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修士論文要旨 (2011 年度)
混合方程式および SPICE 指向型ホモトピー法を用いた
非線形回路の直流動作点解析
DC Analysis of Nonlinear Circuits
Using Hybrid Equations and SPICE-oriented Homotopy Methods
電気電子情報通信工学専攻
柳
潤一
Junichi YANAGI
混合方程式も実用的な方程式として広く使われる可能性
1. ま え が き
がある．
この問題に対し，最近山村，戸野倉は SPICE の過渡解
非線形抵抗回路を記述する方程式にはいくつかの種類
があるが，その中で混合方程式は理論的に扱いやすいた
め，理論研究においてしばしば用いられる．特に解の存
在，一意性，安定性に関する理論やホモトピー法の大域的
収束性の証明などにおいて多用されている [1]∼ [3]．また
数値解析の観点からも，混合方程式は変数の数が少ない，
変数分離可能であるなどの性質をもつため，Katzenelson
法をはじめとする区分的線形解析や全解探索などにおい
て非常に有利な方程式となる [3]∼ [5]．
混合方程式に関連する本研究室の成果をいくつか紹介
すると，まずホモトピー法の大域的収束性の証明に関す
る山村，堀内，大石らの研究がある [6]∼ [9]．ホモトピー
法の大域的収束性の証明はその後山村，井上らにより修
正節点方程式に対して行われているが [10]，理論の骨格
を与えたのはそれ以前の混合方程式に対する研究である．
また非線形回路の全解探索法に関する研究は最近の山村，
析を用いて混合方程式を導出する簡単な方法を提案して
いる [15]．また SPICE の過渡解析を用いてホモトピー法
を簡単に実現する SPICE 指向型ホモトピー法の研究が行
われている [16]．
本研究では，以上の研究を背景に，複雑な理論やプログ
ラミングなしに，SPICE だけを用いて，混合方程式を自
動的に導出し，それにホモトピー法を適用する（混合方
程式の導出から解析までを一挙に行う）実用的で簡単な
方法を提案する．このような組み合わせに対する研究は
過去に例がなく，混合方程式の実用化に向けての一つの
示唆となる可能性をもつ．
2. 混合方程式
本章では非線形抵抗回路を記述する混合方程式につい
て簡単に説明する [1], [2]．
混合方程式は非線形抵抗の枝電圧と枝電流のみを変数
須田，田村の研究 [11], [12] をはじめとして数多く行われ
とする方程式である．電圧制御型非線形抵抗の枝電圧，枝
ているが，これらはすべて混合方程式の変数分離性の活
電流からなるベクトルを v a , ia , 電流制御型非線形抵抗の
用によりその計算効率を大幅に改善している．
枝電圧，枝電流からなるベクトルを v b , ib でそれぞれ表
その他，有名な篠田の問題 [13] に対して回答の一部を
すものとする．混合方程式では，電圧制御型非線形抵抗
与えた研究として文献 [14] が知られているが，この成果
は電圧ポートとして，電流制御型非線形抵抗は電流ポー
は混合方程式とホモトピー法をベースとするものである．
トとして外部に取り出し，残りの線形抵抗，独立電圧源，
（この研究の続編として，その後修正節点方程式に対する
文献 [10] の研究が行われている．
）
このように混合方程式は理論面，実用面の両方において
独立電流源，従属電圧源，従属電流源をひとまとめにし
て線形 n ポート回路と考える．
ここで線形 n ポート回路の電圧ポートに独立電圧源を，
非常に優れた性質をもっている．しかし混合方程式は定式
電流ポートに独立電流源を接続する．そのような線形回
化が容易でないため [1]，実用面で使われることはほとん
路のグラフを考え，接続した独立電圧源をすべて含み，独
どなく，実際には修正節点方程式が広く用いられている．
立電流源を含まない木を選ぶ．この木に対する基本カット
もし混合方程式を「複雑な理論やプログラミングなしに」
セット方程式と基本閉路方程式を考え，行列演算により
「SPICE だけを使って」簡単に導出することができれば，
v a , ia , v b , ib 以外の変数を消去すれば，次のような方程
式が得られる．



ia
+H
vb
v


va
ib
−s=0
(1)
v
1
h2
1T
h1
ただし H は混合行列と呼ばれる n × n 行列，s は n 次元
v
代入することにより混合方程式
g(x) + Hx − s = 0
が得られる．ただし，x = [v a ib ]T である．
h2
文献 [15] より，非線形抵抗回路の非線形抵抗を n 個 (＝
v
1T
v
2n
1T
ホモトピー回路
1
h1
(2)
h 2n
1T
図1
ベクトルである．この式に非線形抵抗の電圧・電流特性を
v
2
2k-1
1T
h2k-1
v
2
2k
h 2k
1T
1T
トランジスタの数×２＋ダイオードの数) の独立電圧源に置
き換え，置き換えた電圧源の枝電圧を v = (v1 , · · · , vn )T ，
その電圧源を流れる枝電流を i = (i1 , · · · , in )T とする．
このとき式 (1) は次のようになる．
i + Hv − s = 0
i2
i1
v
v
2
(3)
もとの回路のネットリストに簡単な修正を施し，行列
H を求める H 回路およびベクトル s を求める s 回路作
成し，解析することで混合方程式を導出できる．
i2k
1
i2k-1
v
v
2k
2k-1
図 2 混合方程式の枝電流 i を導出する回路
と 定 義 す る ．こ こ で i
=
(i1 , · · · , i2n )T , v
=
(v1 , · · · , v2n ) （n はトランジスタの数）である．まず，
T
文献 [15] の手法により導出された行列 H およびベクトル
3. 提案手法 1
s を式 (6) に代入し，電流式 i を記述する．次に，式 (6)
本章では，ホモトピー法を用いた混合方程式の解析法
に対して式 (4) のようにホモトピー法を適用し，図 1 に示
について述べる．ホモトピー法とは，既知解 x0 を持つ補
すホモトピー回路の従属電流源に記述し，パス追跡回路
助方程式 f 0 (x) およびホモトピーパラメータ λ を導入し，
と併せて過渡解析することで解が得られる．
しかし，式 (6) におけるトランジスタに流れる枝電流
ホモトピー関数 h : Rn+1 → Rn を
i = (i1 , · · · , i2n )T は，Ebers-Moll モデルのような簡単
h(x, λ) = λf (x) + (1 − λ)f 0 (x)
(4)
なモデルであれば手作業で簡単に記述できるが，SPICE
では一般的に Gummel-Poon モデルのような複雑なモ
で定義する．ここで (x, λ) を変数とする方程式
デルが使用される．また，SPICE のデバイスモデルは
h(x, λ) = 0
(5)
を考えると, 式 (5) を満たす (x, λ) の集合は一般に Rn+1
における曲線となる. ホモトピー法はこのような解曲線
(パス) を (x0 , 0) から始めて追跡し, t = 1 に達した時点
頻繁に改良されるため，枝電流 i の電流式を手作業で記
述するには手間のかかる作業となる．そこで枝電流 i を
SPICE のデバイスモデルを用いてネットリストから自動
的に導出する方法について述べる．まず，独立させたト
ランジスタを用意し，図 2 のような回路を考える．ここ
で式 (5) の解 x∗ を得る方法である.
次に提案手法について説明する．ここでは説明の簡略化
のため，非線形抵抗はトランジスタのみで構成される回
路を考える．ホモトピー法を用いて混合方程式を解析す
で，i2k−1 ，v 2k−1 (k = 1, 2, · · · , n) はそれぞれエミッタ
側の枝電流，ベース・エミッタ間電圧を表している．ま
た，i2k ，v 2k (k = 1, 2, · · · , n) はそれぞれコレクタ側の枝
電流，ベース・コレクタ間電圧を表している．これらの
るには，
回路の節点 v2k−1 および v2k の節点電圧をそれぞれ図 2
f (x) = f (i, v) = i + Hv − s
(6)
に示すようにトランジスタのベース・エミッタ間，ベー
s-circuit
H -circuit
homotopy
circuit
VCC
12V
path-following
circuit
Rc1
Rc2
10K
10K
RBIAS
20K
Rs1 1K
Q1
Q2
Rs2
1K
VIN
0V
図3
提案手法 2
Q4
Q3
ス・コレクタ間に与える．次に，このトランジスタに流
VEE
-12V
れる枝電流 i2k−1 ，i2k を変数として取り出し，それぞれ
図4
ホモトピー方程式 h2k−1 ，h2k に代入する．これにより，
差動回路
SPICE 上に枝電流 i を手作業で記述することなくトラン
ジスタモデルから自動的に導出することができる．なお，
R1
R2
2K
2K
R5
107
Q5
この手法は MOS トランジスタに対しても同様に枝電流
Q6
Q1
Q4
を導出することができる．これらの回路をパス追跡回路
と併せて過渡解析することにより，h(x, λ) = 0 の解曲線
Q3
Q2
VBIAS
-6V
R4
7K
R3
を追跡することができる．したがって，この提案手法は，
2K
第一段階で混合行列 H およびベクトル s を求め，第二段
VEE
-12V
階で使用する構成となる．
4. 提案手法 2
本章では一つの段階で混合方程式の導出から解析まで
図5
VCC
5.6V
定電流源回路
R5
7.5K
R1
12K
を行う方法を提案する．
この方法のアイデアは極めて単純であり，混合行列 H
R9
1.5K
Q3
Q6
Q5
R7
5K
およびベクトル s を求める際に置き換えられた電圧源を
Q1
流れる枝電流 i を変数として考え，図 3 に示すように s 回
Q4
Q7
路と H 回路をホモトピー回路およびパス追跡回路と並列
Q2
R2 300
R3
1.5K
R6
1.0K
に接続し，SPICE の過渡解析を適用する．すると SPICE
R10
240
R8
10K
R11
150
R4 98.603K
ではまず，λ = 0 におけるこれらの回路の直流解を計算す
図6
る．この直流解析によって，枝電流 i の値は s 回路と H
発振回路
回路から計算される．この場合，回路規模は大きくなる
るトランジスタのベース・エミッタ間電圧, 横軸はホモト
が，第一段階で得られた混合行列 H およびベクトル s を
ピーパラメータ λ を表し，また解曲線上のマークはステッ
第二段階でネットリストへの入力が不要となる．
プを表している．また，計算結果を表 1∼表 3 に示す.
5. 数 値 例
6. 結
混合方程式 (HE) を導出と解析を二段階で行う提案手
本稿では，SPICE だけを用いて混合方程式を簡単に解
法 1(proposed1) および導出から解析までを一段階で行う
析する方法を示した．混合方程式は非常に便利な方程式
提案手法 2(proposed2) を不動点ホモトピー法 [10] を用い
であるが，その解析をおこなうには別個のプログラムを
て SPICE3f5 上に実装し，図 4∼図 6 に示す実用回路に
使う必要があった．本稿で示したように複雑な理論やプ
対してシミュレーションを行った．また，修正節点方程式
ログラミングを一切用いることなく，SPICE のみを用い
(MNE) にも同様に不動点ホモトピー法を適用し，計算効
て混合方程式を簡単に導出から解析まで行うことができ
率の比較を行った. 図 4∼図 6 の回路に混合方程式および
れば，混合方程式も実用的な方程式として広く使われる
修正節点方程式に対して不動点ホモトピー法を適用した
可能性がある．当面，修正節点方程式がデファクトスタン
時の解曲線を図 7∼図 9 に示す．これらの図で，縦軸はあ
ダードである状況は変わらないと予想されるが，混合方
論
1
表1
MNE
HE(proposed1)
HE(proposed2)
Q3 Ve
0.8
使用方程式
0.6
3.130
86
278 0.12
HE(proposed1)
3.130
86
269
0.10
HE(proposed2)
3.130
86
269
0.22
使用方程式
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
λ
0.8
MNE
HE(proposed1)
HE(proposed2)
0.8
総反復回数 計算時間 (秒)
ステップ数
MNE
6.000
158
610 0.30
HE(proposed1)
4.633
127
453
0.28
HE(proposed2)
4.633
127
453
0.80
表3
使用方程式
図 7 差動回路に対する解曲線
発振回路に対する計算結果
総反復回数 計算時間 (秒)
解曲線の長さ
ステップ数
MNE
6.900
181
670 0.40
HE(proposed1)
5.800
153
478
0.36
HE(proposed2)
5.800
153
480
1.28
[4]
Q1 Ve
定電流源回路に対する計算結果
解曲線の長さ
1
1
総反復回数 計算時間 (秒)
ステップ数
MNE
表2
0.4
差動回路に対する計算結果
解曲線の長さ
0.6
J. Katzenelson, “An algorithm for solving nonlinear resistor
networks,” Bell Syst. Tech. J., vol.44, no.8, pp.1605-1620, Oct.
1965.
[5]
0.4
L.O. Chua and R.L.P. Ying,
“Finding all solutions of
piecewise-linear circuits,” Int. J. Circuit Theory Appl., vol.10,
no.3, pp.201–229, July 1982.
0.2
[6]
山村清隆, 久保浩之, 堀内和夫,“ 不動点ホモトピーを用いた非線形抵
抗回路の大域的求解法, ”電子情報通信学会論文誌 (A), vol.J70-A,
0
0
0.2
図8
0.4
0.6
λ
0.8
no10, pp.1430-1438, Oct. 1987.
1
[7]
定電流源回路に対する解曲線
久保浩之, 山村清隆, 大石進一, 堀内和夫, “ 不動点ホモトピーを用い
た非線形抵抗回路の大域的求解法. トポロジカル定式化による解析., ”
電子情報通信学会論文誌 (A), vol.J71-A, no.5, pp.1139 − 1146 ,
1
MNE
HE(proposed1)
HE(proposed2)
0.8
May 1988.
[8]
山村清隆, 堀内和夫, “ 非線形回路解析におけるホモトピー法の収
束性について, ” 電子情報通信学会論文誌 (A), vol.J72-A, no1,
pp.156-159, Jan. 1989.
Q4 Ve
0.6
[9]
K. Yamamura and K. Horiuchi, “A globally and quadratically
convergent algorithm for solving nonlinear resistive networks,”
0.4
IEEE Trans. Comput.-Aided Des. Integr. Circuits Syst., vol. 9,
no. 5, pp. 487–499, May 1990.
[10]
0.2
K. Yamamura, T. Sekiguchi, and Y. Inoue, “A fixed-point homotopy method for solving modified nodal equations,” IEEE
Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl., vol.46, no.6,
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
pp.654–665, June 1999.
λ
[11]
図 9 発振回路に対する解曲線
K. Yamamura, K. Suda, and N. Tamura, “LP narrowing:
A new strategy for finding all solutions of nonlinear equations,” Applied Mathematics and Computation, vol.215, is-
程式が有利となる局面でそれを利用することができれば
大変有意義であると考えられる．
sue 1, pp.405–413, Sept. 2009.
[12]
rable systems of piecewise-linear equations using integer pro-
謝辞 本研究を行うにあたり，多大なる御指導を賜わり
ました山村清隆教授に心より感謝の意を表します．また
gramming,” Journal of Computational and Applied Mathematics 掲載予定.
[13]
多くの御協力を頂いた研究室の皆様にも感謝致します．
文
[1]
献
立 75 周年記念出版）, 第 3 部 最近 25 年間における電子情報通信
[14]
K. Yamamura and T. Sekiguchi, “On the stability of dc op-
L.O. Chua and P. M. Lin, Computer-Aided Analysis of Elec-
erating points obtained by solving hybrid equations,” IEICE
tronic Circuits: Algorithms and Computational Techniques,
Trans. Fundmentals, vol. E80-A, no. 11, pp. 2291–2299, Nov.
L. O. Chua and N. N. Wang, “On the application of degree
1997.
[15]
Int. J. Circuit Theory and Applications 掲載予定.
Circuit Theory Appl., vol.5, no.1, pp.35–68, Jan. 1977.
T. Ohtsuki, T. Fujisawa, and S. Kumagai, “Existence the-
K. Yamamura and M. Tonokura, “Formulating hybrid equations and state equations for non-linear circuits using SPICE,”
theory to the analysis of resistive nonlinear networks,” Int. J.
[3]
篠田庄司, “線形回路と非線形回路,” 電子情報通信学会 75 年史（創
技術の発展, pp.249–255, 電子情報通信学会, 1992.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.
[2]
K. Yamamura and N. Tamura, “Finding all solutions of sepa-
[16]
W. Kuroki, K. Yamamura, S. Furuki, “An efficient variable
orems and a solution algorithm for piecewise-linear resistor
gain homotopy method using the SPICE-oriented approach,”
networks,” SIAM J. Math. Anal., vol.8, no.1, pp.69–99, Feb.
IEEE Trans. Circuits Syst. II, Express Briefs, vol.54, no.7,
1977.
pp.621–625, July 2007.