数学基礎公式集

数学基礎公式集
宮川 勇人
2009 年 8 月 20 日
目次
三角関数
3
1.1
三角関数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
三角関数の加法定理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
三角関数の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2
対数
5
3
微積分
6
3.1
連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Landau の記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
導関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.4
導関数の諸性質 (1) ∼ ライプニッツ則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.5
三角関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.6
指数・関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.7
偏微分と全微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.8
導関数の諸性質 (2) ∼ 逆関数・陰関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.9
曲率と曲率半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.10
不定積分いろいろ (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.11
多項式／多項式 の積分方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.12
三角関数の積分
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.13
置換積分の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.14
部分積分の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1
3.15
不定積分いろいろ (2) ∼ 部分積分の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.16
定積分いろいろ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.17
座標変換とヤコビアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
極値問題
32
4.1
二変数陽曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2
ヘッセの判別式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4
1
級数
36
5.1
数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.2
極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.3
テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.4
級数展開 (多項式近似) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.5
オイラーの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.6
ラウエ関数
40
5.7
双曲線関数 hyperbolic sin, hyperbolic cos, hyperbolic tan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.8
数列の和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.9
無限級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
複素数
46
6.1
複素数の和・積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.2
複素関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
フーリエ級数・フーリエ積分
47
7.1
フーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
7.2
フーリエ級数いろいろ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.3
複素フーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5
6
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1 三角関数
sin θ =
a
,
c
cos θ =
b
,
c
tan θ =
b
a
それぞれ 正弦、余弦、正接 という。
図1
cosec θ =
1
,
sin θ
三角関数の説明の図
sec θ =
1
,
cos θ
cot θ =
1
tan θ
それぞれ 余剰、正割、余接 という。
逆関数 (inverse) は
1.1
arcsin θ = sin−1 θ,
arccos θ = cos−1 θ,
arctan θ = tan−1 θ
三角関数の性質
sin2 θ + cos2 θ = 1
sin 関数は奇関数 sin (−θ) = − sin θ,
tan 関数も奇関数 tan (−θ) = − tan θ
cos 関数は偶関数 cos (−θ) = cos θ
周期 2π を持つ
sin θ = sin (θ ± 2πn) ,
cos θ = cos (θ ± 2πn) ,
tan θ = tan (θ ± 2πn)
区間 [−π, π] に等価な点は 4 つ (符号に注意)
− sin (π + θ) = − sin (−θ) = sin θ = sin (π − θ)
− cos (π + θ) = cos (−θ) = cos θ = − cos (π − θ)
tan (π + θ) = − tan (−θ) = tan θ = − tan (π − θ)
わりと大事な関係
sin θ = cos
3
π
2
−θ
図 2 sin 関数
図 3 cos 関数
図 4 tan 関数
1.2
三角関数の加法定理
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ = 1 − 2 sin2 θ = 2 cos2 θ − 1
1.3
sin2 θ =
1 − cos 2θ
2
cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
三角関数の合成
基本
A sin θ + B cos θ =
ただし、cos φ =
√ A
,
A2 +B2
√
A2 + B2 sin (θ + φ)
sin φ =
√ B
,
A2 +B2
tan φ =
B
A
発展その 1 (同周期だが、位相が θ ずれている波の重ね合わせ)
A sin (ωt) + B sin (ωt + θ) =
√
A2 + B2 + 2AB cos θ sin (ωt + φ)
4
ただし、cos φ =
√
A+B cos θ
,
A2 +B2 +2AB cos θ
sin φ =
√
B sin θ
,
A2 +B2 +2AB cos θ
tan φ =
(証明)
A sin (ωt) + B sin (ωt + θ)
= A sin (ωt) + B sin (ωt) cos θ + B cos (ωt) sin θ
= (A + B cos θ) sin (ωt) + (B sin θ) cos (ωt)
と変形し、上述の合成を使う。(証明終り)
発展その 2 (同周期・同振幅の波の重ね合わせ)
θ − φ
θ + φ
sin (ωt + θ) + sin (ωt + φ) = 2 sin ωt +
cos
2
2
θ+φ
θ − φ
sin (ωt + θ) − sin (ωt + φ) = 2 cos ωt +
sin
2
2
θ − φ
θ+φ
cos
cos (ωt + θ) + cos (ωt + φ) = 2 cos ωt +
2
2
θ+φ
θ − φ
cos (ωt + θ) − cos (ωt + φ) = −2 sin ωt +
sin
2
2
(証明) α = ωt + θ, β = ωt + φ とおけば、
sin (ωt + θ) + sin (ωt + φ) = sin α + sin β
さらに、A =
α+β
2 ,
B=
α−β
2
とおけば、
sin α + sin β = sin (A + B) + sin (A − B)
= sin A cos B + cos A sin
cos B − cos A sin B
B+
sin Aα−β
= 2 sin A cos B = 2 sin α+β
cos
2
θ−φ2 = 2 sin ωt + θ+φ
cos
2
2
他も同様。(証明終り)
2 対数
log の定義：a を 何乗すれば b になるか
loga b =
logc b ln b
=
logc a ln a
a x = etx ただし t = ln a
5
B sin θ
A+B cos θ
3 微積分
連続性
3.1
¶連続の条件
³
関数 f (x) が x = a で連続ならば、
∀
ε > 0,
∃
δ > 0,
|x − a| > δ → | f (x) − f (a)| < ε
任意の ε について、ある δ を考えれば、a − δ < x < a + δ の範囲で f (a) と f (x) の差は ε 以下である。
µ
´
∀
一様連続 : a ∈ M (M に属する全ての点) について 連続
¶中間値の定理
³
f (x) が区間 [a, b] で連続であり f (a) = α, f (b) = β なら、
α < γ < β (または逆向き) の γ を f (c) = γ で定義できるとき
a < c < b (または逆向き) となる c が存在する
µ
¶最大値最小値の定理
´
³
有界な閉区間で連続関数は最大値と最小値を持つ
µ
¶ローレ (Rolle) の定理
´
³
連続した関数 f (x) について、 f (a) = f (b) ならば、
∃ 0
f (c) = 0
(a < c < b)
「 x = a, x = b で f (x) が同じ値ならば、[a, b] 間に 平らな (傾きがゼロの) 点 C がある」
µ
¶平均値の定理
C 1 級の関数 f (x) について、
f0
f (b) − f (a)
∃
c =
b−a
´
³
(a < c < b)
となる c が存在する。
「 座標 (a, f (a)) と (b, f (b)) とを直線で結んだとき、[a, b] 間に、この直線と同じ傾きをもつ点 C がある」
µ
´
¶コーシー (Cauchy) の平均値の定理
³
C 1 級の関数 f (x), g (x) について、 x = ∃ c なる点において
f 0 (c)
f (b) − f (a)
=
g0 (c)
g (b) − g (a)
(a < c < b)
が成り立つ。
µ
m
´
∞
C 級 : 最低 m 回 は微分可能という意味。 C : 無限に微分可能。
6
C 2 級 の関数 f (x, y) について
∂ ∂
∂ ∂
f =
f
∂x ∂y
∂y ∂x
が成り立つ。(つまり順番によらない)
3.2 Landau の記号
lim u = 0 ならば、u を x → a のときの「無限小」という。
x→a
lim
v
= 0 ならば、v を「 u に対する行為の無限小」といい、v = o (u) と表す。( v は u より速く 0 に近づく)
u
lim
v
, 0 ならば、v を「 u と同位の無限小」といい、v = O (u) と表す。
u
x→a
x→a
3.3
導関数の定義
f 0 (x) = lim
∆x→0
3.4
f (x + ∆x) − f (x)
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
∆x
導関数の諸性質 (1) ∼ ライプニッツ則
(c · u)0 = c · u0
(u ± v)0 = u0 ± v0
(u · v)0 = u0 · v + u0 · v
u 0 u0 · v − u0 · v
=
v
v2
(u · v · w)0 = u0 · v · w + u · v0 · w + u · v · w0
¶ライプニッツ (Leibniz) の法則
³
関数 f, g が C m 級ならば、
( f · g)(n) =
n
X
nCk
f (n−k) · g(k)
k=0
例
( f · g)00 = f 0 · g + f · g0 0 = f 00 · g + 2 f 0 · g0 + f · g0
( f · g)(3) = f (3) · g + 3 f (2) · g(1) + 3 f (1) · g(2) + f · g(3)
この展開は二項定理と同じ
µ
´
ライプニッツは微分法の発展に多大な貢献をした人物で、ニュートンと名を連ねるほど、数学では有名らしい。
7
3.5
三角関数の微分
d
(sin x) = cos x
dx
d
(cos x) = − sin x
dx
d
1
(tan x) =
= sec2 x
dx
cos2 x
d −1 1
sin x = √
dx
1 − x2
d −1 1
cos x = − √
dx
1 − x2
1
d −1 tan x =
dx
1 + x2
3.6
指数・関数の微分
d x
e = ex
dx
d x
a = (ln a) · a x
dx
d
1
ln x =
dx
x
d
f 0 (x)
ln f =
dx
f (x)
!0
d
ln x
1 1
loga x =
=
·
dx
ln a
ln a x
8
3.7
偏微分と全微分
f (x, y, · · ·) において、変数 x, y, · · · がそれぞれ独立とする。
偏微分 : そのうちの一つの変数 x のみ動かすときの増加率を表す。
f (x + ∆x, y, · · ·) − f (x, y, · · ·)
∂f
=
∂x |
∆x
{z
}
x のみパラメータとして扱う
全微分 : すべての変数が 少しずつ動くときの 増加率は、次のような 偏微分の線形結合で表される
(Chain rule とかいうらしい)
df =
!
!
∂f
∂f
dx +
dy + · · ·
∂x
∂y
例) x, y, z が パラメータ t で x (t) , y (t) , z (t) と記述される場合 (つまり、3 次元空間の曲線上を動く場合) は、
!
!
!
df
∂ f dx
∂ f dy
∂ f dz
=
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
dy dz
注意：ここで dx
dt , dt , dt は曲線の接線方向のベクトル (接ベクトル) であり、
大きさは t の変化に対する速度を表す。
¶接平面の法線ベクトル
³
曲面 f (x, y, z) = 0 上の点 (a, b, c) における接平面の法線ベクトルは
→
−n = ∂ f (a, b, c) , ∂ f (a, b, c) , ∂ f (a, b, c)
∂x
∂y
∂z
!
µ
´
(証明)
その曲面上にあり、点 (a, b, c) を通る曲線をパラメータ t で (x (t) , y (t) , z (t)) と表す。
つまり f (x (t) , y (t) , z (t)) = 0. また、t = 0 にて (a, b, c) となるようにする。 x (0) = a,
y (0) = b, z (0) = c. 全微分を t = 0 について考えると
!
!
!
df
∂ f dx
∂ f dy
∂ f dz
=
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
=0
(曲線上を動く限り t の変化で f は変化しないので この全微分は 0) この式は 接ベクトル
と 法線ベクトル が直交していることを証明している。(証明終り)
9
3.8
導関数の諸性質 (2) ∼ 逆関数・陰関数の微分
d f (x)
= f 0 (x)
dx
d
d f dg
f (g (x)) =
·
dx
dg dx
¶逆関数の微分
³
条件 y = f (x) を x について解いた逆関数 x = f −1 (y) について、
その微分は
dx
1
!
=
dy
dy
dx
となる。(つまり陽関数の逆数)
µ
(証明)
y = f (x) を y で微分すれば、1 =
d f dy
df
dy
·
よって
= 1/
dy dx
dy
dx
´
!
(証明終り)
¶パラメータ関数の微分
³
パラメータ t で陽に表される関数 x (t) , y (t) について、 x に対する y の変化率は
!
dy
dt
dy(t)
!
=
dx(t)
dx
dt
µ
!
(証明)
y (x) を t で微分すれば、
dy
dx
dy dy dx
dy
=
·
よって
=
/
dt
dx dt
dx
dt
dt
¶陰関数の微分
´
!
(証明終り)
³
条件 F (x, y) = 0 を y について解いた陰関数 y = f s (x) について、その微分は
!
∂F
∂x
dy
!
=−
dx
∂F
∂y
となる。(負の符号に注意)
µ
!
(証明)
全微分の式より、dF =
´
!
∂F
∂F
dx +
dy
∂x
∂y
= 0 : 条件より
これを x で微分すれば、
!
!
∂F dy
∂F
+
= 0 よって
∂x
∂y dx
(証明終り)
10
!
!
dy
∂F
∂F
=−
/
dx
∂x
∂y
補足 1：逆関数の (高階の) 微分
陽関数 y = f (x) の 逆関数を x = g (y)
= f −1 (y) とする。
今、陽関数の微分 f x (x) , f xx (x) , f xxx (x) , · · · が求まっている時、
逆関数の微分 gy (y) , gyy (y) , gyyy (y) , · · · を求める方法を考えてみる。
(以下では、いちいちパラメータ y を用いて記述すると混乱するので、 f を y の代わりに使う。)
g ( f (x)) = x
を x で微分して
g f · f x = 1 (∗1)
∴
1
g f = gy =
fx
(∗1) を さらに x で微分すると
g f x · f x + g f · f xx = g f f · f x · f x + g f · f xx = 0
g f f · ( f x )2 + g f · f xx = 0
g f f · ( f x )2 +
(∗2)
f xx
=0
fx
∴
gf f = −
f xx
( f x )3
(∗2) を さらに x で微分して整理すると
g f f f · ( f x )3 + 3g f f · ( f x · f xx ) + g f · ( f xxx ) = 0
g f f f · ( f x )3 − 3
(∗3)
( f xx )2
f xxx
=0
+
2
fx
( fx )
∴
gf f f =
( f xx )2
( f x )5
−
f xxx
( f x )4
同様に (∗3) を微分して整理すると
g f f f f · ( f x )4 + 6g f f f · ( f x )2 · f xx + g f f · 3 ( f xx )2 + 4 f x · f xxx + g f · ( f xxxx ) = 0
g f f f f · ( f x )4 + 15
( f xx )3
( f xx · f xxx ) f xxxx
− 10
+
=0
fx
( f x )3
( f x )2
∴
g f f f f = −15
( f xx · f xxx ) f xxxx
( f xx )3
+ 10
−
7
( fx )
( f x )6
( f x )5
(規則性はイマイチ不明であるが)
同様にすれば、点 (x, y) における逆関数の (高階の) 微分を
もとの陽関数の微分値を使って (数値的に) 計算することができる
11
補足 2：陰関数の二階微分
条件 F (x, y) = 0 により陰に関係づけられた x, y についてその 2 階微分
!
!
d2 y
d2 x
,
を考える。
dx2
dy2
(以下 添え字の x, y は 偏微分を表す)
全微分より
dF =
∂F
∂F
dx +
dy
∂x
∂y
=
F x dx + Fy dy
=
0
∴
Fy
dy
=− ,
dx
Fx
dx
Fx
=−
dy
Fy
2 階微分を求めるにあたり、あらかじめ次の計算をしておく。
!
∂F x
= F xx + F xy
∂x
!
∂Fy
= F xy + Fyy
dx + Fyy dy より Fyy =
∂x
!
∂2 F
ここで F xy = Fyx =
や
∂x∂x
d (F x ) = F xx dx + F xy dy より
d Fy = F xy
F xx =
dFy
, F xy
dx
dF x
, F xx ,
dx
dy
dx
dy
dx
に、注意する。
さて、実際に 2 階微分を計算すると
!
d
d
− F xy + Fyy
d dy
dx F y F x − F y dx F y
=−
=
dx dx
(F x )2
=
=
−F xy F x − Fyy
dy
dx F x
+ Fy F xx + Fy F xy
dy
dx
(F x )2
−F xy F x + Fyy Fy + Fy F xx − Fy F xy
(F x )2
Fy
Fx
=
=
dy
dx
F x + Fy F xx + F xy
dy
dx
(F x )2
−F xy F x + Fyy
Fy
Fx F x
+ Fy F xx − Fy F xy
Fy
Fx
(F x )2
2
−F xy (F x )2 + Fyy Fy F x + Fy F xx F x − Fy F xy
(F x )3
∴
x, y は対等な変数なので、同様に
2
2
d2 y F x Fy F xx + Fyy − F x + Fy F xy
=
dx2
F 3x
2
2
d2 x F x Fy F xx + Fyy − F x + Fy F xy
=
dy2
Fy3
(分母の添え字のみ変化している)
さらに高階の微分も計算できるが、
面倒なので、略！
12
3.9
曲率と曲率半径
定義
ある曲線の上に基点 O をとる。基点 O から曲線上を 距離 s だけ進んだ位置を 点 P と
−r (s) とする。
し、その位置ベクトルを →
→
−
→
−τ (s) = d r
ds
は、距離 s が増えるときの r の 変化 (率)、即ち 点 P の位置の変化 (=方向) を表してい
る。さらに、t の変化 (率) は
−τ
−r
d→
d2→
→
−
χ (s) =
=
ds
ds2
となるが、この絶対値
−τ d2→
−
d→
−
= r χ = →
χ (s) = ds ds2 =
1
R
!
を 曲率という。さらにこの逆数 R を曲率半径という。
解釈
今、点 P が曲線上を等速で運動するとすれば、 s (t) = v s t とかける。(v s : const)
すると速度ベクトルは
加速度ベクトルは
→
−
→
−
→
−v (t) = d r = d r · ds = v s→
−τ
dt
ds dt
→
−
→
−
→
−
→
−a (t) = d v = v s d τ = v s d τ · ds = v2→
−
sχ
dt
dt
ds dt
−v = →
−τ , →
−a = →
−
よって v s = 1 のときは、→
χ となる。つまり
「曲線上を 速度 1 で等速度運動する点が その場所で受ける加速度の大きさ が 曲率」
「その逆数が 曲率半径」
と解釈できる。
参考
−r
d→
は その点における 接線方向の単位ベクトルとなる。
ds
(微小変位 ds と dr の大きさは等しいため。|ds| = |dr| )
−τ (s) =
(1) ベクトル →
(2) 速度 1 で動く点 P が感じる加速度は、曲率半径 R の曲線上 と 半径 R の球の表面 とで 同じ。
(3) クロソイド曲線
曲率が χ = cs のように一定の割合で進行距離 (等速ならば経過時間) と共に変化する曲線
この曲線上を等速度運動する点が受ける加速度は一定の割合で徐々に変化する。
車の運転ではスピード一定でハンドルを一定の割合で変化させるときの経路。
(高速道路やジェットコースターで採用されている。コルニュの螺旋もこれに属す。)
13
¶二次元平面内の曲線における曲率
³
陽関数 y = f (x) で与えられる曲線の曲率は
s
1
=
R
dy
1−
dx
!
dy
dx
1+
d2 y
dx2
!
p
=
!2
(1 − f 0 ) f 00
1 + ( f 0 )2
陰関数 F (x, y) = 0 で与えられる曲線の曲率は
v
u
n
o
u
u
t F x + Fy F x Fy F xx + F xy − F xy F 2 + F 2
1
x
y
=
2
R
F 2x + Fy2
µ
´
(陽関数に関する証明)
曲線上を等速度 vc = 1 で運動する 点 P (x, y) の座標を 時間パラメータ t で表すことを考える。
速度ベクトルは
→
−v = dx , dy
dt dt
なので、その大きさより
s
dx
dt
!2
+
dy
dt
!
!2
=1
dy
与えられている曲線は y = f (x) と y について陽的だから、 dt =
dx
dt
!
s
dy
1+
dx
!2
=1
∴
dx
= q
dt
1
1+
dy
dx
·
dx
dt
を使って変形し
dy 2 = p
dx
1
1 + f x2
= g ( fx )
これは微分方程式であるため、陽的に (解析的に) 解が求まるかどうかは f (x) に依存する。とにかく、この方
程式の関係を満たすような
x = x (t)
y = y (t)
( = f (x (t)) )
は、時間 t によって速度 1 で等速度運動しており加速度は
2
2
→
−a = d x , d y
2
dt dt2
!
である。この大きさが曲率なので、これを計算すればいいが、その前に準備をする。
!
d2 x
d dx
d
dx d
d
df d
dg
(g) =
(g) = g ·
(g) = g ·
(g) = g f x
=
=
·
·
dt dt
dt
dt dx
dx
dx d f
df
dt2




1
f
x
 = − f x f xx = p
f xx − p
1 + f x2 2
1 + f x2
1 + f x2 3
14
!
!
!
!
d
d2 y
d dy
d dx dy
d
d
(g
)
f
=
=
=
=
g
f
+
g
f
x
x
x
dt dt
dt dt dx
dt
dt
dt
dt2
!
!
!
d2 x
d2 x
dx d
=
f
=
f
+
g
f x + g2 f xx
x
x
dt dx
dt2
dt2
よって曲率の二乗は
!
d2 x
(1 + f x ) + g2 f xx
=
dt2
− f x f xx (1 + f x ) + 1 + f x2 f xx − f x f xx + f xx (1 − f x ) f xx
f x f xx (1 + f x )
f xx
=−
=
+
=
=
1 + f x2
1 + f x2 2
1 + f x2 2
1 + f x2 2
1 + f x2 2
d2 x
dt2
!2
d2 y
+
dt2
!2
このルートが曲率 1/R となる。(証明終り)
(陰関数に関する証明)
上式の
dy !
1 − dx
(1 − f x ) f xx
d2 y
1
=
=
dy 2 2 dx2
R2
1 + f x2 2
1 + dx
に、(前節で述べた) 陰関数についての微分の式
Fy
dy
=− ,
dx
Fx
2
2
d2 y F x Fy F xx + Fyy − F x + Fy F xy
=
dx2
F 3x
を代入すればよい。すると
F
F x Fy F xx + Fyy − F 2x + Fy2 F xy
1 + F yx
1
=
F 2 2 ·
R2
F 3x
1 + F yx
=
o
F x + Fy n
2
2
2 F x Fy F xx + Fyy − F x + Fy F xy
F 2x + Fy2
このルートが曲率となる。(証明終り)
15
¶三次元空面内のパラメータ曲線における曲率
³
曲線の座標が パラメータ λ によって x = x (λ) , y = y (λ) , z = z (λ) と表される時、
その曲率は
v
u
u
u
t x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 − (xλ xλλ + yλ yλλ + zλ zλλ )2
λ
λ
λ
λλ
λλ
λλ
3
xλ2 + y2λ + z2λ
1
=
R
µ
´
(証明)
曲線上を等速度 vc = 1 で運動する 点 P (x, y, z) の座標を 時間パラメータ t で表すことを考える。
s
dx
dt
1=
!2
+
dy
dt
!2
+
dz
dt
!2
=
dλ
dt
!
s
dx
dλ
!2
+
dy
dλ
G (λ) ≡
dx
dλ
!2
+
dz
dλ
+
dy
dλ
!2
より、微分方程式
dλ
= q dt
dx 2
dλ
+
1
dy 2
dλ
+
1
= √
G (λ)
2
dz
dλ
:
!2
!2
+
dz
dλ
!2
を得る。これを満たす λ = λ (t) にしたがって 点 P が動けばそれは等速運動となる。
ここで、 xλ =
dx
dλ , · · ·
などの表記を使えば、
dλ
= q
dt
1
xλ2
+
y2λ
+
z2λ
1
= √ ,
G
G = xλ2 + y2λ + z2λ ,
Gλ = 2xλ xλλ + 2yλ yλλ + 2zλ zλλ
さて、ここで計算準備
!
!
!
!
dλ
1
Gλ
Gλ
d dλ
d
1
d 1
xλ xλλ + yλ yλλ + zλ zλλ
d2 λ
=
= √ · − √
=− 2 =− =
=
·
√
√
2
2
3
dt dt
dt
dt dλ G
dt
2G
G
G
2 G
x2 + y2 + z2
λ
λ
λ
これを使えば、
!
!
!
!
!2
d dx
d dλ
d dλ
dλ d
d2 λ
dλ dλ
d2 λ
dλ
d2 x
=
=
x
=
x
+
x
=
x
+
x
=
x
+
xλλ
λ
λ
λ
λ
λλ
λ
dt dt
dt dt
dt dt
dt dt
dt dt
dt
dt2
dt2
dt2
(xλ xλλ + yλ yλλ + zλ zλλ ) xλ − xλ2 + y2λ + z2λ xλλ
xλ xλλ + yλ yλλ + zλ zλλ
xλλ
Axλ − Bxλλ
=
xλ − 2
=
≡
2
2
2
2
B2
x
+
y
+
z
2
2
2
2
2
2
λ
λ
λ
x +y +z
x +y +z
λ
λ
λ
λ
同様にして、
d2 y Ayλ − Byλλ
=
,
dt2
B2
λ
λ
d2 z Azλ − Bzλλ
=
dt2
B2
よって、曲率の二乗は
!2
!2 A2 x2 + y2 + y2 − 2AB (x x + y y + z z ) + B2 x2 + y2 + y2 λ λλ
λ λλ
λ λλ
d2 y
d2 z
λ
λ
λ
λλ
λλ
λλ
+
+
=
dt2
dt2
B4
2
2
2
A2 B − 2A2 B + B2 xλλ
+ y2λλ + y2λλ
−A2 + B xλλ
+ y2λλ + y2λλ
− (xλ xλλ + yλ yλλ + zλ zλλ )2 + xλ2 + y2λ + z2λ xλλ
+ y2λλ + y2λλ
=
=
=
3
B4
B3
x2 + y2 + z2
d2 x
1
=
R2
dt2
!2
λ
(証明終り) これは本当なのだろうか。要確かめ
16
λ
λ
3.10
不定積分いろいろ (1)
原始関数
R
f (x)dx
R
(x − a)n dx =
Z
Z
1
n+1
(x − a)n+1 + C ただし n , −1
1
dx = ln |x − a| + C
x−a
f 0 (x)
dx = ln | f (x)| + C
f (x)
Z
e x dx = e x + C
Z
1 x
a +C
ln a
Z
x
1 dx = ln x2 + a2 + C
2
2
2
x +a
a x dx =
参考
Z
x2
3.11
Z
x
1
1
dx = tan−1 + C
2
a
a
+a
多項式／多項式 の積分方法
m 次の多項式
dx の解き方を考える。
n 次の多項式
積分の中身について、分子の次数 m が 分母の次数 n より大きい場合、割り算をすれば
m 次多項式
余りの (n − 1) 次 (以下の) 多項式
= (m − n) 次多項式 +
n 次多項式
n 次多項式
と変形できる。右辺の (m − n) 次多項式 の積分はすぐできるので、問題は第二項の
帰着する。(このようにして見通しが良くなる場合もある。)
(i)
f0
の場合 この積分はすぐできるので、まず検討すべきである。
f
Z 0
f
dx = ln f + C
f
(i) の例
Z
Z
Z
1
dx = ln (x + 1) + C
x+1
1 2
x
dx
=
ln
x
+
1
+C
2
x2 + 1
2x + 1
dx = ln x2 + x + 1 + C
+x+1
x2
17
(n − 1) 次多項式
の積分に
n 次多項式
(i’)
f0
の場合 (ただし m , 1 )
fm
この積分もすぐできる。(見落としがちなので注意！)
Z
(i’) の例
Z
f0
dx
fm
2x + 1
x2 + x + 1
=
−
1
+C
(m + 1) f m+1
2 dx = −
m は整数でなくでもいい

Z
Z
 1
x

dx
=
√

2
1 + x2
Z
x
1
+C
√
3 dx = − √
1 + x2
1 + x2
1
2 x2 + x + 1
3 + C


1√
 =
dx
1 + x2
1/2
4
1 + x2
2x
Z
√
18
x2
3
1
+C
3 dx = − 2 √
1 + x3
1 + x3
(ii-a)
分母の n 次式が因数分解できる場合 : 重根のない場合
n 次多項式 = (x − x1 ) (x − x2 ) · · · (x − xn ) ならば、適当な係数 an を使って、
a1
a2
an
1
=
+
+ ··· +
x − xn
n 次多項式 x − x1 x − x2
と分解できる (後述の定理参照) ので、
(n − 1) 次多項式
(n − 1) 次多項式 (n − 1) 次多項式 (n − 1) 次多項式
+
+ ··· +
=
x − x1
x − x2
x − xn
n 次多項式
(∗1)
となる。ここで、右辺の各項に注目すると、これは割り算によって
(n − 1) 次多項式
ci
= (n − 2) 次多項式 +
x − xi
x − xi
と変形できる。この (n − 2) 次多項式 の積分はすぐできる。また、第二項についても
Z
ci
dx = ci ln (x − xi ) + C
x − xi
のように行うことができる。よって (∗1) は積分できる。
(ii-a) の例
Z
Z
1
1
1
dx = − ln (x + 1) + ln (x − 1) + C
2
2
1 − x2
1
x
1
dx = − ln (x + 1) − ln (x − 1) + C
2
2
2
1−x
(ii-b)
分母の n 次式が因数分解できる場合 : 重根のある場合 (一般的だが面倒)
n 次多項式 = (x − x1 ) p1 (x − x2 ) p2 · · · (x − xn ) pn ならば、適当な係数 an を使って、
1
n 次多項式
=
p1
X
k=1
2
n
X
X
a2
an
a1
+
+
·
·
·
+
(x − x1 )k k=1 (x − x2 )k
(x
−
xn )k
k=1
p
p
と分解できる (後述の定理参照) ので、
1
2
n
X
X
X
(n − 1) 次多項式
(n − 1) 次多項式
(n − 1) 次多項式
(n − 1) 次多項式
= a1
+
a
+
·
·
·
+
a
2
n
k
k
n 次多項式
(x
)
(x
)
(x − xn )k
−
x
−
x
1
2
k=1
k=1
k=1
p
p
p
(∗2)
となる。ここで、右辺の第 i 項に注目すると、
ai
pi
X
(n − 1) 次多項式
j=1
(x − xi ) j
(
= ai
(n − 1) 次多項式 (n − 1) 次多項式
(n − 1) 次多項式
+
+ ··· +
(x − xi ) pi
x − xi
(x − xi )2
)
(∗3)
となっている。さて、ここで (n − 1) 次多項式 を g (x) とし、これを Taylor 展開し、適当な係数 bn を用いて次
の様に表記しておく。
(n − 1) 次多項式 = g(x) = g(xi ) + g0 (xi ) (x − xi ) +
g(n−1) (xi )
g0 (xi )
(x − xi )n−1
(x − xi )2 + · · · +
(n − 1)!
2!
= b0 + b1 (x − xi ) + b2 (x − xi )2 + · · · + bn−1 (x − xi )n−1
19
すると、(∗3) の第 j 項に着目すれば、
(
)
b j−2
b j−1
(n − 1) 次多項式
b0
b1
n−1− j
ai
= ai
+
+ ··· +
+
+ b j + b j+1 (x − xi ) + · · · + bn−1 (x − xi )
(x − xi ) j
(x − xi ) j (x − xi ) j−1
(x − xi )2 x − xi
(∗3) は j を 1 → mi と変化させた和となっているので、まとめると
ai
mi
X
(n − 1) 次多項式
j=1
(x − xi ) j
=
















c pi −2
c pi −1
c1
c0

n−2 
(x
)
(x
)
ai 
+
+
·
·
·
+
+
+
c
+
c
−
x
+
·
·
·
+
c
−
x

p
p
+1
i
n−1
i
i
i
p


i
pi −1
2


(x
)
|
{z
}
−
x
x
−
x


(x − xi )
(x − xi )
i
i




|
{z
}


group.B


group.A
ここで、group.A については
Z
1
ci
ci
+C
p dx = −
(x − xi )
p + 1 (x − xi ) p+1
を使って積分できるし、中間の項についても
Z
c pi −1
dx = c pi −1 ln (x − xi ) + C
x − xi
を使えばよい。最後の group.B も容易に積分できる。よって (∗2) は積分できる。
(ii-b) の例
Z 4
x + 2x3 + 3x2 + 4x + 5
dx
x3 + 2x2 − 4x − 8
+
57
=
(x − 2) 16 (x + 2)4 19
9 1
+ ln
+
x
9
8 x+2
2
(x + 2) 16
39
5
1
7
1
1
(x − 2)2 +
(x − 2)3 +
(x − 2)4 −
(x + 2)2 −
(x + 2)3 −
(x + 2)4
32
24
64
32
24
64
(解法)
分母については f (x) ≡ x3 + 2x2 − 4x − 8 = (x − 2) (x + 2)2 と因数分解できるので
1
a
b
c
=
+
+
f (x) x − 2 x + 2 (x + 2)2
g (x)
g (x)
g (x)
g (x)
=a
+b
+c
f (x)
x−2
x+2
(x + 2)2
と分解できる。この係数を求めると、a = 1/16,
b = −1/16,
c = −1/4
分子については
g (x) ≡ x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5
g0 (x) = 4x3 + 6x2 + 6x + 4
g00 (x) = 12x2 + 12x + 6
g000 (x) = 24x + 12
g0000 (x) = 24
g (2) = 57
g (−2) = 9
g0 (2) = 72
g0 (−2) = −16
00
g (2) = 78
g00 (−2) = 30
000
g (2) = 60
g000 (−2) = −12
なので、テイラー展開により
g (x) = 57 + 72 (x − 2) + 39 (x − 2)2 + 10 (x − 2)3 + (x − 2)4
g (x) = 9 − 16 (x + 2) + 15 (x + 2)2 − 2 (x + 2)3 + (x + 2)4
(執筆途中です)
20
(iii)
特殊な場合:大事
Z
1
dx = tan−1 x + C
x2 + 1
Z
x3
Z
x2
Z
x3
+
1
dx
+1
:
1
dx
+x+1
unknown
:
unknown
(x + 1)1/2
tan−1 x
1
dx = ln
+
+C
1/4
2
+x+1
x2 + 1
x2
(解法)
(
)
!
!
1
x−1
x−1
1
1
1 x−1
2 x−1
=
=
−
=
−
2
2 x2 − 1
4 x2 + 1
x3 + x2 + x + 1 x4 − 1
x2 − 1 x2 + 1
!
!
!
!
!
1
1
1 2x − 2
1
1
1
2x
1
1
=
−
=
−
+
2 x+1
4 x2 + 1
2 x+1
4 x2 + 1
2 x2 + 1
1
2
これを積分すれば、 ln (x + 1) −
1
1 2
ln x + 1 + tan−1 x + C
4
2
21
多項式分数の分解の定理
多項式の分数
1
f
において 分母 f が因数分解できるならば、それらを次のような分数の和に分解できる。
¶
³
(a) 重根のない場合
1
(x − x1 ) (x − x2 ) · · · (x − xn )
=
a1
a2
an
+
+ ··· +
x − x1 x − x2
x − xn
=
n
X
k=1
ak
x − xk
係数 ak は以下で与えられる。
ak =
1
1
=
(xk»−»
(xk − x1 ) (xk − x2 ) · · · »
x») · · · (xk − xn )
| {z k}
n
Q
(xk − xl )
l=1(l,k)
exclude
例
1
1
1
1
+
=
+
(x − a) (x − b) (x − c) (x − a) (a − b) (a − c) (b − a) (x − b) (b − c) (c − a) (c − b) (x − c)
µ
¶
´
³
(b) 重根のある場合
p1
p2
pn
X
X
X
a1,l
a2,l
an,l
1
=
+
+·
·
·+
l
l
(x − x1 ) p1 (x − x2 ) p2 · · · (x − xn ) pn
(x
(x
(x
)
)
−
x
−
x
−
xn )l
1
2
l=1
l=1
l=1
=
pk
n X
X
k=1 l=1
ak,l
(x − xk )l
これは帰納法によって証明できる (略)。係数 ak,l については複雑なので略。
例
1
2
(x − a) (x − b)
1
3
(x − a) (x − b)
=
=
1
(x − a) (a − b)
1
3
2
(x − a) (a − b)
+
+
1
1
+
(b − a) (x − a) (a − b) (b − a)2 (x − b)
1
2
(b − a) (x − a) (a − b)
+
1
1
+
3
(b − a) (x − a) (a − b) (b − a) (x − b)
2
1
1
2
2
1
=
+
+
+
2
2
2
2
2
2
(x − a) (x − b)
(b − a) (x − a) (a − b)
(b − a) (x − b) (a − b) (b − a) (x − b)2
(x − a) (a − b)
!
1
1
1
1
1
=
+
+
2
2
(a
b
−
a
c
−
a
−
a)
− b) (a − c)
(x
(x − a) (x − b) (x − c) (x − a) (a − b) (a − c)
2
+
1
1
+
(b − a)2 (x − b) (b − c) (c − a)2 (c − b) (x − c)
(やればわかる。)
µ
3.12
´
三角関数の積分
Z
1
sin ax dx = − cos ax + C
a
22
Z
cos ax dx =
Z
Z
1
sin ax + C
a
1
tan ax dx = − ln |cos ax| + C
a
cot ax dx =
1
ln |sin ax| + C
a
Z
!
1
1
2
dx =
sec ax dx = tan ax + C
2
a
cos ax
Z
!
Z
1
1
dx =
cosec2 ax dx = − cot ax + C
2
a
sin ax
Z
発展
Z
Z
!
1 1 + sin ax +C
sec ax dx = ln a
cos ax Z
!
Z
1
1 ax dx =
cosec ax dx = ln tan + C
sin ax
a
2
1
dx =
cos ax
Z
ln x dx = x ln x − x + C
Z
√
1
a2 − x2
=
dx
=
Z
√
1
1 −1
sin x + C
a
1
cos−1 x + C − π/2
a
√
dx = ln x + x2 ± a2 + C
x2 ± a2
Z √
1 √ 2
x
x a − x2 + a2 sin−1
+C
a2 − x2 dx =
2
a
Z √
√
o
1n √ 2
x x ± a2 ± a2 ln x + x2 ± a2 + C
x2 ± a2 dx =
2
3.13
置換積分の公式
a = φ (α) かつ b = φ (β) とする。このとき、以下が成り立つ。
Z b
Z β
f (x) dx =
f (φ (t)) · φ0 (t) dt
a
3.14
α
部分積分の公式
関数 f (x) と g (x) は、いずれも区間 I 上での C 1 級の関数であるとき、I に属する任意の点 a, b について以
下が成り立つ。
Z
a
b
f (x) · g0 (x) dx = f (x) · g (x) ba −
23
Z
a
b
f 0 (x) · g (x) dx
3.15
不定積分いろいろ (2) ∼ 部分積分の応用
Z
e x sin x dx =
ex
(sin x − cos x) + C
2
e x cos x dx =
ex
(sin x + cos x) + C
2
Z
Z
e x sin ax dx =
Z
e x cos ax dx =
Z
ex 2
a sin x − a cos x + C
+1
a2
ex a sin x + a2 cos x + C
+1
a2


− 1 (n sin mx sin nx + m cos mx cos nx) + C


 m2 −n2
sin mx cos nx dx = 


 − 1 cos (2mx) + C (m = n)
4m
(m , n)
ちなみに
Z
Z
sin mx cos nx dx +
3.16
Z
cos mx sin nx dx =
sin (mx + nx) dx = −
1
cos (mx + nx) + C
m+n
定積分いろいろ
Z
α
Z
β
1
(x − α) (x − β) dx = − (β − α)3
6
β
(x − α)m (x − β)n dx = (−1)n
α
(証明)
m!n!
(β − α)m+n+1
(m + n + 1)!
n 回 部分積分を適用すればよい
Rβ
(x − α)m (x − β)n dx
α
Rβ n
(n−1)
2
1
(x − α)m+n dx
= (−1)n α (m+1)
· (m+2)
· · · (m+n−1)
· (m+n)
β
(n−1)
n
2
1 (x−α)m+n+1
= (−1)n (m+1)
· (m+2)
· · · (m+n−1)
· (m+n)
(m+n+1)
= (−1)n
m!n!
(m+n+1)!
(β − α)m+n+1
(証明終り)
24
α
¶Bete 関数
³
Z
1
x p−1 (1 − x)q−1 dx
B (p, q) =
0
=
(p − 1)! (q − 1)!
(p + q − 1)!
例
B (1, 1) = 1
B (p, 1) = B (1, p) =
(p − 1)! (p − 1)!
(2p − 1)!
B (p, p) =
注意
B
!
!
1
1
, 1 = B 1,
n
n
1
p
Z
1
=
0
h n−1 i1
1
√n dx = n x n 0
x
!
=n
µ
´
Bete 関数の性質 (1)
q を減らす部分積分 : B (p, q) =
p を減らす部分積分 : B (p, q) =
q−1
(p + 1, q − 1)
p B
p−1
(p − 1, q + 1)
q B
Bete 関数の性質 (2)
B (p, q) = B (q, p)
Z
(定義式において y = x − 1 と置換)
π/2
sin2p−1 θ cos2q−1 θdθ
B (p, q) =
( 定義式において x = sin2 θ と置換する )
0
25
¶Gamma 関数
³
Z
∞
Γ (s) =
e−x x s−1 dx
0
= (s − 1)!
例
Z
∞
Γ (1) =
e−x dx = 1
0
Z
∞
Γ (2) =
x e−x dx = 1
0
Z
∞
x2 e−x dx = 2
Γ (3) =
0
Z
∞
x3 e−x dx = 6
Γ (4) =
0
Z
∞
Γ (5) =
x4 e−x dx = 24
0
注意
!
√
1
= π
2
Γ
(最後の式の証明)
! Z ∞ −x
1
e
=
√ dx
2
x
0
Γ
Z
Z ∞
Z ∞
2
e−t
2
2
(2t) dt = 2
e−t dt =
e−t dt
t
0
−∞
Z ∞
!2 Z0 ∞ Z ∞
−t2
−( x2 +y2 )
これを二乗してみると
e dt =
e
dxdy = (∗)
√
∞
x = t とおけば、
−∞
ここで、z = e−( x
−( x2 +y2 )
はz=e
2
+y2 )
=e
Z
(∗) =
x=−∞
y=−∞
の xy 平面に平行な’ 切り口’ は円であり、その半径
−r2
より −r2 = ln z
Z
1
1
πr2 dz =
z=0
∴ r2 = − ln z で与えられる。
0
−π ln zdz = π [z − z ln z]10 = π
このルートが求めるべき値である (証明終り)
µ
´
Gamma 関数の性質 (1)
Γ (s + 1) = s Γ (s)
Gamma 関数の性質 (2)
Z
Γ (s) = 2
∞
Z
−r2 2s−1
e
r
dr = 3
∞
3
e−r r3s−1 dr = · · ·
0
0
(定義式において x = r2 , r3 , · · · と置換。同様にして更に高次を計算可能)
26
Gamma 関数と Bete 関数の関係 (1)
Γ (s) Γ (t)
Γ (s + t)
B (s, t) =
(証明)
Z
∞
Γ (s) Γ (t) = 2
! Z
2
e−x x2s−1 dx 2
0
∞
!
Z
2
e−y y2t−1 dy = 4
0
∞
Z
0
∞
e−( x
2
+y2 ) 2s−1 2t−1
x
y
dxdy
0
これを極座標変換すれば
Z
∞
Z
π/2
=4
2
e−r r2(s+t)−1 cos2s−1 θ sin2t−1 θ drdθ = Γ (s + t) B (s, t)
θ=0
r=0
(証明終り)
Gamma 関数と Bete 関数の関係 (2)
Z
π/2
m
n
cos θ sin θ dθ
1 m+1 n+1
B
,
2
2
2
=
0
!
=
n+1
m+1
1Γ 2 Γ 2
2 Γ m+1 + n+1
2
2
ただしここで、
!
!
!
! !
1
1
1
1 1 √
Γ n+
= n−1+
n−2+
··· 1 +
π
2
2
2
2 2
!
√ ! Γ n+1 Z π/2
Z π/2
π
2
n
n
を計算できる。
これを使えば、
sin θ dθ =
cos θ dθ =
2 Γ n+2
0
0
2
例
Z
Z
π/2
case (n = 1)
sin θ dθ
0
Z
cos θ dθ
= 1
cos2 θ dθ
=
π
4
cos3 θ dθ
=
2
3
0
Z
π/2
sin2 θ dθ
case (n = 2)
π/2
=
0
Z
π/2
=
0
Z
π/2
sin3 θ dθ
case (n = 3)
π/2
=
0
0
¶
³
フーリエ (Fourier) 解析で使用する積分
Z
Z
π
π
cos nx dx =
sin nx dx = 0
−π
Z
−π
Z
π
π
cos2 nx dx =
sin2 nx dx = π
−π
−π
Z
π
sin nx cos mx dx = 0
−π
Z
Z
π
π
sin nx sin mx dx =
−π
−π
cos nx cos mx dx = δnm π
µ
´
27
3.17
座標変換とヤコビアン
２変数の場合
(u, v) 7→ (x, y) という変数変換の場合、変換後の座標系 (x (u, v) , y (u, v)) における積分はもとのパラメータ
(u, v) で次のように表される
"
"
f (x, y) dxdy =


ここで、 J = 
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
f (x (u, v) , y (u, v)) |J| dudv

!

 = ∂ (x, y) をヤコビアン (Jacobian) といい、|J| をヤコビ行列式 という。

∂ (u, v)
(考察)
x, y の全微分を考えると、
!
!
∂x
∂x
du +
dv
dx =
∂u
∂v
!
!
∂y
∂y
dy =
du +
dv
∂u
∂v
これは座標変換における変換前後のパラメータ (u, v) , (u, v) が 微小領域 では線形に結合して
いることを意味している。つまり、dxdy で囲まれる領域は変換前の座標系で見ると平行四辺
形となっている (図参照)。その面積はベクトル dx, dy の外積の大きさとなる。
→ −
→ −
dx × dy = 図5
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
座標変換 ∼ 微小領域
３変数の場合
(u, v, w) 7→ (x, y, z) という座標変換の場合、変換後の座標系 (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) における積分は
もとのパラメータ (u, v, w) で次のように表される。
"
"
f dxdydz =
f |J| dudvdw
ただし、ヤコビアン J は



J = 

∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w




28
=
∂ (x, y, z)
∂ (u, v, w)
!
多変数の場合
同様に拡張すれば、多変数の座標変換におけるヤコビアンが定義できる。
 ∂x
 ∂u
 ∂y
J =  ∂u
 ..
.
∂x
∂v
∂y
∂v

· · · 


. . 
.
∂ (x, y, · · ·)
=
∂ (u, v, · · ·)
!
(考察)
x, y, z の全微分を考えると、
!
!
!
∂x
∂x
∂x
du +
dv +
dv
dx =
∂u
∂v
∂w
dy =
!
!
!
∂y
∂y
∂y
du +
dv +
dv
∂u
∂v
∂w
２変数の場合と同様に dx, dy, dz は du, dv, dw と線形結合している。よって 変換前の座標系に
おける 微小体積 dxdydz は 平行六面体であり、その体積は次のスカラー三重積で表される
−
→ −
→→
−
−
→ −
→ →
− dx, dy, dz ≡ dx × dy · dz = ∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
¶
³
座標変換における偏微分 (大事)
∂
∂x
=
∂u ∂
∂v ∂
∂w ∂
+
+
+ ···
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w
∂
∂y
=
∂u ∂
∂v ∂
∂w ∂
+
+
+ ···
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w
∂
∂z
=
∂u ∂
∂v ∂
∂w ∂
+
+
+ ···
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w
..
.
µ
´
(証明)
まず、 f を u, v, w · · · の関数と考え、全微分をとり、各項の du, dv, dw · · · について x, y, z · · · の全微分を適用
する。
∂f
∂f
∂f
du +
dv +
dw + · · ·
∂u
∂v
∂w
!
!
∂u
∂u
∂ f ∂v
∂v
∂v
∂f
∂ f ∂u
dx + dy + dz + · · · +
dx + dy + dz + · · · +
=
∂u ∂x
∂y
∂z
∂v ∂x
∂y
∂z
∂w
!
!
∂ f ∂u ∂ f ∂v ∂ f ∂w
∂ f ∂u ∂ f ∂v ∂ f ∂w
=
+
+
+ · · · dx+
+
+
+ · · · dy+
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
df =
これは、 f を x, y, z · · · の関数と考えた全微分
df =
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz + · · ·
∂x
∂y
∂z
と一致するはずなので、係数の比較をすれば OK。
29
!
∂w
∂w
∂w
dx +
dy +
dz + · · · + · · ·
∂x
∂y
∂z
!
∂ f ∂u ∂ f ∂v ∂ f ∂w
+
+
+ · · · dz+· · ·
∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
¶円筒座標（二次元極座標）
³
q
x = r cos ϕ
r=
x 2 + y2
ただし、
y
0 6 ϕ 6 2π
y = r sin ϕ
ϕ = tan−1
(z = z)
偏微分は、
x
∂
∂x
=
∂r ∂
∂ϕ ∂
+
∂x ∂r ∂x ∂ϕ
=
cos ϕ
∂
∂y
=
∂r ∂
∂ϕ ∂
+
∂y ∂r ∂y ∂ϕ
=
sin ϕ
ヤコビアンは、
∂ (x, y)
= det
∂ (r, ϕ)
ラプラシアンは、
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y2
∂2
+ 2
∂z
cos ϕ
−r sin ϕ
!
sin ϕ
r cos ϕ
∂
sin ϕ ∂
−
∂r
r ∂ϕ
∂
cos ϕ ∂
+
∂r
r ∂ϕ
!
=r
∂2
1 ∂
1 ∂
+
+
∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2
=
∂2
+ 2
∂z
!
µ
´
¶極座標（三次元極座標）
³
q
r=
x = r sin θ cos φ
x2 + y2 + z2
p

 x2 + y2 
−1 

θ = tan 
z
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
φ = tan−1
ただし、
0 6 θ 6 π,
0 6 φ 6 2π
y
x
偏微分は、
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
=
=
=
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
+
+
∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
+
+
∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
+
+
∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂φ
ヤコビアンは、
∂
cos θ cos φ ∂
sin φ ∂
+
−
∂r
r
∂θ r sin θ ∂φ
∂
cos θ sin φ ∂
cos φ ∂
sin θ sin φ +
+
∂r
r
∂θ r sin θ ∂φ
∂
sin θ ∂
cos θ −
∂r
r ∂θ
=
sin θ cos φ
=
=
∂ (x, y, z)
= r2 sin θ
∂ (r, θ, φ)
ラプラシアンは、
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y2 ∂z2
=
!
!
1 ∂ 2∂
1
∂
∂
1
∂2
r
+
sin
θ
+
∂r
∂θ
r2 ∂r
r2 sin θ ∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
µ
´
30
(特に、極座標に関しては計算量が多いが頻出なので、ここに簡単に導出方法を示す。 )
まず、
∂r ∂θ ∂φ
, , ,
∂x ∂x ∂x
∂r ∂θ ∂φ
, , ,
∂y ∂y ∂y
r2 = x2 + y2 + z2 ,
∂r ∂θ ∂φ
, ,
を用意するために、
∂z ∂z ∂z
tan2 θ =
x2 + y2
,
z2
tan φ =
y
x
を それぞれ x, y, z で偏微分し、整理すると、ヤコビ行列式 J












∂r
∂x
∂θ
∂x
∂r
∂y
∂θ
∂y
∂r
∂z
∂θ
∂z
 
 
  sin θ cos φ
 
 
∂φ  
 =  sin θ sin φ
∂y  
 
 
∂φ  
cos θ
∂z
∂φ
∂x
が得られる。後はひたすら計算すれば OK。
31
cos θ cos φ
r
cos θ sin φ
r
−
sin θ
r





cos φ 

r sin θ 



0
−
sin φ
r sin θ
4 極値問題
4.1
二変数陽曲面
f (x, y) について、その値を z 軸にとれば、それは 3 次元空間における「陽の」曲面 (xy 方向に広がった面)
ととらえることができる。いま 微小変位 ∆x, ∆y について 2 次の近似式を考えると
f (x0 + ∆x, y0 + ∆x)
=
+
f x (x0 , y0 ) ∆x + fy (x0 , y0 ) ∆y
o
1n
f xx (x0 , y0 ) (∆x)2 + 2 f xy (x0 , y0 ) (∆x) (∆y) + fyy (x0 , y0 ) (∆y)2
2
(∗)
この 1 次の項は、その点における接平面を形成している。 ¶二変数陽曲面の接平面について
³
2 変数曲面 z = f (x, y) 上の点 (x, y) における接平面の
x 方向の傾き : f x =
∂f
∂x
y 方向の傾き : fy =
∂f
∂y
1
−n = q
法線ベクトル : →
− f x , − fy ,
f x2 + fy2 + 1
水平方向 :
最大傾き方向 :
fy , − f x ,
0
fx ,
f x2 + fy2
fy ,
1
q
f x2 + fy2
最大傾き :
µ
´
(導出)
− →
−a = (∆x, 0, f x ∆x) , →
b = 0, ∆y, fy ∆y とおけば、接平面上の点はパラメー
−
−p = α · →
−a + β · →
タ α, β を用いて、→
b と表すことができる。
法線ベクトルはこれに垂直なので、外積と平行。
− →
−a × →
b = →
− →
−
i
j
∆x 0
0 ∆y
→
−
k
f x ∆x
fy ∆y

 − f x ∆x∆y
=  − f ∆x∆y
y

∆x∆y




//


 − f x 


 − fy 
1
→
−
β fy ∆y = 0 より (α∆x, β∆y, 0) = fy ∆y∆x, − f x ∆x∆y, 0 。また、最大傾きの
方向はこの方向と直交するので、内積を 0 とするようにとれば、 f x , fy ,C 。
−a + β · b の z 成分が 0 のはずだから、α f x ∆x +
水平方向については α · →
全微分の式から C = f x f x + fy fy が求まる。 (導出終り)
32
図6
接平面
4.2
ヘッセの判別式
多変数関数の極大極小を知りたいとき、ヘッセの公式が使える。
二変数の場合
前節の式 (∗) において、 f x , fy が共に 0 ならば、1 次の項が 0 となり、接平面が (xy 平面と) 水平となる。この
場合 その点が 陽曲面の 極大もしくは極小点 となっている可能性があり、それは二次の項が 微小変位 ∆x, ∆y
でどう変化するかに依存する。
つまり、
A ≡ f xx (x0 , y0 )
B ≡ f xy (x0 , y0 )
C ≡ fyy (x0 , y0 )
X ≡ ∆x, Y ≡ ∆y
とおいて、
F (X, Y) = f xx (x0 , y0 ) (∆x)2 + 2 f xy (x0 , y0 ) (∆x) (∆y) + fyy (x0 , y0 ) (∆y)2
= A X 2 + 2B XY + C Y 2
これが X, Y についてどう変化するか調べればよい。
(i) D = AC − B2 < 0 ならば、因数分解できて
F = A (X − αY) (X − βY)
この場合、2 本の直線 Y = X/α と Y = X/β 上では F は 0 だが、それ以外の
点において F を正にしたり負にしたりする点が必ず存在する。
よって、元の陽曲面 f は (点 (x0 , y0 ) において) 極小・極大にはなりえない。
(ii) D = AC − B2 = 0 のときは、
F = A (X − αY)2
と因数分解できる。この場合、直線 Y = X/α 以外の点では (A の符号に応じ
て) F は正もしくは負のどちらか となる。しかし、直線上では ゼロとなる。
よって、元の陽曲面 f の挙動は更に高次の近似項を (この直線上について) 調
べなければわからない。
図 7
因数分解でき
るときの F の正負
の例
(iii) D = AC − B > 0 のときは因数分解できない。つまり、(X, Y) = (0, 0) 以
2
外の点で
A が正 (この時 C も必ず正) ならば F > 0 → f は極小
A が負 (この時 C も必ず負) ならば F < 0 → f は極大
33
¶二元ヘッセ行列 (Hessian)
³
2 変数関数 f (x, y) の 点 (x0 , y0 ) における極大・極小の判別は、
f xx (x0 , y0 )
fyx (x0 , y0 )
H f (x0 , y0 ) =
f xy (x0 , y0 )
fyy (x0 , y0 )
!
と定義されるヘッセ行列についての行列式 (判別式)
h
i h
i
2
det H f (x0 , y0 ) = f xx fyy − fyx
x0 ,y0
によって
h
i
(i) det H f (x0 , y0 ) < 0 の場合
極値ではなく、鞍点。
h
i
(ii) det H f (x0 , y0 ) = 0 の場合
これだけではわからない。
h
i
(iii) det H f (x0 , y0 ) > 0 の場合
(iii-1) f xx > 0 ならば 極小
(iii-2) f xx < 0 ならば 極大
となる。
µ
´
ヘッセ行列と固有値
与えられた二次式 F は H f を ベクトル (X, Y) ではさんだ形となっている。
A X 2 + 2B XY + C Y 2 =
X
Y
" A B #
B C
X
Y
!
=
X
Y
Hf
X
Y
!
いま、判別式 det H f ≤ 0 ならば 固有値 λ, µ が存在し、
α
β
Hf
!
=λ
と書ける。即ち
⇔
Hf
α γ
β δ
Hf T =
λ 0
0 µ
α
β
!
,
γ
δ
Hf
!
α
β
=
γ
δ
!
!
γ
δ
=µ
λ 0
0 µ
!
!
⇔
T
(注意)
これを、直交行列 T =
−1
α
β
γ
δ
!
T Hf T =
λ 0
0 µ
!
!
による対角化という。
H f が対称行列 (H tf = H f ) であるために、T t = T −1 となっている。
∵ T −1 H f T =
λ 0
0 µ
!
=
λ 0
0 µ
!t
t
t
t
= T −1 H f T = T t H tf T −1 = T t H f T −1
34
!
: 最左辺と最右辺を比較
よって T による変数変換
T −1
X
Y
!
u
v
=
!
さて、もとの二次式は
⇔
Tt
X
Y
X
Y
!
=
!
=T
u
v
u
v
!
!
⇔
を考えると、
X
Y
T=
u v
!
λ 0
T −1 を使って、
0 µ
!
! !
X
X
λ 0
−1
Y Hf
= X Y T
T
Y
Y
0 µ
λ 0 ! u !
= u v
= λu2 + µv2
0 µ
v
H=T
F=
X
つまり F は H f の固有値 λ, µ が
共に正なら極小
共に負なら極小
積 λµ が負なら極値ではない
となる。これは多変数に拡張することができる。 ¶多元ヘッセ行列 (Hessian)
³
多変数関数 f (x, y, z, · · ·) の 点 r0 = (x0 , y0 , z0 , · · ·) における極大・極小の判別は、

 f xx (r0 )
 f (r )
 yx 0
H f (r0 ) =  fzx (r0 )

..

.
f xy (r0 )
fyy (r0 )
fzy (r0 )
f xz (r0 ) · · ·
fyz (r0 )
fzz (r0 )
..
.







と定義されるヘッセ行列の固有値が
(i) 全て正 の場合
f は r0 で極小値をとる。
(ii) 全て負 の場合
f は r0 で極大値をとる。
(iii) 正であったり負であったりする の場合
f は r0 で極値ではない。
(iv) 上記以外の場合
これだけではわからない。
となる。
µ
´
35
5 級数
5.1
数列
数列 an について、
a1 < a2 < a3 < · · · : 狭義の単調増加
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · : 広義の単調増加
(単調減少についても同様)
¶収束条件
³
数列 an が収束する必要十分条件は、
∀
ε > 0,
∃
N > 0,
n > N → |an − α| < ε
任意の ε について、ある N を考えれば、N より大きい n で an と α（極限値）の差は ε 以下である。
µ
¶Cauchy 列
数列 an について
∀
ε > 0,
´
³
∃
N > 0, ∀ p, ∀ q > N
a p − aq < ε
となるような N が存在するならば、この an を Cauchy 列 と呼ぶ。
µ
´
Cauchy 列は収束する
¶Cauchy の判定法 : 極限条件
³
f (x) において lim f (x) が存在するための必要十分条件は、
x→a
∀
ε > 0,
∃
δ > 0,
0 < |α − a| < δ,
0 < |β − b| < δ
→ | f (α) − f (β)| < ε
µ
¶ロピタル (L’Hopital) の定理
´
³
f (x) について、 f (a) = g (a) = 0 のとき、
lim
x→a
f (x)
f 0 (x)
=c
= c となる c が存在するならば、lim
0
x→a
(x)
g
g (x)
これは f (a) = g (a) が ∞ についての場合も成り立つ。
µ
5.2
´
極限
lim
x→0
sin θ
=1
θ
lim
x→0
36
tan θ
=1
θ
log (cos x)
=0
x
cos log x
lim
=1
x→1
x
lim
x→0
lim x x = 1
lim x ln x = 0
x→+0
x→+0
(証明)
ln(1/t)
= − lnt t
t
さて、x → +0 の時、t → ∞ なので、このときの lnt t を調べればよい。分子の
√
ln t は、t が充分大きいときは ln t < t なので lnt t < √1t がいえる。(この証明
は略) よって、 lim lnt t < lim √1t = 0 つまり lim f = 0 となる。ln x x が 0 に近
t→∞
t→∞
x→+0
x
f = ln x x = x ln x とおく。 t = 1/x とおけば f =
づくということは x は 1 に近づくということである。
(証明終り)
lim
x
=1
−1
lim
x
1
=
−1
t
x→0 e x
x→0 etx
lim
x→0 a x
5.3
x
1
=
− 1 ln a
テイラー展開
a 周りの展開
f (b) = f (a) + f 0 (a) (b − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(b − a)2 + · · · +
(b − a)n + Rn+1
2!
n!
ただし、
Rn+1 =
f (n+1) (a + θ (b − a))
(b − a)n+1 ,
n!
(0 < θ < 1)
マクローリン展開 ( 0 周りの展開)
f (x) = f (0) + f 0 (0) x +
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x + ··· +
x + Rn+1
2!
n!
ただし、
Rn+1 =
f (n+1) (θx) n+1
x ,
n!
37
(0 < θ < 1)
¶微分記号の導入
³
次のような微分演算子 (微分作用素) の記号が使われることがある。
Dix ≡ xi
∂i
∂xi
=|
x · {z
x · · · }x ·
i
∂ ∂
∂
·
···
∂x ∂x
|
{z ∂x}
i
Dyj ≡ y j
∂ ∂
∂
= y · y···y·
·
···
| {z } ∂y ∂y
∂y
|
{z
}
j
∂j
∂y j
j
性質
j
Dix D xj = Di+
x
Dix Dyj = Dyj Dix ≡ xi y j
∂i ∂ j
∂xi ∂y j
j
Diy Dyj = Di+
y
∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂
=|
x · {z
x · · · }x · y · y · · · y ·
·
···
···
· ·
| {z } |
∂x ∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
{z
}|
{z
}
i
j
i
j
µ
´
微分記号を使って 0 点周りの展開 を書くと、
X xn ∂n
x2 ∂2
∂
(0)
f
+
·
·
·
=
f (0)
f (x) = f (0) + x f (0) +
∂x
2! ∂x2
n! ∂xn
n=0
∞
=
∞
X
1 n
D x f (0)
n!
n=0
2 変数の場合 (その 1) これは頻出
#
"
#
"
2
∂ ∂
∂
∂
1 2 ∂2
2 ∂
f (0, 0)
+
2xy
f (x, y) = f (0, 0) + x + y
f (0, 0) +
x
+
y
∂x
∂y
2!
∂x ∂y
∂x2
∂y2
#
"
2
2
3
1 3 ∂3
∂
2 ∂
3 ∂
2 ∂ ∂
+
+ 3x y 2
+ y 3 f (0, 0) + · · ·
x
+ 3xy
3!
∂x ∂y2
∂x3
∂x ∂y
∂y
∞
X
n i
1 h
D x + Dy f (0, 0)
n!
n=0
=
2 変数の場合 (その 2)
f (x, y) =
∞
∞
∞
∞ X
∞
X
X
xn ym ∂n+m
xn ∂n f (0, y) X xn ∂n X ym ∂m
(0,
=
f
0)
=
f (0, 0)
n
n
m
n! ∂x
n! ∂x m=0 m! ∂y
n!m! ∂xn ∂ym
n=0
n=0 m=0
n=0
=
多変数の場合
f (x1 , x2 , · · · , xi ) =
=
∞
∞ X
X
n1 =0 n2 =0
···
∞ X
∞
X
1
Dnx Dm
y f (0, 0)
n!m!
n=0 m=0
∞
X
1 D x1 + D x2 + · · · D xi n f (0, 0, · · · , 0)
n!
n=0
∞
X
1
Dnx11 Dnx22 · · · Dnxii f (0, 0, · · · , 0)
n
!n
!
·
·
·
n
!
i
n =0 1 2
i
38
¶参考：無限級数和の性質
³
2 変数の場合は、
∞
∞ X
∞
X
X
1
1 n m
(α + β)n =
αβ
n!
n!m!
n=0
n=0 m=0
多変数の場合は、
∞
∞ X
∞ X
∞
∞
X
X
X
1
1
(α + β + γ + · · · + ω)n =
αn βm · · · ωw
···
n!
n!m!
·
·
·
w!
n=0
n=0 m=0 l=0
ω=0
が成り立つ。
µ
´
(2 変数の場合の証明) 二項定理より
 n

∞
∞
X
X

1
1 X
n!
n
k n−k 
(α + β) =
α β 

n!
n! k=0 k! (n − k)!
n=0
n=0
=1
+ (α
+ β)
+ α2 + 2αβ + β2
+ α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3
+ ···
(case : n = 0)
(case : n = 1)
(case : n = 2)
(case : n = 3)
今、項 αa βb について考えると、その次数 a, b は 0 から ∞ まで続くことが
わかる。そこで与式 を
∞ P
∞
P
Ca,b αa βb と置けば、その係数 Ca,b は上式より
a=0 b=0
k = a かつ n − k = b のときの係数であり、それは n = a + b の case でしかで
てこない。即ち、
(a + b)!
1
1
=
(a + b)! a!b!
a!b!
Ca,b =
(証明終り)
5.4
級数展開 (多項式近似)
ex = 1 + x +
1 2 1 3
1
x + x + · · · + xn + · · ·
2
3!
n!
sin x = x −
1 3 1 5 1 7
x2n−1
x + x − x + · · · + (−1)n−1
+ ···
(2n − 1)!
3!
5!
7!
cos x = 1 −
1 2 1 4 1 6
x2n−2
x + x − x + · · · + (−1)n−1
+ ···
(2n − 2)!
2!
4!
6!
1 2 1 3 1 4
xn
(−1 < x)
x + x − x + · · · + (−1)n−1
+ ···
2
3
4
n
α (α − 1) 2 α (α − 1) (α − 2) 3
α (α − 1) · · · (α − n + 1)
(1 + x)α = 1 + αx +
x +
x + ··· +
+ ···
2
3!
n!
ln (1 + x) = x −
5.5
オイラーの公式
eiθ = cos θ + i sin θ
39
(−1 < x)
5.6
ラウエ関数
¶回折現象を考える際に必要な公式
³
n
X
e
ikx
=
k=0
n
X
cos (kx) + i
k=0
n
X
sin (kx)
k=0
1 + eix + e2ix + · · · + enix
+ sin nx + 2x
cos 2x − cos nx + 2x
+i
2 sin 2x
2 sin 2x
=
=
すなわち、
sin
n
X
x
2
cos (kx) = 1 + cos x + cos (2x) + · · · + cos (nx)
k=0
=
n
X
x
2
+ sin nx + 2x
2 sin 2x
 
x





1
 sin nx + 2

+ 1



x

2
 sin 2

sin
=
sin (kx) = 0 + sin x + sin (2x) + · · · + sin (nx)
k=0
=
x
2
− cos nx + 2x
2 sin 2x


x 
x


cos
cos
nx
+

1


2
2 
− 
−



2

 sin 2x
sin 2x 
cos
また、
 n

X ikx 2
 e 
=
sin2
=
n
x
2
o
(n + 1)
n o
sin2
k=0
x
2
 2
x





 sin 2 n 

最後の式で n が十分大きければ、
に比例する。これをラウエ (Laue) 関数という。


x


 sin 2 

µ
´
(証明)
S ≡ 1 + eix + e2ix + · · · + enx とおけば、eix S = eix + e2ix + · · · + enx + e(n+1)ix より
eix − 1 S = e(n+1)ix − 1
e(n+1)ix − 1 enix eix − 1 enix eix/2 − e−ix/2
=
=
eix − 1
eix − 1
eix/2 − e−ix/2
(cos nx + i sin nx) cos 2x + i sin 2x − cos 2x − i sin 2x
=
cos 2x + i sin 2x − cos 2x − i sin 2x
∴
S =
40
=
=
また、
n
P
cos nx cos 2x − sin nx sin 2x − cos 2x + i sin nx cos 2x + cos nx sin 2x + sin 2x
2i sin 2x
cos nx + 2x − cos 2x
2i sin 2x
cos (kx),
n
P
+
sin nx + 2x + sin 2x
2 sin 2x
=
sin 2x + sin nx + 2x
2 sin 2x
+i
cos 2x − cos nx + 2x
2 sin 2x
sin (kx) については、上式の実部と虚部に相当していることから直ちに求まる。
k=0
k=0
二乗に関しては、
 2 
2
x
x 
x 
x






+
sin
nx
+
−
cos
nx
+
sin
cos






2
2 
2
2 
=
+











 


2 sin 2x
2 sin 2x
 n

X ikx 2
 e 
k=0
n
o n
o
sin2 2x + 2 sin 2x sin nx + 2x + sin2 nx + 2x + cos2 2x − 2 cos 2x cos nx + 2x + cos2 nx + 2x
=
4 sin2 2x
2 nx+x
2 nx+x
2 nx+x
2 nx+x
2
sin
sin
+
sin
2 − 2 cos (nx + x) 1 − cos (nx + x) 1 − cos
2
2
2
2
=
=
=
=
=
4 sin2 2x
2 sin2 2x
2 sin2 2x
2 sin2 2x
sin2 2x
(
n
P
n
P
cos (kx),
k=0
sin (kx) について別の方法で求める方法を以下に示す。)
k=0
S1 ≡
n
X
e−nix + enix
1 + e0 e−ix + eix e−2ix + e2ix
+
+
+ ··· +
2
2
2
2
cos (kx) = 1 + cos x + cos 2x + · · · + cos nx =
k=0
(2S 1 − 1) = e−nix + · · · + e−ix + e0 + eix + · · · enix
e(n+1)ix − e−nix
2S 1 − 1 =
eix − 1
S2 ≡
n
X
k=0
eix (2S 1 − 1) = e−(n−1)ix + · · · + e(n+1)ix
x
enix eix/2 − e−nix e−ix/2 sin nx + 2
=
=
eix/2 − e−ix/2
sin 2x
sin (kx) = sin x + sin 2x + · · · + sin nx =
sin nx + 2x
1
+
∴ S1 =
x
2
2 sin 2
−e−nix + enix
−e−ix + eix −e−2ix + e2ix
+
+ ··· +
2i
2i
2i
(2iS 2 ) = −e−nix − · · · − e−ix + eix + · · · + enix
eix (2iS 2 ) = −e−(n−1)ix − · · · − e0 + e2ix + · · · + e(n+1)ix
(2iS 2 ) =
e(n+1)ix − eix − e0 + e−nix e(n+1)ix + e−nix eix + e0 enix eix/2 + e−nix e−ix/2 eix/2 + e−ix/2
=
− ix
=
− ix/2
eix − 1
eix − 1
e −1
eix/2 − e−ix/2
e − e−ix/2
cos nx + 2x
cos 2x
cos nx + 2x
cos 2x
−
+
=
∴ S2 = −
i sin 2x
i sin 2x
2 sin 2x
2 sin 2x
(証明終り)
41
5.7
双曲線関数 hyperbolic sin, hyperbolic cos, hyperbolic tan
¶双曲線関数
³
定義
sinh x ≡
e x − e−x
,
2
cosh x ≡
e x + e−x
,
2
tanh x ≡
sinh x
e x + e−x
= x
cosh x e − e−x
三角関数同様に cosech x , sech x , coth x が定義される。
級数展開
sinh x = x +
x3 x5 x7 x9
+
+
+
+ ···
3! 5! 7! 9!
= i sin ix
,
sinh ix = i sin x
cosh x = 1 +
x2 x4 x6 x8
+
+
+
+ ···
2! 4! 6! 8!
= cos ix
,
cosh ix = cos x
e x = cosh x + sinh x = cos ix + i sin ix
e−x = cosh x − sinh x = cos ix − i sin ix
性質
cosh2 x − sinh2 x = 1
微分してもマイナスはつかない
(sinh x)0 = cosh x
(cosh x)0 = sinh x
加法定理にもマイナスはでてこない
sinh (α + β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
cosh (α + β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β
逆双曲線関数
√
arcsinh x = sinh−1 x = ln x + x2 + 1
√
arccosh x = cosh−1 x = ± ln x + x2 − 1
参考
Z
√
dx
x2 + 1
= arcsinh x + C
µ
´
オイラーの定理 との関係
eix = cos x + i sin x
e x = cosh x + sinh x
42
200
200
1.0
cosh(x)
sinh(x)
tanh(x)
100
150
0.5
0
100
0.0
-100
50
-0.5
-1.0
-200
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
図 8 sinh 関数
-4
-2
0
2
4
6
-6
図 9 cosh 関数
-4
-2
0
2
4
6
図 10 tanh 関数
¶対数三角関数
³
定義
− ln (1 − x) − ln (1 + x)
sinl x ≡
= ln
2
r
r
1
+ ln
1−x
1
1+x
r
1
1
− ln
1−x
1+x
q
q
1
1
+
ln
ln
1−x
1+x
sinl x
− ln (1 − x) − ln (1 + x)
tanl xx ≡
=
=
q
q
cosl x − ln (1 − x) + ln (1 + x)
1
1
ln 1−x
− ln 1+x
− ln (1 − x) + ln (1 + x)
cosl x ≡
= ln
2
r
級数展開
sinl x = x +
x3 x5 x7 x9
+
+
+
+ ···
3
5
7
9
=
Z Z
1 + x2 + x4 + x6 + · · · dx =
1
dx
1 − x2
Z Z
x2 x4 x6 x8
x
+
+
+
+ ···
=
dx
x + x3 + x5 + x7 + · · · dx =
2
4
6
8
1 − x2
!
Z
1
x2 x3 x4
1
ln
= sinl x + cosl x = 1 + x +
+
+
+ ···
=
dx
1−x
2
3
4
1−x
cosl x = 1 +
性質 : 微分すると公比数列の和になる
(sinlx)0 =
1
1 − x2
(coslx)0 =
(sinlx + cosl)0 =
x
1 − x2
1+x
1
=
2
1−x
1−x
cosl2 x − sinl2 x =?
ログボリック関数 (おそらく、あまり三角関数との関連はない)
µ
´
43
3
2.5
sinl(x)= ( - ln( 1-x ) + ln ( 1+x ) ) / 2
cosl(x)= ( -ln( 1-x ) - ln ( 1+x ) ) / 2
2
2.0
1
1.5
0
-1
1.0
-2
0.5
-3
0.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
図 11 sinl 関数
-0.5
0.0
0.5
1.0
図 12 cosl 関数
20
6
sinl(x)+cosl(x)= -ln( 1-x )
5
10
4
3
0
tanl(x)= ( -ln( 1-x ) - ln ( 1+x ) )
/ ( -ln( 1-x ) + ln ( 1+x ) )
2
-10
1
0
-20
-1.0
-0.5
0.0
0.5
-1.0
1.0
数列の和
等差数列 : 初項 a0 , 公差 d
an = a0 + (n − 1) d,
Sn =
n
n (n − 1)
(a0 + an ) = na +
d
2
2
等比数列 : 初項 a0 , 公比 r
an = a0 rn−1 ,
0.0
図 14 tanl 関数
図 13 sinl 関数と cosl 関数の和
5.8
-0.5
S n = a0
1 − rn
1−r
(r , 1)
応用 : an = nrn
S n = r + 2r2 + 3r3 + 4r4 + · · · nrn
44
0.5
1.0
=
n
o
r
1 − (n + 1) rn + nrn+1
2
(1 − r)
(証明)
rS n = r2 + 2r3 + 3r4 + 4r5 + · · · + (n − 1) rn + nrn+1
S n − rS n = r + r2 + r3 + r4 + r5 + · · · + rn − nrn+1
n
n+1
= r 1−r
1−r − nr
r
n
n
= 1−r {1
n − r − n (1 − r) r }o
r
n
n
n+1
= 1−r 1 − r − nr + nr
よって、(1 − r) S n =
r
1−r
n
1 − (1 + n) rn + nrn+1
o
(証明終り)
級数和の基礎
X
X
r=
1
n (n + 1)
2
1
n (n + 1) (2n + 1)
6
(
)2
X
1
3
(n
r =
n + 1)
2
X
r (r + 1) =
r2 =
1
n (n + 1) (n + 2) ,
3
X
r (r + 1) (r + 2) =
1
n (n + 1) (n + 2) (n + 3)
4
(証明)
r (r + 1) (r + 2) =
1
{− (r − 1) r (r + 2) (r + 2) + r (r + 1) (r + 2) (r + 3)}
4
(証明終り)
X
5.9
1
1
=1−
r (r + 1)
n+1
無限級数
1
1
1
1
1 + 2 + 2 + 2 + ··· + 2 + ···
2
3
4
n


=
1
1
1
1
1 + 2 + 2 + 2 + ··· +
+ ···
3
5
7
odd2


=
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+ ···
22 42 82
even2


=
1
1
1
1 − 2 + 2 − 2 + ··· + ···
2
3
8


=
∞
X
n=1
45
∞
X
n=1
=


1

2
(2n − 1)

1 

(2n)2

∞
X
(−1)n−1 

n2 
n=1
(これらは フーリエ級数展開によって求まる)

∞
X
1 

n2 
n=1
=
=
π2
6
=
π2
24
π2
12
π2
8
6 複素数
6.1
複素数の和・積
6.2
複素関数
f (z) = u (x, y) + i v (x, y)
正則関数 : 微分可能な複素関数
f 0 (z) = lim
z0 →z
f (z0 ) − f (z)
z0 − z
で定義される導関数が経路に依らず一定。
¶コーシー・リーマン方程式
正則関数である必要充分条件は、
³
∂u ∂v
= ,
∂x ∂y
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
で与えられる。これをコーシー・リーマンの方程式という。
µ
´
∂u ∂v
∂v ∂u
/ = 1,
/
= −1 とした方が覚え易い気もする。
∂x ∂y
∂x ∂y
46
7 フーリエ級数・フーリエ積分
7.1
フーリエ級数
¶フーリエ級数展開
³
周期 2L をもつ関数 f (x) について、以下が成立。
f (x) = a0 +
∞ X
nπx
nπx an cos
+ bn sin
L
L
n=1
Z L
1
a0 =
f (x) dx
2L −L
Z L
1
nπx
an =
f (x) · 2 cos
dx
2L −L
L
Z L
1
nπx
bn =
f (x) · 2 sin
dx
2L −L
L
意味：周期関数 f (x) は、同じ周期を持つ三角関数 (cos と sin) の和として表すことができる
µ
´
偶関数は cos 関数の和で、 奇関数は sin 関数の和で 表される
図 15
周期 2L/n の cos 関数たち
図 16
周期 2L/n の sin 関数たち
(証明) f (x) の式を、a0 , an , bn の式に代入すれば OK (証明終り)
ただし、途中で次の公式を用いる
47
三角関数の周期範囲の積分公式:大事
Zπ
1 dx = 2π
−π
単に周期範囲で積分すれば 区間の長さ=周期 になる (当然)
Zπ
Zπ
cos x dx =
−π
sin x dx = 0
−π
三角関数そのままを周期範囲で積分すると ゼロになる
Zπ
cos x · sin x dx = 0
−π
cos と sin を掛け合わせても ゼロになる
Zπ
Zπ
cos nx · cos mx dx =
−π
sin nx · sin mx dx = 0
−π
波 (の周期) が異なるものを掛け合わせても ゼロになる
Zπ
Zπ
cos x · cos x dx =
−π
sin x · sin x dx = π
−π
同一の波を掛け合わせたときだけ、周期の長さの半分 の値になる
まとめると、
ZL
cos
−L
ZL
−L
mπx
mπx
· sin
dx = 0
L
L
mπx
mπx
cos
· cos
dx =
L
L
ZL
−L


L (m = n)


mπx
mπx

sin
· sin
dx = 


L
L
 0 (m , n)
48
(証明その 1) ∼ 石井先生の配布プリント
49
(証明その 2)
Z
Z
Z
cos (nx + mx) dx =
cos nx cos mxdx − sin nx sin mxdx
これを [−π, π] で積分すれば、
Zπ
0=
Zπ
cos nx cos mxdx −
−π
さて一方、
sin nx sin mxdx
···
−π
Z
Z
(sin nx)0
· cos mxdx
n
# Z
"
sin nx
sin nx
· cos mx −
· (cos mx)0 dx
=
n
n
"
#
Z
m
sin nx
· cos mx +
sin nx sin mxdx
=
n
n
cos nx cos mxdx =
これを [−π, π] で積分すれば、
Zπ
−π
m
cos nx cos mxdx =
n
Zπ
sin nx sin mxdx
···
−π
が成立するのは、
Zπ
Zπ
n=m
−π
−π
n = m の場合は
Zπ
Zπ
sin2 nx dx = π
2
cos nx dx =
−π
sin nx sin mxdx = 0
cos nx cos mxdx =
もしくは
−π
(グラフ参照)
cos の 2 乗は、平均して 0.5 の高さ→積分値は積分範囲の半分
図 17 cos 関数とその 2 乗
50
7.2
フーリエ級数いろいろ
※ グラフは 100 項までを数値計算したもの
(1) 矩形その 1
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-10
-5
0
5
4
sin 3x sin 5x sin 7x
f (x) =
sin x +
+
+
+ ···
π
3
5
7
10
!
(2) 矩形その 2
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-10
-5
0
5
4
cos 3x cos 5x cos 7x
f (x) =
cos x −
+
−
+ ···
π
3
5
7
51
10
!
(3) ノコギリその 1
2
1
0
-1
-2
-10
-5
0
5
10
sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x
4
sin x +
+
+
+
+ ···
f (x) =
π
2
3
4
5
!
(4) ノコギリその 2
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-10
-5
f (x) =
0
5
4 sin 2x sin 4x sin 6x sin 8x
+
+
+
+ ···
π
2
4
6
8
52
10
!
(5) トゲ型
6
5
4
3
2
1
0
-10
-5
f (x) =
0
5
cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x
4
cos x +
+
+
+
+ ···
π
2
3
4
5
10
!
(6) δ 関数
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-5
f (x) = 1 +
0
5
10
1
(cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x + · · ·)
π
(7) δ 関数に似た関数
20
10
0
-10
-20
-10
-5
f (x) = 1 +
0
5
1
(sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x + · · ·)
π
53
10
(8) 対称なギザギザ ( f (x) = x 型)
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10
-5
f (x) =
0
5
10
π 4
cos 3x cos 5x cos 7x
−
cos x +
+
+
+ ···
2 π
32
52
72
!
ここで f (0) = 0 を使えば、
1+
1
1
1
+ 2 + 2 + ···
2
3
5
7
=
π2
8
が得られる
(9) 対称なギザギザ ( f (x) = −x 型)
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10
-5
0
5
4
cos 3x cos 5x cos 7x
f (x) =
cos x +
+
+
+ ···
π
32
52
72
54
10
!
(10) さざ波 (放物線)
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10
-5
0
5
10
4
cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x cos 6x
f (x) =
cos x +
+
+
+
+
+ ···
π
22
32
42
52
62
!
(11) あら波
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10
-5
0
5
4
sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x
f (x) =
sin x +
+
+
+
+
+ ···
π
22
32
42
52
62
55
10
!
(12) 放物線 y = x2
10
5
0
-5
-10
-10
f (x) =
-5
0
5
10
π2
cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x cos 6x
+ 4 − cos x +
−
+
−
+
+ ···
3
22
32
42
52
62
ここで f (π) = π2 を使えば、
1+
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ···
2
2
3
4
5
6
7
が得られる
56
=
π2
6
!
7.3
複素フーリエ級数
¶複素フーリエ級数展開
³
区間 [−L, L] で定義された関数 f (x) について、以下が成立。
nπx αn exp i
L
n=−∞
∞
X
f (x) =
1
αn =
2L
Z
L
−L
nπx f (x) exp −i
dx
L
µ
´
(証明)
前節のフーリエ級数の式中の三角関数に以下を代入する。
cos
nπx nπx 1 nπx i
=
e L + e− L i
L
2
sin
nπx nπx
1 nπx i
=
e L + e− L i
L
2i
やればわかる
(証明終り)
(参考)
区間 [−L, L] で定義される関数 f (x) が、互いに直交する関数 gn (x) = exp i nπx
で展開されている。
L
f (x) =
∞
X
αn gn (x)
n=−∞
これは、関数 f (x) が、
| f i = |· · · , α−1 , α0 , α1 , · · · , αn , · · ·i
という一連の係数のセット (=ベクトル) で表現できることを意味する。この方法でいけば、gn (x) は、n 番目の
係数のみが 1 で、他の係数はみなゼロであるベクトルとなる。
|gn i = |· · · , 0, 0, 0, · · · , 1, · · ·i
関数どうしを掛け合わして積分することは、ベクトルの内積をとることに相当している。
Z
hgn | f i =
L
−L
g∗n (x) · f (x) dx = αn
(注意) 内積の左側のベクトルに相当する関数は、実際の積分では複素共役をとる。
f と f の内積 (つまり自身との内積) をとることで、大きさ (ノルム) が得られる
Z
2
kfk
= hf | fi
L
=
f ∗ (x) · f (x) dx
−L
=
∞
X
n=−∞
これが、波動関数 Ψ (x) ならば、「存在確立」ということになる。
57
α∗n · αn