分けると，一番上の段には 1 個あり，
2 段目には 4 個あり，
3 段目には 6 個あり，
4 段目には 8 個あることがわかります。
全部で，1 ＋ 4 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 19（個）あることになります。
立方体の 1 辺は 2 ㎝ですから，1 個の立方体の体積は，2 × 2 × 2 ＝ 8（㎝3）です。
立方体は19個あるので，この立体の体積は，8 × 19 ＝ 152（㎝3）になります。
- 19 -
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
練習 5 (2)
右の図のように，こちらから見えている面は，27 面
あります。
反対側からも，やはり27 面見えるので，全部で，
27 × 2 ＝ 54（面）が見えます。
1 つの面は正方形で，1 辺は 2 ㎝ですから，面積は，
2 × 2 ＝ 4（㎝2）です。
全部で 54 面あるので，表面積は，4 × 54 ＝ 216（㎝2）
になります。
- 20 -
1
3
2
5
4
7
8
9
6
10 11
13
19
12
17 18
16
14 15
21
27
20
26
25
22 23 24
シリーズ４下第１６回
くわしい解説
チャレンジ
7cm
右の図の，矢印の方向を，「前」とします。
4cm
5cm
2cm
前
7cm
前から見た面の面積は，( 4 ＋ 2 ) × 7 ＝ 42（㎝2）です。
後ろから見ても，同じです。
4cm
2cm
右から見ると，2 × 5 ＝ 10（㎝2）と，アの面に
なります。左から見ても，同じです。
5cm
ア
7cm
上から見ると，5 × 7 ＝ 35（㎝2）と，イの面になり
ます。下から見ても，同じです。
イ
5cm
以上，整理すると，右の表のようになります。
全部で，( 42 ＋ 10 ＋ 35 ) × 2 ＝ 174（㎝2）と，
「アアイイ」になり，それが 265 ㎝2 ですから，
「アアイイ」は，265 － 174 ＝ 91（㎝2）です。
（次のページへ）
- 21 -
前
後
右
左
上
下
…
…
…
…
…
…
42 ㎝2
42 ㎝2
10 ㎝2
10 ㎝2
35 ㎝2
35 ㎝2
と，ア
と，ア
と，イ
と，イ
4cm
2cm
7cm
「アアイイ」は，右の図のようになっています。
ア
イ
4cm
ア
イ
切って広げると，右の図の
ようになります。
χ
面積は 91 ㎝2で，横の長さ
は，( 6 ＋ 7 ) × 2 ＝ 26（㎝）
ですから，χの長さは，
91 ÷ 26 ＝ 3.5（㎝）になります。
6cm
ア
イ
7cm
イ
ア
3.5cm
右の図のようになるので，この立体の体積は，
3.5 × 7 × 4 ＋ ( 3.5 ＋ 5 ) × 7 × 2 ＝ 217（㎝3）
になります。
7cm
4cm
5cm
- 22 -
6cm
7cm
2cm
2cm