微分法の基礎 2 2005.9.07up

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命題 3.1 (加法定理）
複合同順として，
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β,
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β,
tan α ± tan β
tan(α ± β) =
.
1 ∓ tan α tan β
この公式から，以下の倍角の公式と半角の公式が得られます．
命題 3.2
sin 2α = 2 sin α cos α,
cos 2α = cos2 α − sin2 α
= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α,
1 + cos 2α
1 − cos 2α
, cos2 α =
.
sin2 α =
2
2
さらに，やはり加法定理から差を積に変形する式が得られます．
命題 3.3
a+b
b−a
sin
,
2
2
a+b
b−a
cos b − cos a = −2 sin
sin
,
2
2
tan b − tan a = {1 + tan b tan a} tan(b − a) .
sin b − sin a = 2 cos
(1)
(2)
(3)
この差を積に変形する公式が因数分解に相当する式になります．それから３角関数とそ
の変数との間の関係が不等式により得ることができます．
命題 3.4
(i)
(ii)
３角関数 sin x, tan x とその変０数 x との間につぎの不等式が成り立つ：
x 6= 0 のとき，
π
0 < |x| <
のとき，
2
したがって，
π
(iii)
0 < |x| <
のとき，
2
| sin x| < |x|,
|x| < | tan x|,
cos x <
sin x
< 1.
x
注意． ここで３角関数の角度の単位は，半径１の円の弧の長さをもってその中心角の角
度を表す弧度法が採用されていることに注意してください．この角度の単位を用いること
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により，３角関数の微分の演算がやりやすくなります．
命題 3.5 （３角関数の基本的な極限）
sin x
= 1,
x
tan x
lim
= 1.
x→0
x
lim
(4)
x→0
証明．命題 3.4 より，
cos x <
sin x
<1
x
(5)
³
0 < |x| <
π´
2
との関係が得られています．
lim cos x = cos 0 = 1
x→0
であるから（これも実際には証明が必要の事実），右辺が常に１だということも合わせて，
間の関数も１に近づく（この考え方をはさみうちの原理といいます），すなわち，
sin x
= 1.
x→0 x
lim
また，再び命題 3.4 の不等式より，
1<
sin x
1
tan x
=
<
x
x cos x
cos x
³
0 < |x| <
π´
2
が得られますから，はさみうちの原理により，
tan x
=1
x→0
x
lim
が得られます．
2
これが３角関数の約分に相当する式ですが，具体的には sin x, tan x の原点における接
線の傾きがそれぞれ１であることをいっています．また，a を定数として，
sin ax
=a
x→0
x
lim
となることに注意してください．
問題 3.1 点Ｏを中心とし，ＡＢを直径とする半円周上の１点をＰとし，∠APO = ∠OPQ と
なるように，点ＱをＡＢ上にえらぶ．点Ｐが円周に沿って点Ｂに近づくとき，点Ｑの極限
の位置を求めなさい1 ．
命題 3.4 を用いると３角関数の導関数が求まります．
1
水本久夫，微分積分学問題集−−改訂版，培風館，p.15.
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(III)
(IV)
(V)
π
)
2
π
{cos x}0 = − sin x = cos(x + )
2
{sin x}0 = cos x = sin(x +
{tan x}0 = 1 + tan2 x =
(−∞ < x < ∞)
(−∞ < x < ∞)
1
cos2 x
(x 6= nπ +
π
; n = 0, ±1, ±2, . . . )
2
証明． 加法定理の (1) 式により，
2 cos(x + h2 ) sin h2
sin(x + h) − sin x
=
h
h
h sin h
= cos(x + ) h 2
2
2
したがって (4) 式により，
sin h
sin(x + h) − sin x
h
= lim cos(x + ) lim h 2
h→0
h→0
h
2 h→0 2
= cos x .
lim
同様に， (2) と (4) により，
sin h
cos(x + h) − cos x
h
= lim (− sin(x + )) lim h 2
h→0
h→0
h
2 h→0 2
= − sin x .
lim
また，tan x の加法定理 (3) と (5) を用いると，x 6= nπ +
π
のとき，
2
tan(x + h) − tan x
tan h
= lim (1 + tan(x + h) tan x) lim
h→0
h→0
h→0
h
h
2
= 1 + tan x .
lim
2
ここでは極限の計算が数多く出てきていますが，
lim f (x) = α
x→a
は関数 f (x) の x = a の値を，本来の値 f (a) をいったん無視して，x = a の近くの動
きからみるとどうなるかということをみています．したがって， f (a) の値と異なること
もあるし，場合によっては f (a) の値が定義されていなくても α が決まるということが
あります．いままでの微分の計算はすべてその例になっているものです．もちろん，
lim f (x) = α,
x→a
f (a) = α
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となるときもあるわけで，そのとき関数 f (x) は x = a において連続であるといわれま
す．この場合，f (a) の値とまわりの動きが一致しているわけですから，グラフはその点で
つながることになります．
極限の計算をする場合はつぎの演算に関する定理を用います：
定理 3.6
lim f (x) = α,
x→a
lim g(x) = β
x→a
ならば，
(i)
lim {f (x) + g(x)} = α + β
x→a
(ii)
lim kf (x) = kα
x→a
(iii)
(k は定数）
lim f (x)g(x) = αβ
x→a
(iv)
β 6= 0 のとき，
lim
x→a
α
f (x)
= .
g(x)
β
また 命題 3.5 の証明において‘ はさみうちの原理 ’が用いられていますが，それは
定理 3.7
g(x) 5 f (x) 5 h(x)
(x 6= a)
かつ，
lim g(x) = α,
x→a
lim h(x) = α
x→a
ならば，
lim f (x) = α .
x→a
と一般に述べることができます．定理 3.6 あるいは定理 3.7 を用いて，xn , cos x, sin x が
各点 a において連続であることが示されます．すなわち，
lim xn = an ,
x→a
lim cos x = cos a ,
x→a
lim sin x = sin a ,
x→a
lim tan x = tan a
x→a
(a 6= nπ +
π
; n = 0, ±1, ±2, . . . )
2
問題 3.2
座標軸上に２定点Ａ (a, 0), Ｂ (0, b)(ab 6= 0) がある．動点Ｐ (p, 0), Ｑ
√
(0, q) がその距離を一定値 l = a2 + b2 に保ちながら，それぞれ横軸上，縦軸上を限りな
くＡ，Ｂに近づくとき，直線ＡＢと直線ＰＱの交点の極限の位置を求めなさい.