物理数学½ ¸ ½ 東京理科大学理学部第一部物理学科

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物理数学½ ¸ ½ 東京理科大学理学部第一部物理学科

年度
物理数学東京理科大学
理学部第一部物理学科
目次
0
1
2
3
はじめに
2
0.1
数学と物理学の関係
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
0.2
物理量の単位と次元
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.3
次元解析と方程式の無次元化
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
0.4
関数記号の中の物理量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
0.5
物理量の大小比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
0.6
理想化と近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
力学のための数学−１次元−
6
1.1
関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
テーラーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5
複素数と複素平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6
力学量：位置、速度、加速度
1.7
力学量と積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8
常微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
力学のための数学−多次元−
32
2.1
行列と行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2
ベクトルとベクトル空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3
線形変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4
固有値と対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5
２次形式と標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6
テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
電磁気学のための数学
58
3.1
ベクトルの微分と空間曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2
ベクトル場における演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3
直交曲線座標系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4
多重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5
線積分と面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1
3.6
ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7
ストークスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.8
電磁気学における基礎方程式−積分形
2
. . . . . . . . . . . . . . . . 83
はじめに
0
0.1
数学と物理学の関係
物理学は自然の成り立ちを論理的に実証学的立場にたって理解する。論理的に
思考を展開するときに使う言語（道具）として数学がある。


−→ 結果の物理解釈

 実験観測
自然 (自然現象)
理論仮説
−→ モデルの定式化とその解を探す


 シミュレーション −→ コンピュータによる数値計算
物理数学 1A,1B
・微分積分
全般
・常微分方程式
全般
・行列
力学、量子力学
・ベクトル解析
電磁気学
物理数学 2A, 2B
・デルタ関数
全般
・複素積分
全般
・変分問題
力学、統計力学、量子力学
・フーリエ、ラプラス変換
力学、電磁気学
・特殊関数
電磁気学、量子力学
・偏微分方程式
電磁気学、波動
3
0.2
物理量の単位と次元
(a) 力学量
x
y
z
基本次元 =（長さ）（時間）
（質量）
[力学量]
x
y
z
単位 (MKS)
速度
1
−1
0
m/s
加速度
1
−2
0
m/s2
力
1
−2
1
kg m/s2 = N
エネルギー
2
−2
1
kg m2 /s2 = J
角速度
0
−1
0
1/s
角運動量
2
−1
1
kg m2 /s
振動数
0
−1
0
1/s
(b) 電磁気量
基本次元 = 力学量次元 ·（電流）w
[電磁気量]
x
y
z
w
単位 (MKSA)
電流
0
0
0
1
A
電荷
0
1
0
1
AS = C
電流密度
−2
0
0
1
A/m2
電場
1
−3
1
−1
N/C = V/m = kg m/A s3
電位
2
−3
1
−1
V = J/C = kg m2 /A s3
磁場
−1
0
0
1
A/m
電気抵抗
2
−3
1
−2
Ω = V/A = kg m2 /A2 s3
電気容量
−2
4
−1
2
F = C/V = A2 s4 /kg m2
4
(c) 熱力学量
基本次元 = 力学量次元 ·（温度）u
0.3
[熱力学量 ]
x
y
z
u
単位
温度
0
0
0
1
K
ボルツマン定数
2
−2
1
−1
J/K = kg m2 /s2 K
気体定数 R
2
−2
1
−1
J/mol K = kg m2 /s2 K mol
熱容量
2
−2
1
−1
J/K
エントロピー
2
−2
1
−1
J/K
圧力
−1
−2
1
N/m2
体積
3
0
0
m3
自由エネルギー
2
−2
1
kg m2 /s2 = J
次元解析と方程式の無次元化
解くべき方程式に含まれる固有の長さ、時間、エネルギーなどを探し、それら
を物理量のスケールとする操作を次元解析という。各物理量をスケールして方程
式を無次元化すると、数学的に取り扱いがしやすくなり結果の物理解釈がしやす
くなる。
0.4
関数記号の中の物理量
cos(kx − ωt)
:
exp(x) = 1 + x +
0.5
() の中は無次元になる組み合わせ
x2
+ ···
2!
x は無次元でなくてはならない
:
物理量の大小比較
対象とする物理系によって、それ固有の長さ、時間、エネルギーは異なるから、
物理量の大小比較はそれら特徴的な量を比較しなければならない。
（例）電子は原子核のまわりを 10−16 [s] でまわる。1 [µs] = 10−6 [s] は人間的スケー
ルではあっという間の短い時間だが、電子によっては長い。
5
0.6
理想化と近似
物理現象を支配するであろう数学（方程式、積分、· · · ）が与えられても、それ
を正確に解くことができないことが多い。
→ 本質を取り出すため or 解を得やすくするために理想化を行って近似解を探
す必要がある。
6
力学のための数学−１次元−
1
1.1
関数
y = ax
a, b, c : 定数 constant
y = b sin(ax) + c
x, y : 変数 variable
y は x の関数 function
= f (x)
x : 独立変数
y : 従属変数
(a) 多価関数
{
x のある値に対し
１つ
２つ以上
}
{
の y が対応するとき
１価
}
多価
(例)y 2 = x (x > 0)
y
+1
x
1
y は x の２価関数
−1
(b) 逆関数
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
g(x) を f (x) の逆関数と言い f
y = f (x)
同値
(
(
)−1
(x)
̸= f (x)
=
1
f (x)
)
g(y) = x
x と y の入れ換えで g(x)=f −1 (x) とおく
x と y の入れ換え
x = f (y)
−1
同値
f −1 (x) = y
• x と y の入れ換えを行うので f (x) と f −1 (x) は直線 y = x に関し対称
• f (x) が１価であっても、f −1 (x) は１価とは限らない
√
y = f (x) = x2 −→ y = f −1 (x) = ± x
7
(例)f (x) = ax + b (a ̸= 0) の逆関数 f −1 (x) は？
y = ax + b より x = (y − b)/a。したがって f −1 (x) = (x − b)/a。







(例)
y=
1.2


ln x




 sin−1 x
√
−−−→ y =
3

逆関数
sin−1 x




 sin−1 (x3 )
ex
sin x

sin(x3 )




 (sin x)1/3
導関数
f (x) の x = a における
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f
(x
+
h)
− f (x)
f ′ (x) = lim
h
( h→0
d
dy ′ ′
=
y,
, y , f (x),
dx dx
f ′ (a) = lim
: x = a における微分係数
: 導関数 derivative
)
d
f (x)
dx
導関数を求めること = 微分する。
(a) 幾何学的意味
y
f (a+h)
f (a + h) − f (a)
= tan θ
h
→ tan α : 接線の傾き
f (a)
α
h
θ
a
x
(b) 微分法の公式のまとめ
1. (f ± g)′ = f ′ ± g ′
2. (kf )′ = kf ′ : k は定数
3. (f g)′ = f ′ g + f g ′
( )′
f ′g − f g′
f
4.
=
g
g2
8
5. 合成関数の微分 : y = f (z), z = g(x) のとき、y = f (g(x)) の微分は
(
)
dy
dy dz
dz
=
= f ′ (z)
= f ′ g(x) · g ′ (x) : 鎖則 (chain rule)
dx
dz dx
dx
6. 逆関数の微分 : １価単調連続関数 y = f (x) の逆関数を x = f −1 (y) とする
とき
dx
1
=
dy
dy
dx
(例)y = xn の微分
y = xn = en ln x : y = ez , z = n ln x → chain rule
d n dy
dy dz
n
n
x =
=
= ez = xn = nxn−1
dx
dx
dz dx
x
x
(例)y = arcsin x (= sin−1 x) の微分
x = sin y より dx/dy = cos y
x
−π/2 ≦ y ≦ π/2(主値) より cos y ≧ 0
+1
d
dy
1
sin−1 x =
= 1/(dx/dy) =
dx
dx
cos y
1
1
=√
=√
(x ̸= ±1)
1 − x2
1 − sin2 y
− π2
(c) 高次導関数（高次微分）
２次導関数
{
}′
f ′ (x + h) − f ′ (x)
f ′′ (x) = f ′ (x) = lim
h→0
h
n 次導関数
dn y dn
(n)
(n)
f (x), y (x),
,
f (x)
dxn dxn
（例）xn の n 回微分
dn−1 n−1
dn−2 n−2
dn n
x
=
n
x
=
n(n
−
1)
x
dxn
dxn−1
dxn−2
= · · · = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!
1.3
テーラーの定理
(a) 定理
9
+ π2
−1
y
関数 f (x) が a ≦ x ≦ b で n 階微分可能、a < x < b で n + 1 階微分可能ならば、
ある点 c (a < c < b) が存在して
1 ′′
1
f (a)(b − a)2 + · · · + f (n) (a)(b − a)n + Rn+1
2!
n!
1
=
f (n+1) (c)(b − a)n+1 : 剰余
(n + 1)!
f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) +
Rn+1
b = x, c = a + θ(x − a) (0 < θ < 1) とおくと
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
Rn+1 =
1 ′′
1
f (a)(x − a)2 + · · · + f (n) (a)(x − a)n + Rn+1
2!
n!
1
f (n+1) (a + θ(x − a))(x − a)n+1
(n + 1)!
テーラー展開
a = 0 のとき
1
1 ′′
f (0)x2 + · · · + f (n) (0)xn + Rn+1
2!
n!
1
=
f (n+1) (θx)xn+1 マクローリン展開
(n + 1)!
f (x) = f (0) + f ′ (0)x +
Rn+1
数列 R1 , R2 , · · · としたとき、 lim Rn = 0 ならば
n→∞
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + · · · + f (n) (a)
(x − a)n
+ · · · : テーラー級数
n!
f (x) = f (0) + f ′ (0)x + · · · + f (n) (0)
xn
+ ···
n!
∞
∑
1 (k)
=
f (0)xk : マクローリン級数
k!
k=0
lim Rn が 0、つまり無限級数で展開できるかどうかは関数 f (x) によって異なる収
n→∞
束半径 r > |x| を満足するか否かによる ((b) 参照)。
< テーラーの定理の証明 >
g(x) ≡ −f (b) + f (x) + f ′ (x)(b − x) +
+ ··· +
1 ′′
f (x)(b − x)2
2!
1 (n)
f (x)(b − x)n + K(b − x)n+1
n!
(
{
1
定数 K ≡
(b − a)n+1
1
f (b) − f (a) + f (a)(b − a) + · · · + f (n) (a)(b − a)n
n!
′
10
})
g(x) は a ≦ x ≦ b で連続、a < x < b で 1 回微分可能、g(b) = 0, g(a) = 0。よっ
てロールの定理『g(a) = g(b) であれば、少なくとも１点 c (a < c < b) において
g ′ (c) = 0 となる』より g ′ (c) = 0 (a < c < b) が成立。また
g ′ (x) = f ′ (x) + {−f ′ (x) + f ′′ (x)(b − x)}
{
}
1 ′′′
′′
2
+ −f (x)(b − x) + f (x)(b − x) + · · ·
2!
{
}
1
1 (n+1)
(n)
n−1
n
+ −
f (x)(b − x)
+ f
(x)(b − x)
(n − 1)!
n!
− (n + 1)K(b − x)n
=
1 (n+1)
f
(x)(b − x)n − (n + 1)K(b − x)n
n!
だから g ′ (c) = 0 より
K=
1
f (n+1) (c)
(n + 1)!
と書ける。この K を g(a) = 0 を表す式に代入すると
f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) + · · · +
+
1 (n)
f (a)(b − a)n
n!
1
f (n+1) (c)(b − a)n+1
(n + 1)!
これでテーラーの定理が証明された。
(b) 主な関数のマクローリン級数
x2
xn
= 1+x+
+ ··· +
+ ···
2!
n!
x3 x5
x2n+1
sin x
= x−
+
− · · · + (−1)n
+ ···
3!
5!
(2n + 1)!
x2n
x2 x4
+
− · · · + (−1)n
+ ···
cos x
= 1−
2!
4!
(2n)!
x2 x3
xn
ln(1 + x) = x −
+
− · · · + (−1)n−1 + · · ·
2
3
n
α(α − 1) 2
α
(1 + x) = 1 + αx +
x + ···
2!
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
+
x + ···
n!
ex
収束半径についての証明は省略する。
(テーラー展開の利用例)
11
(|x| < ∞)
(|x| < ∞)
(|x| < ∞)
(−1 < x ≦ 1)
(|x| < 1, αは実定数)
単振動の運動方程式は次のように与えられる。
mlθ̈ = −mg sin θ
g
⇐⇒ θ̈ = − sin θ
l
θ l
m
これは非線形の微分方程式なので解くのが困難である。そ
こでテーラー展開を用いる。すなわち θ/π ≪ 1 のとき
θ
mg
sin θ = θ −
だから、微分方程式は
θ3
+ ··· ≃ θ
3!
g
θ̈ = − θ
l
となる。これは線形方程式であるため容易に解くことができる。
1.4
偏微分
(a) ２変数関数



 x : 独立変数
z = f (x, y)
y : 独立変数


 z : 従属変数
(例)P V = nRT : 理想気体の状態方程式
→ T = f (P, V )
(b) 偏微分
< １階偏微分 >
１つの変数についてだけ微分し、他の変数は固定する。
∂f
df
f (x + h, y) − f (x, y)
≡
(̸=
)
h→0
h
∂x
dx 偏導関数
f (x, y + h) − f (x, y)
∂f
lim
≡
h→0
h
∂y
lim
記述の仕方としては
∂f
, fx ,
∂x
(
∂f
∂x
∂f = fx (x0 , y0 )
,
∂x x=x0 ,y=y0
y
)
12
などがあるが、その場に応じて適切なものを用いる。
< ２階偏微分 >
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
= fxy
∂y∂x
(例)f (x, y) = x2 y + xy 2 + y 3 のとき、fx , fy , fyx , fxy , fyy は？
(解)fx = 2xy + y 2 , fy = x2 + 2xy + 3y 2
fyx = 2x + 2y, fxy = 2x + 2y = fyx
fyy = 2x + 6y
< 多変数関数の偏微分 >
f (x1 , x2 , · · · , xn )
∂f
f (x1 , · · · , xk + h, · · · , xn ) − f (x1 , · · · , xk , · · · , xn )
= lim
h→0
∂xk
h
(c) 全微分
点 (x, y) と点 (x + ∆x, y + ∆y) における関数 f (x, y) の差
∆f = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)


∆x, ∆y → 0
y
df = f (x + dx, y + dy) − f (x, y)
２変数のテーラー展開
∂f
∂f
dx +
dy + · · · − f (x, y)
∂x
∂y
∂f
∂f
=
dx +
dy : 全微分
∂x
∂y
= f (x, y) +
P (x, y)dx + Q(x, y)dy がある関数 f (x, y) の全微分になるための必要十分条件は
∂Q
∂P
=
∂y
∂x
このとき「P dx + Qdy を完全微分である」という。
< 必要条件の証明 >
P dx + Qdy が f の全微分であるなら、P dx + Qdy =
∂ 2f
∂ 2f
∂Q
∂P
=
=
=
となる。
∂y
∂y∂x
∂x∂y
∂x
13
∂f
∂f
dx +
dy と書ける。
∂x
∂y
同様に３変数のときも、P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz が完全微分であ
るためには
∂Q ∂Q
∂R ∂R
∂P
∂P
=
,
=
,
=
∂y
∂x ∂z
∂y ∂x
∂z
(例）(3x2 + 2xy − 2y 2 )dx + (x2 − 4xy)dy はある関数 f の全微分であることを示し、
f の形を求めよ。
(解）必要十分条件 ∂P/∂y = ∂Q/∂x から
∂P
∂Q
= 2x − 4y =
∂y
∂x
となり完全微分。また ∂f /∂x = 3x2 + 2xy − 2y 2 から
f = x3 + x2 y − 2xy 2 + C1 (y)
∂f /∂y = x2 − 4xy から
f = x2 y − 2xy 2 + C2 (x)
よって
C1 (y) = C(= const.), C2 (x) = x3 + C
したがって
f = x3 + x2 y − 2xy 2 + C
となる。
U
(物理例)
もつ状態量
財産
Q, W
する移動量
給料, 利子
完全微分 dU
¯ dW
¯
不完全微分 dQ,
dU =
)
∂U
dT
∂T V
+
¯ =×→
dQ
(d) 合成関数の微分
• z = f (x, y), x = g(t), y = h(t) のとき
∂f dx ∂f dy
dz
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
(証)dz = (∂f /∂x)dx + (∂f /∂y)dy の両辺を dt で割る。
dz
∂f dx ∂f dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
14
)
∂U
dV
∂V T
→
∫ QB
QA
∫ UB
UA
dU = UB − UA
¯ =×
dQ
• z = f (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)) のとき
∑ ∂f dxk
∂f dx1
∂f dx2
dz
=
+
+ ··· =
dt
∂x1 dt
∂x2 dt
∂xk dt
k=1
n
• z = f (x, y), x = g(r, s), y = h(r, s) のとき
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y ∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
,
=
+
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r ∂s
∂x ∂s ∂y ∂s
(証) 全微分 dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy と書ける。このとき
∂x
∂x
dr +
ds
∂r
∂s
∂y
∂y
dy =
dr +
ds
∂r
∂s
dx =
だから
(
)
(
)
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z ∂x ∂z ∂y
dz =
+
dr +
+
ds
∂x ∂r ∂y ∂r
∂x ∂s ∂y ∂s
∂z
∂z
=
dr + ds
∂r
∂s
(例）f (x) と g(x) を任意の関数として、u(x, t) = f (x + ct) + g(x − ct) は
∂ 2u
1 ∂ 2u
−
= 0 (波動方程式)
∂x2 c2 ∂t2
を満たすことを示せ。
(解）まず y, z を
y ≡ x + ct = y(x, t)
z ≡ x − ct = z(x, t)
とおき、u を u = f (y(x, t)) + g(z(x, t)) とする。このとき
∂u ∂y ∂u ∂z
∂u
=
+
= cf ′ (y) − cg ′ (z)
∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
∂u ∂y ∂u ∂z
∂u
=
+
= f ′ (y) + g ′ (z)
∂x
∂y ∂x ∂z ∂x
から
∂2u
∂ut ∂y ∂ut ∂z
=
+
= c2 f ′′ (y) + c2 g ′′ (z)
2
∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
∂ux ∂y ∂ux ∂z
∂2u
=
+
= f ′′ (y) + g ′′ (z)
2
∂x
∂y ∂x
∂z ∂x
15
これは波動方程式を満たしている。
(別解)
∂ ∂y ∂
∂z ∂
∂
∂
=
+
=
+
∂x t ∂x ∂y ∂x ∂z
∂y ∂z
∂
∂y ∂
∂z ∂
∂
∂
=
+
=c
−c
∂t x
∂t ∂y
∂t ∂z
∂y
∂z
より
(
∂
1∂
+
∂x c ∂t
)(
∂
1∂
−
∂x c ∂t
)
=4
∂2
∂y∂z
したがって
u = f (y) + g(z)
複素数と複素平面
1.5
z = x + iy, x = Re[z], y = Im[z], i2 = −1
z = x + iy
Im
y
= r(cos θ + i sin θ)
極形式
{(
)
(
)}
θ2 θ4
θ3
=r
1−
+
− ··· + i θ −
+ ···
2!
4!
3!
(
)
(iθ)2
(iθ)n
= r 1 + iθ +
+ ··· +
+ ···
2!
n!
z = x + iy
r
θ
x
Re
= reiθ
つまり
eiθ = cos θ + i sin θ
: オイラーの公式
この公式から
1
cos θ = (eiθ + e−iθ )
2
1
sin θ = (eiθ − e−iθ )
2i
となる。また einθ = (eiθ )n より
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
16
: ド・モアブルの公式
が導かれる。
Im
+i z3
z1 = 1 = ei·0
z2
π
π
1
i
+ i sin = √ + √
4
4
2
2
π
π
π
z3 = ei 2 = cos + i sin = i
2
2
z4 = eiπ = cos π + i sin π = −1
3π
3π
3π
+ i sin
= −i
z5 = ei 2 = cos
2
2
π
z2 = ei 4 = cos
z1
Re
+1
z4
−1
−i z5
< 複素数の性質 >
z1 = r1 eiθ1 , z2 = r2 eiθ2 とするとき
• z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
• |z1 z2 | = r1 r2
• arg(z1 z2 ) = argz1 + argz2 = θ1 + θ2
• |eiθ | = 1
• z ∗ = (x + iy)∗ = x − iy
1.6
: 複素共役 (Complex conjugate)
力学量：位置、速度、加速度
x(t) : 時間の関数としての位置
x(t + ∆t) − x(t)
dx(t)
=
= ẋ(t) : 速度
∆t→0
∆t
dt
dv(t)
d2 x(t)
v(t + ∆t) − v(t)
a(t) = lim
=
=
= ẍ(t)
∆t→0
∆t
dt
dt2
v(t) = lim
17
: 加速度
x
電車
x
放物運動
x
単振動
t
t
v
t
v
v
t
t
t
a
a
a
t
t
放物運動：mẍ(t) = −mg
t
単振動：mẍ(t) = −mω 2 x
1
x(t) = − gt2 + v0 t + h0
2
x(t) = x0 sin(ωt)
微分 ↓
↑ 積分
v(t) = ẋ(t) = x0 ω cos(ωt)
v(t) = ẋ(t) = −gt + v0
↓
↑
a(t) = v̇(t) = ẍ(t) = −ω 2 x0 sin(ωt)
a(t) = v̇(t) = ẍ(t) = −g
18
力学量と積分
1.7
積分 = 微分の逆演算
d
•
x = v(t) ⇐⇒ x(t) − x0 =
dt
d
•
v = a(t) ⇐⇒ v(t) − v0 =
dt
∫
t
v(t) dt (等速運動のとき = v(t − t0 ))
t0
∫
t
a(t) dt (等加速度運動のとき = a(t − t0 ))
t0
質量と速度の積を運動量 (P = mv) と定義する。このとき上の加速度と速度の関
係式から
∫
t2
P (t2 ) − P (t1 ) =
F (t) dt
t1
この右辺を力積という。この式は運動量の変化は力積に等しいことを示している。
運動方程式 mv̇ = f を考える。この両辺に速度 v をかけ、時刻 t1 から t2 で積分
する。
∫
t2
t1
dv
mv dt =
dt
∫
t2
t1
dx
f (x) dt ⇐⇒
dt
∫
∫
v(t2 )
x(t2 )
mv dv =
v(t1 )
f (x) dx
x(t1 )
∫ x2
1
1
⇐⇒ mv22 − mv12 =
2
2
f (x) dx . . . (1)
x1
ここで力 f (x) は一般に経路によらない仕事をする力 fc (x)(例えば重力) と経路に
よる仕事をする力 f¯(x)(例えば摩擦力) に分けられる [f (x) = fc (x) + f¯(x)]。さら
に力 fc (x) には fc (x) = −dV (x)/dx なるポテンシャル V (x) が存在する。このとき
(1) 式は
(
) (
) ∫ x2
1 2
1 2
mv + V2 −
mv + V1 =
f¯(x) dx . . . (2)
2 2
2 1
x1
mv 2 /2 を運動エネルギー、V をポテンシャルエネルギー、これらの和を力学的エ
ネルギーという。(2) 式で f¯ = 0 もしくは f¯dx = 0(垂直抗力など) のとき
1
1 2
mv1 + V1 = mv22 + V2
2
2
: 力学的エネルギー保存則
が導かれる。またポテンシャル V をもつような力 fc を保存力という。
19
1.8
常微分方程式
(a) 微分方程式のいろいろ
ほとんどの物理法則は微分方程式で表現されている。
・常微分方程式 (独立変数が１つ)

dN


= −kN
１階
放射性元素の崩壊


dt



d2 I
dI
I
LCR 回路
L 2 +R + =0
２階

dt
dt
C



2
2


 シュレディンガー方程式 − ℏ d ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) ２階
2m dx2
・偏微分方程式 (独立変数が２つ以上)

∂ 2Φ ∂ 2Φ


ラプラス方程式
+
=0

∂x2
∂y 2

∂ϕ
∂ 2ϕ

 拡散方程式
=D 2
∂t
∂x
{
線形微分方程式
: 未知関数および導関数について１次までの項
非線形微分方程式 : 線形でないもの
{
一般解 : n 階の微分方程式の n 個の任意定数を含む解
微分方程式の解
特解 : 任意定数が特別な値になっている解
初期条件:たとえば t = 0 での位置を速度を条件として与えると後の運動が決まる。
⇐⇒ 一般解から特解を求めること。
(b) １階の微分方程式
< 変数分離形 >
dy
= p(x) · q(y)
dx
↓
∫
∫
dy
= p(x)dx + C(積分定数)
q(y)
(例)dy/dx = (y + 1)/(x + 1) を解け。
20
(解) 変数分離形を用いる。
∫
∫
dy
dx
=
y+1
x+1
⇐⇒ ln |y + 1| = ln |x + 1| + C
(C は積分定数)
⇐⇒ ln |y + 1| = ln eC |x + 1|
eC を改めて定数 C とおくと
y + 1 = ±C(x + 1)
⇐⇒y = ±Cx + (±C − 1) (一般解)
となる。
< 定数変化法 >
１階の非同次な微分方程式
dy
+ p(x)y = q(x) . . . (1)
dx
の解を求めるために、まず同次な微分方程式
dy
+ p(x)y = 0 . . . (2)
dx
の解を変数分離を用いて求める。すなわち (2) の解は
∫
∫
dy
= − p(x) dx + C ′ (C ′ は積分定数)
y
∫
⇐⇒ ln |y| = − p(x) dx + C ′
⇐⇒y = Ce−
∫
p(x) dx
′
(C ≡ ±eC )
である。ここで定数としていた C を x の関数と仮定し C(x) を探す。つまり
y = C(x)e−
∫
p(x) dx
として (1) へ代入する。すると
dC(x) − ∫ p(x) dx
e
− p(x)y + p(x)y = q(x)
dx
∫
dC(x)
= q(x)e p(x) dx
⇐⇒
dx ∫
⇐⇒C(x) =
∫
q(x)e
p(x) dx
21
dx + C
したがって、求める一般解は
−
y=e
∫
(∫
p(x) dx
∫
q(x)e
)
p(x) dx
dx + C
となる。
(例)RL 振動回路における微分方程式
I(t)
L
dI(t)
+ RI(t) = V (t)
dt
L
V (t)
について
R
(1) 一般解を求めよ。
(2) V (t) = V0 のときの解を求めよ。
(3) I(0) = 0 とした初期条件で解き (特解を求める)、グラフを書け。
(
(解) (1)I(t) = e
t
−R
L
1
L
∫
t
)
R
t
L
e V (t) dt + C
R
V0
+ Ce− L t
R
(3) 初期条件 I(0) = 0 より C = −V0 /R が得られるから
(2)I(t) =
I(t) =
R )
V0 (
1 − e− L t
R
R
t ≫ 1 のとき
L
I(t) =
I(t)
V0
R
V0
R
R
t ≪ 1 のとき、マクローリン展
L
開を用いると
t
I(t) =
となる。
22
V0
t
L
< 同次形 >
dy
y
= f( )
dx
x
 y → u(x) ≡ y を導入する

x

dy
du

y
y = xu より
=u+x
dx
dx
du
u+x
= f (u)
dx
)
1(
du
= f (u) − u ← 変数分離形に還元される
⇐⇒
dx
x
(例)
dy
x2 + y 2
=
を解け。
dx
xy
(解)u = y/x とおくと
x
1
du
1 1
du
+ u = + u ⇐⇒
= ·
dx
u
dx
x u
変数分離を用いて解くと
√
y = ±x ln x2 + C
となる。
< 完全形と積分因子 >
dy
p(x, y)
=−
⇐⇒ p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0 . . . (1)
dx
q(x, y)
(1) の左辺がある関数 u(x, y) の全微分 du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy になっている
とき完全形であるという。このとき du = 0 となり、(1) の一般解は u(x, y) = C で
与えられる。
dy
x+y+1
=−
を解け。
dx
x − y2 + 3
(解)p(x, y) = x + y + 1, q(x, y) = x − y 2 + 3 とおくと
(例)
∂q
∂p
=1=
∂y
∂x
を満たすので完全形である。このとき
∂u
x2
= x + y + 1 ⇐⇒ u =
+ x(y + 1) + g(y)
∂x
2
∂u
y3
= x − y 2 + 3 ⇐⇒ u = (x + 3)y −
+ h(x)
∂y
3
23
だから h(x), g(y) は
h(x) =
y3
x2
+ x, g(y) = − + 3y
2
3
となり、u(x, y) は
u(x, y) =
x2
y3
+ xy + x −
+ 3y
2
3
したがって、一般解は
x2
y3
+ xy + x −
+ 3y = C
2
3
となる。
p(x, y)dx+q(x, y)dy = 0 が完全形でなくても適当な λ(x, y) を選んで λp(x, y)dx+
λq(x, y)dy = 0 を完全形にできる。この λ(x, y) を積分因子という (このような λ(x, y)
は必ず存在するが、それを探し出せるかは分からない)。du = (λp)dx + (λq)dy よ
り、λ が積分因子となるための必要十分条件は
∂
∂
(λp) =
(λq)
∂y
∂x
となる。ただしこれから λ を決定するのは一般に困難。
(例)(3xy 2 + 2y)dx + (2x2 y + x)dy = 0 を解け。
(解)p(x, y) = 3xy 2 + 2y, q(x, y) = 2x2 y + x とおくと
∂p
∂q
= 6xy + 2,
= 4xy + 1
∂y
∂x
であるから完全形ではない。そこで積分因子 λ = x を導入すると
∂
∂
(λp) = 6x2 y + 2x =
(λq)
∂y
∂x
となり完全形になる。あとは以上を参考にして解けば一般解は
x3 y 2 + x2 y = C
となる。
(参考) 熱力学
dS =
1¯
1
dQ :
= 積分因子
T
T
24
< 非線形微分方程式 >
• ベルヌーイ方程式
dy
+ p(x)y = q(x)y n
dx
u = y 1−n ,
(n ̸= 0, 1)
dy
du
= (1 − n)y −n
より
dx
dx
1 du
+ p(x)u = q(x)
1 − n dx
となり線形化された。
• リッカチ方程式
dy
+ p(x)y 2 + q(x)y + r(x) = 0
dx
(例) 化学反応：H2 + Cl2 → 2HCl
H2 と Cl2 の t = 0 の濃度を a, b、HCl の t > 0 の濃度を x(t) とする。HCl の生成
速度 dx/dt が未反応で残存する H2 と Cl2 の量 a − x/2, b − x/2 に比例するとして
x(t) を求めよ。
(解) 題意より微分方程式は
(
x)
dx
x) (
b−
=k a−
dt
2
2
(k は比例定数)
となる。部分分数に分解し変数分離を用いると解を得る。
}
∫ t
1
1
−
dx = k(b − a)
dt
a − x/2 b − x/2
0
0
1 − e(b−a)kt/2
⇐⇒
x = 2ab
a − be(b−a)kt/2
∫
x
{
−−→ abkt
t→0
{
2b (a > b のとき)
−−−→
t→∞
2a (a < b のとき)
x
a > b のとき
t
(例) 核崩壊列：A −→ B −→ C
λA
λB
単位時間に λA NA 個の核 A が崩壊して核 B になり、単位時間に λB NB 個の核 B が
崩壊して核 C になる核崩壊列において、時刻 t での各核の個数 NA (t), NB (t), NC (t)
25
を求めよ。ただし初期条件は NA = N0 , NB = NC = 0 である。
(解) 微分方程式は次のように与えられる。

dNA


= −λA NA . . . (1)


dt



dNB
= −λB NB + λA NA . . . (2)

dt




dNC


= λB NB . . . (3)
dt
まず (1) を変数分離で解く。
∫
NA
N0
dNA
= −λA
NA
∫
t
dt
0
⇐⇒ NA (t) = N0 e−λA t
これを (2) に代入する。
dNB
+ λB NB = λA N0 e−λA t . . . (2)′
dt
この (2)′ を定数変化法で解く。同次方程式の解はすぐに求まり
NB = Ce−λB t
である。ここで定数 C を変数 C(t) とし (2)′ に代入すると
C(t) =
λA N0 (λB −λA )t
e
+ C0
λB − λA
初期条件から t = 0 で C(t) = 0 だから
C0 = −
λA N 0
λB − λA
したがって NB (t) は
NB (t) =
N0
NC
NA
となる。また NC (t) は
NB
9
λA N0
(e−λA t − e−λB t )
λB − λA
NC (t) = N0 − NA (t) − NB (t)
t
である。
26
(c) ２階の微分方程式
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = r(x) の解を求める。
< 線形、重ね合わせ、１次独立と１次従属、ロンスキー行列式 >
• y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0 . . . (1) の解の性質
L(y) ≡ y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y とし、(1) を満たす解の２つを y1 , y2 とする。こ
のとき２つの解の線形結合 C1 y1 + C2 y2 (C1 , C2 は定数) を L(y) に代入する。
L(C1 y1 + C2 y2 ) = (C1 y1 + C2 y2 )′′ + p(C1 y1 + C2 y2 )′ + q(C1 y1 + C2 y2 )
= C1 L(y1 ) + C2 L(y2 )
L(y1 ) = 0, L(y2 ) = 0 であるから L(C1 y1 + C2 y2 ) = 0 となる。すなわち y1 , y2
が (1) の解であるならば、C1 y1 + C2 y2 も解である。(線形同次方程式のもつ
重ね合わせの原理)
• C1 y1 + C2 y2 = 0 が C1 = C2 = 0 以外のときに常に成立するとき、y1 と y2 は
１次従属といい、そうでないときを１次独立という。
• ロンスキー行列式
y (x)
1
W (x) = y ′ (x)
1
{
有限
=
ゼロ
y2 (x) = y1 y2′ − y1′ y2
′
y (x) 2
： y1 と y2 は１次独立
： y1 と y2 は１次従属
※「Wronski 行列式 ̸= 0 ⇐⇒ １次独立」の証明

y1
···
C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn = 0

 y′
···
C1 y1′ + C2 y2′ + · · · + Cn yn′ = 0
1

⇐⇒

..
..
..

.
.
.

(n−1)
(n−1)
(n−1)
···
+ · · · + Cn yn
=0
y1
C 1 y1


yn
yn′
..
.
(n−1)






yn
C1
C2
..
.



=0


Cn
(C1 = C2 = · · · = Cn = 0 のときだけ成立)=(１次独立)= (Y −1 が存在、つま
り detY = |Y | ̸= 0)
解の性質は同じなので、以後定数係数 p(x) = p, q(x) = q の微分方程式
y ′′ + py ′ + qy = r(x) . . . (2)
の解を探す。この方程式の同次方程式 ((2) の右辺 = 0) は (3) とする。
27
（方法１）同次方程式 (3) の一般解を求め、定数変化法により (2) の一般解を求める。
(特解が自動的に求まる)
（方法２）同次方程式 (3) の一般解を求め、代入法もしくは未定係数法により特解を求
める。
< 方法１ >
y = eλx を (3) に代入する。
(λ2 + pλ + q)eλx = 0
⇐⇒
λ2 + pλ + q = 0
特性方程式
(1) p2 − 4q > 0 のとき
√
1
λ1 = (−p + p2 − 4q)
2
√
1
λ2 = (−p − p2 − 4q)
2
よって
y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x . . . (4)
(2) p2 − 4q < 0 のとき p
λ1 = − + iγ
2
p
λ2 = − − iγ
2
√
4q − p2
,γ =
2
よって
y = ce(−p/2+iγ)x + de(−p/2−iγ)x
= C1 e−px/2 cos(γx) + C2 e−px/2 sin(γx) . . . (5)
(c + d ≡ C1 , i(c − d) ≡ C2 )
(3) p2 − 4q = 0 のとき
重根 λ = −p/2 となり
y1 = e−px/2
これと独立な解を定数変化法で探す。すなわち
y2 = C(x)y1 (x) = C(x)e−px/2
28
を (3) に代入して C(x) を得る。
C(x) = C1 + C2 x
したがって
y = (C1 + C2 x)e−px/2 . . . (6)
以上で同次方程式 (3) の一般解が y = C1 y1 + C2 y2 の形で求まった (各自で y1 と y2
が独立であることをロンスキー行列式 W を用い確認せよ)。次に非同次方程式 (2)
の解を求めるために定数変化法を用いる。
y = C1 (x)y1 + C2 (x)y2 . . . (7)
しかし２つの未知関数 C1 , C2 に対し条件式が (2) しかないため
C1′ (x)y1 + C2′ (x)y2 = 0 . . . (8)
を付け加える。このとき (7) を微分して y ′′ , y ′ を求める。
y ′ = C1 y1′ + C2 y2′
y ′′ = C1 y1′′ + C2 y2′′ + C1′ y1′ + C2′ y2′
ただし (8) を用いた。上の y ′ , y ′′ を (2) へ代入すると
C1′ y1′ + C2′ y2′ = r . . . (9)
が得られる。ここで (8) と (9) を連立して C1 (x), C2 (x) を求める。
(
)(
) ( )
y1 y2
C1′
0
=
y1′ y2′
C2′
r
)
)( )
(
(
(
)
0
C1′
y2′ −y2
−y2 r
1
1
=
=
⇐⇒
W
W
r
C2′
−y1′ y1
y1 r
∫

1

r(x)y2 dx + C1 
C1 (x) = −

W
∫
. . . (10)
⇐⇒

1


C2 (x) =
r(x)y1 dx + C2
W
したがって、求まる (2) の一般解は
∫
∫
1
1
r(x)y2 dx + y2
r(x)y1 dx
y = C1 y1 + C2 y2 − y1
W
W
29
となる。これは同次方程式 (3) の一般解と非同次方程式 (2) の特解からできている
ことが分かるだろう。
(例１) 単振動 (非線形方程式の線形化)
左図より運動方程式は
ml
l
θ
d2 θ
= −mg sin θ
dt2
θ/π ≪ 1 としてマクローリン展開を用いる。
g
θ̈ = − θ
l
m
θ
mg
θ/π ≪ 1 のとき lθ ≃ x だから
x
g
ẍ = − x
l
mg
⇐⇒ mẍ = −
x ≡ −kx：フックの法則
l
k
⇐⇒ ẍ + x = 0
m
この方程式の解は (3) で p = 0, q = k/m, p2 − 4q < 0 としたものに等しいから
√
k
)
x = C1 cos(γt) + C2 sin(γt) ( γ =
m
t = 0 で x = a, ẋ = 0 とすると
C1 = a, C2 = 0
したがって
x(t) = a cos(γt)
となる。
30
(例２) 減衰振動
運動方程式は次式のように与えられる。
mÿ = −ky − bẏ


 ÿ + 2γ ẏ + ω02 y = 0
√
b
k

 γ=
, ω0 =
2m
m
k
⇐⇒
m
特性方程式を解く。
ダッシュポット
λ2 + 2γλ + ω02 = 0
√
λ = −γ ± γ 2 − ω02
⇐⇒
(1) γ > ω0 (過減衰)
√ 2 2
√ 2 2)
(
x(t) = e−γt C1 et γ −ω0 + C2 e−t γ −ω0
(2) γ < ω0 (減衰振動)
−γt
x(t) = e
{
}
(√ 2
)
( √ 2
)
2
2
C1 cos t ω0 − γ + C2 sin −t ω0 − γ
(3) γ = ω0 (臨界減衰)
x(t) = e−γt (C1 + C2 t)
(例３) 強制振動 (減衰振動 + 外力)
運動方程式は次式のように与えられる。
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = f cos(ωt), ω0 > γ
この方程式を次のように書く。
{
z̈ + 2γ ż + ω02 z = f eiωt . . . (∗)
x = Re[z], z ≡ x + iy
(∗) の特解を方法２ (代入法) を使って求める。すなわち z = Aeiωt を (∗) に代入
する。
A=
f
ω02
− ω 2 + 2iωγ
≡ ae−iϕ
f
2γω
a= √ 2
, tan ϕ = 2
2
2
2
2
ω0 − ω 2
(ω0 − ω ) + 4γ ω
31
よって特解は
x(t) = a cos(ωt − ϕ)
となる。(∗) の同次方程式の一般解は減衰振動と同じである。したがって、求める
一般解は
{
x(t) = e
−γt
}
(√ 2
)
( √ 2
)
2
2
C1 cos t ω0 − γ + C2 sin −t ω0 − γ
+ a cos(ωt − ϕ)
となる。
(d) 高階の常微分方程式
ロンスキー行列と演算子法
dn y
dn−1 y
+
a
(x)
+ ··· = 0
; L(y) = 0
1
dxn
dxn−1
dn y
dn−1 y
+
a
(x)
+ · · · = X(x) ; L(y) = X(x)
1
dxn
dxn−1
32
力学のための数学−多次元−
2
線形代数（ベクトルと行列）
2.1
行列と行列式
(a) 行列 (Matrix)
(
A=
1 5 2
)
２行３列の行列
4 2 3
< 行列の和, 差 >
(
)
a11 a12
a21 a22
(
±
b11 b12
)
(
=
a11 ± b11 a12 ± b12
)
a21 ± b21 a22 ± b22
b21 b22
< 行列の定数倍 >
(
k
a11 a12
)
(
=
a21 a22
ka11 ka12
)
ka21 ka22
< 行列の積 >
(
=
a11 a12
)(
b11 b12 b13
)
a21 a22
b21 b22 b23
(
)
a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 a11 b13 + a12 b23
a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 a21 b13 + a22 b23
一般に AB ̸= BA, (i 行, j 列)(j 行, k 列) = (i 行, k 列)
< 転置行列 >
行と列の入れ換え (i, j) 成分 → (j, i) 成分
(
A=
1 2 3
)
4 5 6





, At = 
 2 5 
3 6
(AB)t = Bt At
33
1 4
< 正方行列 >
行と列の数が同じ = n 次正方行列,(i, i) 成分 = 対角要素
< 単位行列 >
(
)
1 0
E=
0 1
< 零行列 >
(
)
0 0
O=
0 0
< 対称行列および反対称行列 >
対称：At = A、反対称 (交代)：At = −A
< エルミート共役行列 >
エルミート共役行列 A† = (A∗ )t = (At )∗
エルミート行列 A は A† = A を満たす
(例) (
A=
cos θ
sin θ
− sin θ cos θ
(
(AB)t =
)
(
, B=
0 2
)
1 0
sin θ
2 cos θ
で (AB)t = Bt At と AB ̸= BA を確かめよ。
)t
(
sin θ
cos θ
)
=
cos θ −2 sin θ
2 cos θ −2 sin θ
(
)(
) (
)
0
1
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
Bt A t =
=
2 0
sin θ cos θ
2 cos θ −2 sin θ
(
) (
)
−2 sin θ 2 cos θ
sin θ 2 cos θ
BA =
̸=
= AB
cos θ
sin θ
cos θ −2 sin θ
(例)
σ1 =
(
0 1
1 0
)
(
, σ2 =
0 −i
i
0
)
(
, σ3 =
34
1
0
0 −1
)
をパウリ行列という。
これらはエルミート行列である。σ2 について確かめよ。また σ1 σ2 , σ2 σ2 を計算せよ。
(
)
0
−i
σ2† =
= σ2 ∴ エルミート
i 0
(
)(
) (
)
0 1
0 −i
i 0
σ1 σ2 =
=
= iσ3
1 0
i 0
0 −i
(
)(
) (
)
0 −i
0 −i
1 0
σ2 σ2 =
=
=E
i 0
i 0
0 1
(b) 行列式 (determinant)
連立方程式を解く (クラメルの公式)
< 連立１次方程式 >
{
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
x=
b1 a22 − b2 a12
a11 a22 − a12 a21
ただし a11 a22 − a12 a21 ̸= 0
b
1
b2
=
a
11
a21
a
a12 11
a21
a22 b2 a11 − b1 a21
=
, y =
a
a11 a22 − a12 a21
a12 11
a21
a22 a b 行列式 ≡ ad − bc
c d < ３元連立１次方程式 >



 a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2


 a x+a y+a z = b
31
32
33
3
b a
1 12 a13
1 x=
b a
a
|A| 2 22 23
b3 a32 a33
a
11 a12 a13
ただし |A| = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a
11 b1 a13
1
, y =
a21 b2 a23
|A|
a31 b3 a33
<n 次元連立１次方程式の解 >



 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
..
.



an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn
= bn
35
̸= 0
a
11 a12 b1 , z = 1 a21 a22 b2 |A| a31 a32 b3 ただし |A| = = b1
.. ..
. .
b1 b2 a12 a22 a11 · · ·
..
.
a1n
..
.
an1 · · ·
ann
̸= 0
1 xj =
|A| |A| = a11 · · ·
..
.
b1 · · ·
..
.
a1n
..
.
an1 · · ·
bn · · ·
ann
a11
..
.
an1
(j = 1, 2, · · · , n)
j列
クラメルの公式
· · · a1n .. ...
. = a11 ã11 + a12 ã12 + · · · + a1n ã1n
· · · ann ãij = 行列 A で i 行 j 列を除いた (n − 1) 次の行列の
行列式の値に (−1)i+j をかけたもの
= aij の余因子
< 行列式の性質 >
(1) ２つの列を入れ換えると符号が変わる
−→ ２つの列 (行) が等しい行列式 = 0
1 2 2 1 = −2, = 2,
3 4 4 3 1 2
1 2
=0
(2) ある列を k 倍すると行列式は k 倍になる
ka b a b
= k(ad − bc) = k kc d c d
(3) ある列が和になっている行列式はそれぞれの行列式の和に等しい
a b a′ b a + a′ b +
= ad − bc + a′ d − bc′ = c d c′ d c + c′ d (4) １つの列に他の列の k 倍を加えても行列式の値は変わらない
b b a b a + kb b a b =
+k
=
d d c d c + kd d c d 36
(5) 転置行列の行列式はもとの行列式に等しい
(
A=
(
At =
a b
c d
a c
)
|A| = ad − bc
)
b d
|At | = ad − bc
(6) (5) より列に対して成り立つことは行に対しても成り立つ
(7) 余因子展開：大行列式を小行列式に
k 列で展開 |A| = a1k ã1k + · · · + ank ãnk =
l 行で展開 |A| = al1 ãl1 + · · · + aln ãln =
n
∑
aik ãik
i=1
n
∑
ali ãli
i=1
(例)
(例)
a b c |A| = d e f = bã12 + eã22 + hã32
g h i d f a c 1+2 2+2 3+2 a c
= b(−1) + e(−1) + h(−1) g i g i d f
d f a c a c = −b +
e
−
h
g i g i d f a b c
0 d e
0 0 f
= a d e
0 f
b c
− 0
0 f
= adf (= 対角要素の積)
(例)
37
b c
+ 0
d e
a b c
b c a
c a b
a+b+c a+b+c a+b+c 性質 (4) を使う
=
b
c
a
(２行, ３行を１行に加える)
c
a
b
1 1 1 = (a + b + c) b c a (2)
c a b 1
0
0 = (a + b + c) b c − b a − b (4) − 1 列を 2 列, 3 列へ
c a−c b−c c−b a−b = (a + b + c) 1 行で展開
a−c b−c = −(a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
(8) 行列式の積 |AB| = |A||B|
< 逆行列 >
数 a(a ̸= 0) のとき、aa−1 = a−1 a = 1 なる逆数 a−1 が存在する。同様に行列
A(|A| ̸= 0) のとき AA−1 = A−1 A = E なる逆行列 A−1 が存在する。正則行列 = 逆
行列を持つ、つまり |A| ̸= 0 なる行列。



ã11 · · ·
a11 · · · a1n

 .

1
.
 ...
.
..  , A−1 =
A=
 .

|A| 
an1 · · · ann
ã1n · · ·
ãji
A−1 の i 行 j 列成分 =
|A|
(
)
(
)
(例)
d
−b
a b
1
A=
, A−1 =
|A| −c a
c d
(
)
(
)
d
−b
a
b
1
AA−1 =
c d |A| −c a
(
)
ad − bc
0
1
=
|A|
0
−bc + ad
(
)
1 0
=
=E
0 1
38

ãn1
.. 
. 

ãnn
(例)


cos θ sin θ 0


−1

A =  − sin θ cos θ 0 
 の逆行列 A を求めよ。
0
0
1
３列目で展開する。
cos θ sin θ
|A| = − sin θ cos θ

ã11 ã21

1
 ã
A−1 =
ã
|A|  12 22
ã13 ã23
=1

ã31

ã32 

ã33






















ã11 = cos θ
− sin θ 0 ã12 = − = sin θ
0
1 sin θ 0 ã21 = − = − sin θ
0
1 cos θ 0 ã22 = = cos θ
0
1 ã33 = 1




















ã13 = ã23 = ã31 = ã32 = 0

cos θ − sin θ 0



=
sin
θ
cos
θ
0


0
0
1

< 逆行列による n 次連立１次方程式の解 >


a11 · · · a1n
 .
.. 
.
AX = B, A = 
. 
,
 .
an1 · · · ann
39

x1
 . 
. 
X=
 . ,
xn


b1
 . 
. 
B=
 . 
bn

A が正則のとき X = A−1 B
n
n
∑
∑
ãij
(A−1 )ji bi =
bi
|A|
i=1
i=1
a
11 · · · b1 · · ·
1 ..
..
=
.
.
|A| an1 · · · bn · · ·
xj =
a1n
..
.
ann
(クラメルの公式)
j
(例)



 4x + 6y + z = 2
2x + y − 4z = 3 を解く。


 3x − 2y + 5z = 8
4 6
|A| = 2 1
3 −2
2 6
4
1
1 1 x=
3 1 −4 = 2, y =
2
|A| |A| 8 −2 5 3
2.2
1 −4 = −151
5 4 6 2 2 1 1 3 −4 = −1, z =
2 1 3 = 0
|A| 3 −2 8 8 5 ベクトルとベクトル空間
(a) ベクトルとは
スカラー = 大きさのみの量
(質量、温度)
ベクトル = 大きさと方向をもつ量 (力、速度)


x1



x=
 x2  列ベクトル (３行１列の行列)
x3
xt = (x1 , x2 , x3 ) 行ベクトル (１行３列の行列)


x1
 . 
. 
x=
 .  n 次元列ベクトル
xn
40
(b) スカラー積 (内積)
ベクトル x(n 次元) の大きさ |x|：
√
√
|x| = x21 + x22 + · · · + x2n = xt x
= ∥x∥ ノルムとも言う
x と y の内積 x · y：
x · y = xt y = x1 y1 + · · · + xn yn = ⟨x|y⟩
位置ベクトルに対しては
x · y = |x||y| cos θ
y−x
1
y
= (|x|2 + |y|2 − |y − x|2 )
2
θ
↓ 余弦定理
x
}
1{ 2
=
x1 + x22 + x23 + y12 + y22 + y32 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2 − (y3 − x3 )2
2
= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
これから直交 ⇐⇒ x · y = 0
(物理例) 仕事
F
仕事 W = F · dr
∫
⇒ F · dr
θ
r
(c) ベクトル積 (外積)
x × y (= x ∧ y)：
方向 : x, yの両方に直交し、x, y, x × yは右手系をなす
大きさ : x, yが作る平行四辺形の面積 |x × y| = |x||y|| sin θ|
x × y = −y × x,
x×x=0
y
x×y
θ
41
x
x × y = (x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) × (y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 )
= (x2 y3 − x3 y2 )e1 + (x3 y1 − x1 y3 )e2 + (x1 y2 − x2 y1 )e3
e e e 1 2 3 = x1 x2 x3 e3
y1 y2 y3 e2
e1
(物理例)
• 角運動量 L = r×mv
• ローレンツ力 F = qv×B
(d) 線形独立性
３次元ベクトル x1 , x2 , x3 :
c 1 x1 + c 2 x2 + c 3 x3 = 0
−→ c1 = c2 = c3 = 0 のとき
x1 , x2 , x3 は線形独立もしくは１次独立という
−→ c1 = c2 = c3 = 0 以外のとき
x1 , x2 , x3 は線形従属もしくは１次従属という
(例)

1


2


1

 
 
 
 , x2 =  5  , x3 =  9 
x1 = 
2
 
 
 
8
6
2
A = (x1 , x2 , x3 )
１行目で展開
1 2 1
|A| = 2 5 9
8 6 2
5 9
=
6 2
2 9
− 2
8 2
42
2 5
+
8 6
= 64 ̸= 0
したがって、基底 x1 , x2 , x3 は線形独立である。なぜなら、|A| = 0 は x1 , x2 , x3 が
線形従属であるための必要十分条件である。
(e) 基底 (base)
任意の n 次元ベクトルが線形独立な n 個のベクトル e1 , e2 , · · · , en の線形結合で
表せるとき e1 , e2 , · · · , en を基底という。基底は一通りであるとは限らない。
３次元ベクトルの場合、同一平面上にない３つのベクトルは基底をつくる。
43
(例)










1
0
0
 
 
 





・ e1 =  0  , e2 =  1  , e3 =  0 

0
0
1


x1



x=
x
 2  = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
x3

1
2
1

 
 
 
 , x2 =  5  , x3 =  9 
・ x1 = 
2
 
 
 
8
6
2
X = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3

C1 + 2C2 + C3

=
 2C1 + 5C2 + 9C3
8C1 + 6C2 + 2C3


α
線形独立

  
= β 
  
γ
すべての組 (α, β, γ) に対し (C1 , C2 , C3 ) が存在する
(f) ベクトル空間とは







(※)
(x + y) + z = x + (y + z) 





x+0=0+x=x

 満足するものをベクトル
その全体をベクトル空間 = 線形空間
x + (−x) = (−x) + x = 0




x, y = ベクトル空間の元
λµx = λ(µx)






n 次元数ベクトル全体V = Rn
λ(x + y) = λx + λy




(λ + µ)x = λx + µx
x+y =y+x
(数ベクトル全体以外のベクトル空間の例)
• 同じ大きさの行列全体
• n 次元多項式
∵x=
n
∑
j=0
n
∑
aj xj = a0 + a1 x + · · · + an xn 全体
j=0
j
aj x , y =
n
∑
j=0
j
bj x , z =
n
∑
j=0
44
cj xj , 0̌=0
※のすべてを満たす。(ex. − x = −
n
∑
aj xj etc.)
j=0
< ベクトル空間の次元 >
V が n 個の基底をもつとき、n 次元ベクトル空間という。
(例)
• n 次元多項式全体のベクトル空間 V の次元
任意のベクトルが e0 = 1, e1 = x, · · · , en = xn を基底とした線形結合であら
わせる。e0 ∼en は線形独立。したがって n + 1 次元。
• べき級数全体は無限次元ベクトル空間
(g) 正規直交系
大きさが 1 で互いに直交するベクトルの集まり

クロネッカーのデルタ
{


1 i = j のとき

δij =
0 i ̸= j のとき
(例)
e1 , e2 , e3 は正規直交系をなす
⇐⇒ ei · ej = δij

δ1i








ei = 
δ
 2i 
δ3i
基底 (線形独立) であっても正規直交系とは限らない
(例) 基底






1
2
1
 
 
 

 
 
x1 = 
 2  , x2 =  5  , x3 =  9 
8
6
2
は正規でもなく、直交もしていない。
−→ 正規直交系は必ず作れる
45
< シュミットの直交化法 >
x1 , x2 , x3 · · · 線形独立
x1
a1 =
∥x1 ∥
x2 − (a1 · x2 )a1
a2 =
∥x2 − (a1 · x2 )a1 ∥
x3 − (a1 · x3 )a1 − (a2 · x3 )a2
a3 =
∥x3 − (a1 · x3 )a1 − (a2 · x3 )a2 ∥
このように選ぶと |ai | = 1, ai ·aj = δij となる。
2.3
線形変換
(a) 線形変換とは、
{
ベクトル空間の元
x
別のベクトル空間の元 y
}



 y = f (x)
に対して
or


 f :x→y







が成り立つとき
f (c1 x1 + c2 x2 ) = c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) : 線形写像
ベクトル次元がxとyで等しいとき → 線形変換という


y1




, A = 
y = Ax : y = 
y
2



..
.
a11 a12 · · ·
a21
..
.


x1




 , x =  x2 



..
.
(b) 線形変換の例
(
(1)A =
2 0
) {
:
(
(2)A =
1
0
0 −1
y1 = 2x1
) {
:
延長
x2
y2 = 3x2
0 3
(1)
3x2
x1 2x1
x2
x1
y1 = x1
y2 = −x2
−x2
46
(2)
x 軸対称
(3)
(
) {
cos θ − sin θ
(3)A =
sin θ
:
θ
y1 = cos θ · x1 − sin θ · x2
y2 = sin θ · x1 + cos θ · x2
cos θ
A(θ) の求め方:
(
)
cos θ
=
sin θ
θ
(
{
1
→
(
1
)
− sin θ
=
cos θ
{
θ
→
a b
)(
c d
1
)
0
a = cos θ
c = sin θ
(
)( )
a b
0
c d
1
b = − sin θ
d = cos θ
(c) 逆変換
|A| ̸= 0(正則) のとき、つまり１対１対応のとき逆変換 A−1 が存在する。
y = Ax → x = A−1 y
(例)
(
A(θ) =
cos θ − sin θ
sin θ
)
cos θ
, |A| = cos2 θ + sin2 θ = 1 において
(
逆回転 A−1 (θ) =
cos θ
sin θ
− sin θ cos θ
)
= A(−θ)
正則でない (１対１対応でない) 変換の例:
(
A=
1 0
0 0
)
{
つまり
y1 = x 1
y2 = 0
|A| = 0
47
x2
x1
正射影
回転
(d) 座標変換：座標軸の変換

( π) 
cos −

6 
e′1 = 
( π) 
sin −
6
( )
( )
1
0
π
π
= cos
− sin
6
6
0
1
π
π
= cos e1 − sin e2
6
6
π
π
′
e2 = sin e1 + cos e2
6
6
y2
x2
− π6
e2
e′2
e1
e′1
2.4
− π6
x1
y1
固有値と対角化
(a) 固有値と固有ベクトル
n × n 行列 A において
{
AX = λXとなるような
固有ベクトル X
固有値
}
λ
が存在する
< X と λ の求め方 >
AX = λX ⇐⇒ (A − λE)X = 0
X = 0 以外の解をもつためには
|A − λE| = 0 : 固有値方程式
を満たさなければならない。
(
)
4 −2
(例)A =
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
1 1
(解) まず固有値方程式を解く。
4 − λ −2
|A − λE| = 1
1−λ
⇐⇒ λ = 2, 3
48
= (λ − 2)(λ − 3) = 0
(
したがって
4−λ
−2
1
1−λ





λ = 2 のとき



)(
x1
x2
)
= 0 より、x1 , x2 を求めると (
x1 = x2
−→ X1 = s





λ = 3 のとき x1 = 2x2 −→ X2 = t


1
)
1
(
2
) , (s, t は任意の実数)
1
X1 とX2 は線形独立

1 1 3



 の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(例)A = 
1
5
1


3 1 1
1−λ
1
3
|A(λ)| = 1
5−λ
1
3
1
1−λ
∴
AXi = λi Xi より

1
= −(λ + 2)(λ − 3)(λ − 6)
λ1 = −2, λ2 = 3, λ3 = 6


1


1


 


1 
 , X2 = √1  −1  , X3 = √1  2 
X1 = √ 
0


2
3
6 
−1
1
1
(b) 対角和 (トレース、シュプール)
a12
a11 − λ
a
a22 − λ
21
|A − λE| = ...
...
an1
···
···
a2n =0
..
..
.
.
· · · ann − λ ···
a1n
= (−λ)n − (a11 + · · · + ann )(−λ)n−1 + · · ·
= (−1)n (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λ − λn )
∴ λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann
すなわち
固有値の和 = 対角和 = Tr A
49
(c) 対角化
正則な変換行列 P を使って、非対角成分 ̸= 0 の正方行列 A を P−1 AP で対角行
列にすること。
(例)2 × 2 行列：
[
]
固有ベクトルX1 , X2 から P = (X1 , X2 ) を作ると、
対角化された行列の対角成分は固有値となる。
(
(証)P−1 AP =
µ1
0
0
µ2
)
となったとする。左から P をかけと
(
AP = P
)
µ1
0
0
µ2
(
⇐⇒A(X1 , X2 ) = (X1 , X2 )
{
つまり
AX1 = µ1 X1
(
A=
−3 2
6
0
0
µ2
}
となり、µ1 , µ2 は固有値λ1 , λ2 となる。
AX2 = µ2 X2
(例)
)
µ1
)
を対角化せよ。
1
|A − λE| = (−3 − λ)(1 − λ) − 12 = (λ + 5)(λ − 3) = 0
−3x1 + 2x2 = −5x1
}
−3x1 + 2x2
= −5x2
}
= 3x1
6x1 + x2
= 3x2
6x1 + x2
(
P = (x1 , x2 ) =
1
P−1 AP =
4
(
1
1
(
x1 = s
(
x2 = t
)
, P−1
1
=
4
−1 3
)(
)(
3 −1
−3 2
1
1
1
6
1
(物理例題) 連成振動の基準座標
50
∴ λ1 = −5, λ2 = 3
)
1
−1
)
1
3
(
1
−1 3
3 −1
1
)
1
(
=
)
−5 0
0
3
)
m
m
k
k
k
x1
{
x2
mẍ1 = −kx1 − k(x1 − x2 ) = −2kx1 + kx2
mẍ2 = −kx2 + k(x1 − x2 ) =
d2
dt2
(
x1
(
)
= −ω02
x2
2
−1
−1
2
)(
x1
x2
|A(λ)| = (λ − 1)(λ − 3) = 0
(
P=
√1
2
1
√
2
√1
2
− √12
(
)
√
, ω0 ≡
k
, A≡
m
(
2
−1
−1
2
Ẍ = −ω02 AX . . . (∗)
=⇒
1
X1 = √
2
)
kx1 − 2kx2
∴ λ1 = 1, λ2 = 3
(
)
1
1
, X2 = √
2 −1
1
(
)
1
)
√1
2
1
√
2
, P−1 =
√1
2
− √12
, P−1 AP =
(
1 0
)
0 3
(∗) の左から P−1 を演算すると
P−1 Ẍ = −ω02 P−1 APP−1 X
Y ≡ P−1 X とすると
(
y1
y2
)

1


y1 = √ (x1 + x2 ) : 重心座標

1 1
x1
1
2
=√
→
1

2 1 −1
x2

 y2 = √ (x1 − x2 ) : 相対座標
2
(
)
{
1 0
ÿ1 = −ω02 y1
2
Ÿ = −ω0
Y ⇐⇒
0 3
ÿ2 = −3ω02 y2
(
)(
)
となる。Y を単振動に帰着させる新しい座標、基準座標と呼ぶ。
1
1
K = m(ẋ21 + ẋ22 ) = m(ẏ12 + ẏ22 )
2
2
1
1
ポテンシャルエネルギー U = k(x21 + (x1 − x2 )2 + x22 ) = k(y12 + 3y22 )
2
2
運動エネルギー
51
)
(d) 実対称行列とエルミート行列、直交行列とユニタリー行列
• 実対称行列 (aij = aji ) は固有ベクトルから作った直交行列で対角化される
• エルミート行列はユニタリー行列で対角化される
実対称行列もエルミート行列もその固有値はともに実数である。
< 固有ベクトルの直交性 >
行列 A の固有ベクトル Xi , Xj , その固有値 λi , λj は
{
AXi = λi Xi . . . (1)
AXj = λj Xj . . . (2)
を満たす。Xtj × (1) と Xti × (2) は
{
Xtj AXi = λi Xtj Xi . . . (3)
Xti AXj = λj Xti Xj . . . (4)
となる。(3) を転置すると
Xti AXj = λi Xti Xj . . . (5)
ここで At = A を使った。よって (5)−(4) から
(λi − λj )Xit Xj = 0
したがって、λi ̸= λj のとき Xti Xj = 0、すなわち直交する。
< 実対称行列 (およびエルミート行列) の固有値は実数 >
行列 A の固有ベクトル Xi , その固有値 λi は
AXi = λi Xi . . . (1)
を満たす。X†i × (1) と (1)† × Xi は
{ †
Xi AXi = λi X†i Xi . . . (2)
X†i AXi = λ∗i X†i Xi . . . (3)
ここで A† = A を使った。よって (2)−(3) から
(λi − λ∗i )X†i Xi = 0
したがって、X†i Xi ̸= 0 だから λi = λ∗i 、すなわち固有値は実数となる。
52
(e) 対角化できない場合
• 対角化条件 = 変換行列 P が正則
= 固有ベクトルが線形独立
• 固有値が縮退 (重根) するとき = 同じ固有値に複数の固有ベクトルが存在す
るとき対角化できない。
(
(例)A =
1 1
0 1
)
の固有値はλ = 1 のみ。
(
したがって固有ベクトルはX = s
1
)
のみで正則な変換行列 P を作れず、対角
0
化できない。
2.5
２次形式と標準化
(a) ２次形式の標準化
すべての項が変数の２次式で表されている関数を２次形式という。f (x1 , x2 ) =
x21 − x1 x2 + x22 で考えてみる。
(
f (X) = Xt AX, X =
x1
)
x2

1
 1 −2 
, A= 1

−
1
2

実対称行列 A を対角化する直交行列 P を用いて線形変換した Y = P−1 X を導入
する。
(
f (PY) = (PY)t A(PY)
= Yt Pt APY
,
Y=
= Yt P−1 APY
y1
)
y2
ここで、実対称行列を対角化する直交行列の性質 Pt = P−1 を用いた。直交行列 P
を作る行列 A の固有ベクトル X1 , X2 は



1
1
√
−√

 2 
2


X1 = 
 1  , X2 =  1
√
√
2
2
53




(
P = (X1 , X2 ) =
(
P−1 AP =
√1
2
1
√
2
1
2
0
0
3
2
− √12
)
)
√1
2
（固有値 λ1 = 1/2 と λ2 = 3/2 が対角要素になる）
(
)
1
0
2
f (PY) = Yt
Y
0 23
1
3
= y12 + y22
2
2
したがって、各変数のみの２乗の２次形式, すなわち標準形にできた。結局、２次形
√
√
式：x21 −x1 x2 +x22 は y1 = (x1 +x2 )/ 2, y2 = (−x1 +x2 )/ 2 で標準形：y12 /2+3y22 /2
になる。
< 標準化の幾何学的意味 >
x2
y2
Y = P−1 X
(
)(
) (
)
√1
√1
y1
x
1
2
2
⇐⇒
=
1
1
√
√
− 2
y2
x2
2
( ) (
( π)
)
(
) 
cos − 4 − sin − π4
x1
y1

⇐⇒
=
( π)
( π)
x2
y2
sin − 4
cos − 4
π
π
曲線を − 回転 = 座標軸を回転
4
4
y1
√
√2
3
2
π
4
x1
楕円の長軸と短軸 (主軸) の方向に座標軸を選んだことになる = 主軸変換
(b)n 変数の２次形式
f (x1 , · · · , xn ) =
n ∑
n
∑
j
ajk xj xk
k
= a11 x21 + (a12 + a21 )x1 x2 + · · · + ann x2n
ajk が対称でなければ (ajk + akj )/2 を改めて ajk とおいた対称行列 A が作れ
f (x1 , · · · , xn ) = Xt AX
と書ける。したがって、Y = P−1 X を用いて
f (x1 , · · · , xn ) = λ1 y12 + · · · + λn yn2
54
と標準化される。
(c) エルミート形式の標準化
２次形式の複素数版
f (x1 ∼xn ) =
n ∑
n
∑
j
ajk x∗j xk
(ajk = a∗kj ; A はエルミート行列)
k
= X† AX (X† = (Xt )∗ )
= X† UU−1 AUU−1 X

λ1

..
†
=Y 
.
λn


Y

(Y = U−1 Xと置いた)
= λ1 |y1 |2 + · · · + λn |yn |2
ここで Y = U−1 X, Y† = (U† X)† = X† U を使った。結局、エルミート行列はユニ
タリー行列で標準化 (対角化) された。
2.6
テンソル
(a) 座標変換とスカラー、ベクトル、テンソル
直交座標軸の回転

z
z
k′
i
x
y′
i
′
j′
j


a11 a12 a13

i


i
y
(i, j, k), (i′ , j′ , k′ ) は基底ベクトル
６個の条件： i′ ·i′ = 1, j′ ·j′ = 1, k′ ·k′ = 1
x′
i′ ·j′ = 0, j′ ·k′ = 0, k′ ·i′ = 0
ajk alk ≡

 ′  
 
 
 j  =  a21 a22 a23   j  = A  j  · · · (1)

 
 
 
′
k
a31 a32 a33
k
k
′
k
i′
3
∑
k=1
ajk alk =
から
{
}
1 (j = l)
0 (j ̸= l)
= δjl
(ajk は x′j 軸と xk 軸との間の角の cos)
AAt = E or At = A−1
座標軸の回転行列 = 直交行列
55

a11 a12 a13


a11 a21 a31

a1k a1k a1k a2k a1k a3k



 

 a21 a22 a23   a12 a22 a32  =  a2k a1k a2k a2k a2k a3k 


 

a31 a32 a33
a13 a23 a33
a3k a1k a3k a2k a3k a3k


1 0 0



=
0
1
0


0 0 1
(1) より

i


i′



 
 j  = At  j′  · · · (2)


 
′
k
k
位置ベクトル r = xi + yj + zk と r′ = x′ i′ + y ′ j′ + z ′ k′ が等しくなる変換をおこな
う。すなわち

x′


x



 
座標軸の回転による
 y′  = A  y 


 
座標変換の式
z′
z

3
∑


′

 xi =
aij xj (i = 1, 2, 3) ≡ aij xj · · · (3)
⇐⇒
j=1



 A = (a ), A : 直交行列
jk
スカラー : 座標変換に際して不変なもの
ベクトル : 座標変換に際して座標変換と同じように変換するもの
テンソル : 座標変換に際してベクトル積のように変換するもの
ベクトルv = vx i + vy j + vz k
= vx′ i′ + vy′ j′ + vz′ k′
′
⇐⇒ v = Avつまり
vi′
=
3
∑
aij vj ≡ aij vj ：ベクトル
j=1
x1 , x2 , x3 系での９個の数 Tij を x′1 , x′2 , x′3 系でみると Tij′
56
座標変換 (3) に際し
Tij′ =
3 ∑
3
∑
k
aik ajl Tkl ≡ aik ajl Tkl ：テンソル
l
′
S = S ：スカラー
(演習) ベクトルのスカラー積 a·b はスカラーであることを示せ。
• スカラー、ベクトル、テンソルの一般的定義
n 階テンソル：Ti′1 i2 ···in = ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn Tj1 j2 ···jn
スカラー：０階テンソル
ベクトル：１階テンソル
テンソル：２階テンソル
• 行列とテンソルは何が違う？
行列は単に文字 (数字) の並び
テンソルは各成分に座標変換に対するある特徴をもつ
• テンソルの性質
1. ２つのベクトルの積 ui vj = Tij はテンソルである
2. クロネッカーのデルタ δij はテンソルである
3. ベクトルを別のベクトルに変換する行列はテンソルである
4. 任意のテンソル Tij は対称テンソル Sij (Sij = Sji ) と反対称テンソル
Aij (Aij = −Aji ) の和 Tij = Sij + Aij で書ける
(b) テンソルの物理例
慣性テンソル、ひずみテンソル、分極率テンソルなど
ω
剛体
0
ri
vi = ω×ri , ω = (ω1 , ω2 , ω3 )
∑
全角運動量L =
i mi ri ×vi
∑
=
i mi ri ×(ω×ri )
↓
ベクトル３重積の公式を使う
}
{ 2
∑
ω
−
(r
·ω)r
r
=
m
i
i
i
i
i
57
L = (L1 , L2 , L3 ), ri = (xi , yi , zi ) とすると
Li =
3
∑
Iij ωj
Li はベクトル、ωj はベクトル
j=1
テンソルの性質 3. より Iij は対称テンソル
I11 =
∑
mi (yi2 + zi2 ) · · · etc.
i
58
電磁気学のための数学
3
ベクトル解析 (ベクトルの微積分)
3.1
ベクトルの微分と空間曲線
(a) 微分
時間 (パラメータ)t の関数としてのベクトル
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
dr(t)
dx(t)
dy(t)
dz(t)
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
dv(t)
d2 x(t)
d2 y(t)
d2 z(t)
a(t) =
=
i
+
j
+
k
dt
dt2
dt2
dt2
v(t) =
(公式) スカラー関数 ϕ(t)、ベクトル関数 A(t), B(t) として
(1)
d
dA dϕ
(ϕA) = ϕ
+
A
dt
dt
dt
(2)
d
dB dA
(A·B) = A·
+
·B
dt
dt
dt
(3)
d
dB dA
(A×B) = A×
+
×B
dt
dt
dt
(1) のみ証明をする。ベクトル関数 A(t) を詳しく見ると
A(t) = Ax (t)i + Ay (t)j + Az (t)k
である。したがって
d
d
(ϕA) = (ϕAx i + ϕAy j + ϕAz k)
dt
dt
(
)
dϕ
dAx
dAy
dAz
=
(Ax i + Ay j + Az k) + ϕ
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
dA dϕ
=ϕ
+
A
dt
dt
となる。
59
また、公式 (2) を用いると大きさ一定のベクトル A(t) と Ȧ(t) は直交することが
示せる。
d
d
(A·A) = (|A|2 )
dt
dt
dA
⇐⇒ 2A·
= 0 (∵ 大きさ一定)
dt
dA
=0
⇐⇒ A·
dt
⇐⇒ A ⊥ Ȧ
(b) 平面曲線
s：線座標 (道のり) とする
∆s
P
左図より
= PQ
−→
PQ
r(s + ∆s) − r(s)
= lim
lim
PQ→0 PQ
∆s→0
∆s
dr
=
ds
≡ t(s)
Q
r(s)
r(s +∆s)
0
−→
また ∆s ≃ 0 のとき |PQ/PQ| = |dr/ds| = 1、すなわち |t(s)| = 1。したがって、
t(s) は単位接線ベクトルである。
dr(s)
= t(s) . . . (1)
ds
dt(s)
dθ dt(s)
1
=
= n(s) . . . (2)
ds
ds dθ
ρ
∆s → 0 のとき、∆θ → 0 だから
dt dθ 1
= = =k
ds ds ρ
ここで近似円の曲率半径を ρ、その逆数を曲率 k とする。
60
ds
また図より |dt| = |t|dθ であるから
dt(s) dθ = 1
dt
ρ
t
dθ
dθ
dt(s)/dθ は (単位) 主法線ベクトル n(s) であ
ることがわかる。
< 曲線上を運動している場合の速度と加速度 >
dr
ds dr (1) ds
=
=
t = vt
dt
dt ds
dt
dv
dv
dt
dv
dt ds
a=
= t+v = t+v
dt
dt
dt
dt
ds dt
2
dv
v
(2)
=
t+ n
dt
ρ
v=
一定半径 R の等速円運動の加速度は ⇒
v2
n (nは向心方向)
R
(c) 空間曲線
空間曲線の特徴はねじれ
t′
n′
b = t×n . . . (3) 陪法線ベクトル
|b| = |t||n|| sin 90°| = 1
Q
n
t
S
P
b の方向は n, t で作られる面 S に垂直。仮に Q が
S 上ならば、t′ ×n′ = b となり陪法線ベクトルは
同じ ⇒ ねじれなし。
空間曲線の特徴を考える。まず
db
dt
dn
dn
=
×n + t×
= t×
ds
ds
ds
ds
db
⊥t
=⇒
ds
さらには db/ds ⊥ b だから
db
// n
ds
したがって、ねじれ率 τ を用いて
db
= −τ n . . . (4)
ds
61
(∵ (2) より) と書ける。また (3) より n = b×t だから
db
dt
dn
=
×t + b×
ds
ds
ds
= −τ n×t + b×kn (∵ (2)(4) より)
= τ b − kt . . . (5) (∵ (3) より)
(2),(4),(5) は空間曲線の基本公式であり Frenet-Serret(フレネ・セレ) の公式と呼ば
れている。(2) は曲線がどのくらい曲がっているかを、(4) はどのくらいねじれて
いるかを示している。
3.2
ベクトル場における演算子
(a) ベクトル場とスカラー場
ベクトル場空間の各点 r = (x, y, z) でベクトル関数 A(r) が定義されている
A(r) = Ax (r)i + Ay (r)j + Az (r)k
スカラー場空間の各点 r = (x, y, z) でスカラー関数 ϕ(r) が定義されている
−2
9
−1
1
4
ベクトル場
0
5
スカラー場
(例) 電磁気学における場
電界 E(r) =
+Q
電位 V (r) =
62
Q r
4πε0 r3
Q 1
4πε0 r
6
(b) ナブラ演算子
∇=i
∂
∂
∂
+j
+k
∂x
∂y
∂z
< 勾配 (gradient, グラディエント)>
)
(
∂
∂
∂
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
grad ϕ(r) ≡ ∇ϕ = i
+j
+k
ϕ=i
+j
+k
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(grad ϕ のもつ意味)
ϕ(x, y, z) =const. 上で
∇ϕ
曲面 ϕ(x, y, z)
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
(
)
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
= i
+j
+k
·(idx + jdy + kdz)
∂x
∂y
∂z
dϕ =
dr
= ∇ϕ·dr
r
=0
したがって、∇ϕ は r における接平面に垂直である。
(例) 点電荷 Q のまわりの電位と電界は？
電位 ϕ(r) は
ϕ(r) =
1 Q
4πε0 r
で与えられる。このとき電場 E は
( )
1
Q
E = −∇ϕ = −
∇
4πε0
r
{
( )
( )
( )}
Q
∂ 1
∂ 1
∂ 1
=−
i
+j
+k
4πε0 ∂x r
∂y r
∂z r
Q 1
=
(ix + jy + kz)
4πε0 r3
Q r
=
4πε0 r3
< 発散 (divergence, ダイバージェンス)>
(
)
∂
∂
∂
div A ≡ ∇·A = i
+j
+k
·(Ax i + Ay j + Az k)
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
=
∂x
∂y
∂z
63
(div A のもつ意味)
ある領域で、そのベクトル場 A がどれだけ外向きに出て行ってるかを示す量
(例) 流体の速度場 v(x, y, z)
z
S
R
S′
R′
P
P′ ∆y
Q′
∆z
Q
∆x
y
x
(1) 面 PQRS に単位時間に入る流体量 ≃ vx (x, y, z)∆y∆z
(2) 面 P’Q’R’S’ から単位時間に出る流体量 ≃ vx (x + ∆x, y, z)∆y∆z
{
}
≃ vx (x, y, z) + (∂vx /∂x)∆x ∆y∆z
(3) 直方体から x 軸方向に出る量 = (2) − (1) = (∂vx /∂x)∆x∆y∆z
(4) y 軸、z 軸方向に出る量も同様に (∂vy /∂y)∆V, (∂vz /∂z)∆V (∆V = ∆x∆y∆z)
したがって
(3) + (4) = (∇·v)∆V
∇·v：単位体積から単位時間に流れ出る流体の量
(計算例) 点電荷の作る電場 E =
Q r
4πε0 r3
div E = ∇·E
Q
r
∇· 3
4πε0
r
{ ( )
}
∂ x
∂ (y)
∂ (z)
Q
+
+
=
4πε0 ∂x r3
∂y r3
∂z r3
(
)
Q
1
3x2
=
−
+ ···
4πε0 r3
r5
{
}
Q
3
3(x2 + y 2 + z 2 )
=
−
4πε0 r3
r5
=
=0
64
ただし r ̸= 0 のとき。では r = 0 では？
−→ div E =
ρ(r)
Q
= δ(r) デルタ関数 (後述)
ε0
ε0
< 回転 (rotation)>
(
)
∂
∂
∂
rot A ≡ ∇×A = i
+j
+k
×(Ax i + Ay j + Az k)
∂x
∂y
∂z
)
(
)
(
)
(
∂Ax ∂Az
∂Ay ∂Ax
∂Az ∂Ay
=
−
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
i
j
k = ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z Ax
Ay
Az (rot A のもつ意味)
z 軸を中心にして回転している物体の速度 v は
v = ω×r
= ωk×(ix + jy + kz)
= −ωyi + ωxj
である。この速度 v の rot は
rot v = ∇×v
=
∂
∂
(ωx)k −
(−ωy)k
∂x
∂y
= 2ωk
= 2ω
また |v| = ω
√
x2 + y 2 、渦状のベクトル場。
• ∇×r = 0(確かめよ)
• F が保存力、つまり F = −∇ϕ のとき (ϕ はスカラーポテンシャル)
∇×F = 0 (∵ ∇×∇ϕ = 0)
65
• 磁場 B は
∇·B = 0 (∵ ∇·(∇×A) = 0)
Aはベクトルポテンシャル
<Laplace 演算子 = ラプラシアン >
∆ ≡ ∇·∇ = div grad = ∇2
(
)(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= i
+j
+k
· i
+j
+k
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
2
2
2
∂
∂
∂
+ 2+ 2
=
2
∂x
∂y
∂z
( )
1
• ∆
= 0(確かめよ)
r
(c) ベクトルの微分の公式
(1) ∇(ϕψ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ
(2) ∇·(ϕA) = (∇ϕ)·A + ϕ(∇·A)
(3) ∇×(ϕA) = (∇ϕ)×A + ϕ(∇×A)
(4) ∇·(A×B) = B·(∇×A) − A·(∇×B)
(5) ∇×(A×B) = (B·∇)A − B(∇·A) − (A·∇)B + A(∇·B)
(6) ∇(A·B) = (B·∇)A + (A·∇)B + B×(∇×A) + A×(∇×B)
(7) ∇×(∇ϕ) = rot gradϕ = 0
(8) ∇·(∇×A) = div rotA = 0
(9) ∇×(∇×A) = ∇(∇·A) − ∇2 A
66
(d) マクスウェル方程式−電磁気学における基本方程式 (微分形)


divD = ρ
D = εE






B = µH
 divB = 0
∂B
=0
rotE +


∂t





 rotH − ∂D = J
∂t
D = 電束密度 , E = 電場の強さ
B = 磁束密度 , H = 磁場の強さ
ε = 誘電率
, µ = 透磁率
真空中で電流も電荷も 0、すなわち J = 0, ρ = 0 のとき


divE = 0
. . . (1) Coulomb の法則





. . . (2) 磁場に対する Coulomb の法則
 divB = 0
∂B

rotE +
=0
. . . (3) Faradayの電磁誘導の法則


∂t



 rotB − ε0 µ0 ∂E = 0 . . . (4) Ampère-Maxwell の法則
∂t
ここで ε0 , µ0 は真空の誘電率, 透磁率である。電場 E と磁束密度 B は波動方程式に
従う。
 2
∂ E


− c2 ∇2 E = 0 . . . (5)

1
∂t2
c
=
= 光速
√
2

ε
µ
∂
B
0
0


− c2 ∇2 B = 0 . . . (6)
∂t2
((6) の導出方法)
∇×(4) より
∇×(∇×B) =
1 ∂
(∇×E)
c2 ∂t
この左辺にベクトルの微分公式 (9) を、右辺に上記 Faraday の法則 (3) を用いれば
(6) が得られる。
67
直交曲線座標系
3.3
(a) 直交曲線座標系
２次元
P(x, y)
y
P(r, θ)
r
θ
x
直交座標 (x, y)
３次元
極座標 (r, θ)
z
φ̂
P(x, y, z)
k
i
j
θ
r̂
P(r, θ, φ)
θ̂
y
φ
x
x = r sin θ cos φ = F (r, θ, φ)
y = r sin θ sin φ = G(r, θ, φ)
z = r cos θ
= H(r, θ, φ)
r̂ ⊥ θ̂ ⊥ φ̂ になるような曲線座標系 = 直交曲線座標系
< 一般論 >(証明は省略)
x = F (u, v, w)
y = G(u, v, w)
z = H(u, v, w)
s1 を u 曲線の長さとすると
ds1 =
=
√
√
dx2 + dy 2 + dz 2
(
∂y
∂z
∂x
du)2 + ( du)2 + ( du)2
∂u
∂u
∂u
= h1 du
68
√(
h1 =
√(
∂x
∂u
)2
(
+
∂y
∂u
)2
(
+
∂z
∂u
)2
)2 ( )2 ( )2
∂x
∂y
∂z
h2 =
+
+
∂v
∂v
∂v
√( )
( )2 ( )2
2
∂x
∂y
∂z
+
+
h3 =
∂w
∂w
∂w
ds1 = h1 du, ds2 = h2 dv, ds3 = h3 dw
√
√
2
2
2
¯
ds = PQ = ds1 + ds2 + ds3 = h21 du2 + h22 dv 2 + h23 dw2
dS3 = ds1 ds2 = h1 h2 dudv
dV = ds1 ds2 ds3 = h1 h2 h3 dudvdw (h1 h2 h3 のことをヤコビアン J)
(勾配)
∂
∂
∂
+ ∇v
+ ∇w
∂u
∂v
∂w
û ∂
v̂ ∂
ŵ ∂
=
+
+
h1 ∂u h2 ∂v h3 ∂w
∇ = ∇u
(発散)
{
}
1
∂
∂
∂
divA =
(h2 h3 Au ) +
(h3 h1 Av ) +
(h1 h2 Aw )
h1 h2 h3 ∂u
∂v
∂w
1 ∂ϕ
A = ∇ϕのとき Au =
, etc. . . . だから
h1 ∂u
ラプラシアン
{ (
)
(
)
(
)}
∂ h2 h3 ∂ϕ
1
∂ h3 h1 ∂ϕ
∂
h1 h2 ∂ϕ
∇ ϕ=
+
+
h1 h2 h3 ∂u
h1 ∂u
∂v
h2 ∂v
∂w
h3 ∂w
2
(回転)
v̂
ŵ
û
h2 h3 h3 h1 h1 h2
∂
∂
rotA = ∂
∂u
∂v
∂w
h1 Au h2 Av h3 Aw
69
< ベクトル A の成分 >
A = Ax i + Ay j + Az k
= Au û + Av v̂ + Aw ŵ
 1 ∂x 1 ∂y 1 ∂z


 h1 ∂u h1 ∂u h1 ∂u
Au


 
1 ∂z
 Av  =  1 ∂x 1 ∂y

  h2 ∂v h2 ∂v h2 ∂v

 1 ∂x 1 ∂y 1 ∂z
Aw
h3 ∂w h3 ∂w h3 ∂w
⇐⇒



 A

x


  Ay  · · · (1)



 Az
A曲 = T A直
(b) 極座標
u −→ r
φ̂
θ
r̂
v −→ θ
P(r, θ, φ)
θ̂
w −→ φ



 x = r sin θ cos φ
φ
y = r sin θ sin φ · · · (2)


 z = r cos θ
h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin θ
dV = dx dy dz = r2 sin θ dr dθ dφ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
∇ϕ =
θ̂ +
r̂ +
φ̂
1 ∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(
)
(
)
1 ∂
∂ 2ϕ
1
∂
∂ϕ
1
2
2 ∂ϕ
∇ ϕ = ∆ϕ = 2
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
< 速度・加速度を極座標で >
(1) の関係 v曲 = T v直を使う (r についてのみ示す)。
vr =
∂x
∂y
∂z
vx +
vy + vz
∂r
∂r
∂r
70
(2) から
∂y
∂z
∂x
= sin θ cos φ,
= sin θ sin φ,
= cos θ
∂r
∂r
∂r
vx = sin θ cos φ ṙ + r cos θ cos φ θ̇ − r sin θ sin φ φ̇
vy = sin θ sin φ ṙ + r cos θ sin φ θ̇ + r sin θ cos φ φ̇
vz = cos θ ṙ − r sin θ θ̇
よって vr = ṙ。vθ , vφ も同様にして求まる。



 vr = ṙ
vθ = rθ̇


 v = rφ̇ sin θ
φ
i.e. v = ṙ r̂ + rθ̇ θ̂ + rφ̇ sin θ φ̂
加速度も同様にして求まる。


ar = r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ



aθ = 2ṙθ̇ + rθ̈ − rφ̇2 sin θ cos θ


1 d 2

 aφ =
(r φ̇ sin2 θ)
r sin θ dt
(c) 円柱座標
z
u −→ r
v −→ θ
P(r, θ, z)
z
r
θ
x
w −→ z
y
x = r cos θ
y = r sin θ
z=z
h1 = 1, h2 = r, h3 = 1
dV = r dr dθ dz
71
多重積分
3.4
(a) 多重積分
１重積分
f (x)
n
∑
∫
∆x
xi
f (x) dx
a
i=1
a
２重積分
y
b
f (xi )∆x →
x
b
∆x
∆y
領域 R
x
n
∑
∫∫
f (xi , yi )∆x∆y →
f (x, y) dxdy
R
∫ b (∫
i=1
h(x)
=
f (x, y) dy dx
a
h(x)
g(x)
(2)
(1) g(x)
x
b
a
(例)
y
1
領域 R で f (x, y) = 1 と
x2
f (x, y) = xy を積分せよ。
R
0
x
1
∫∫
∫
1
∫
1 dxdy =
R
∫∫
1
x2 dx =
dydx =
∫
0
0
∫
1
xy dxdy =
R
∫
x2
x
0
0
x2
∫
y dydx =
0
1
x·
0
1
· · · R の面積
3
1
x4
dx =
2
12
< ３重積分 >
∫∫∫
f (x, y, z) dxdydz, f (x, y, z) = 1 のとき領域 R の体積
R
72
)
(b) 積分変数変換とヤコビアン
積分領域 R の形、被積分関数の関数形によっては、直角座標より曲線座標での
積分の方が簡単になることがある (多い)。そのときただ積分変数を変えるだけで
なく、ヤコビアン J = h1 h2 h3 が加わる。
２次元：(x, y) 領域 R → (u, v) 領域 D
∫∫
∫∫
f (x, y) dxdy =
f [F (u, v), G(u, v)]h1 h2 dudv
R
D

∂x ∂x 
∂u ∂v ∂(x, y) 
J
=
h
h
=
≡


1 2
∂y ∂y ∂(u, v)
∂u ∂v
３次元：(x, y, z) 領域 R → (u, v, w) 領域 D
∫∫∫
∫∫∫
f [F (u, v, w), G(u, v, w)]h1 h2 h3 dudvdw
f (x, y, z) dxdydz =
D
R


∂x ∂x ∂x 
∂u ∂v ∂w 



∂y ∂y ∂y 
∂(x,
y,
z)
 J = h1 h2 h3 = ≡


∂u ∂v ∂w ∂(u, v, w) 


∂z ∂z ∂z 

∂u ∂v ∂w
(例) ２次元極座標積分
2
2
半径 R の円形領域で f (x, y) = e−a(x +y ) を積
y
分せよ。
∫∫
2
2
I=
e−a(x +y ) dxdy
R
R x
rdrdθ 極座標 x = r cos θ, y = r sin θ に変数変換す

r
dθ
θ
dr
rdθ
となる。よって
る。このときヤコビアン J は
∂(x, y) cos θ −r sin θ
J=
=
sin θ r cos θ
∂(r, θ)
∫∫
e−ar J drdθ
D
∫ 2π ∫ R
2
=
dθ
re−ar dr
2
I=
0
0
π
2
= (1 − e−aR )
a
73
=r
となる。また、この式から積分公式
√
∫ +∞
√
π
−ax2
e
dx = I(R → ∞) =
a
−∞
が得られる。
(例) ３次元極座標積分
半径 a の球内に電荷密度 ρ が一様に分布しているとき、球外に作る静電ポテン
シャル ϕ(R) を計算せよ。
z
∫∫∫
1
ρ
R
ϕ(R) =
dr
√
4πε
|R
−
r|
0
R2 + r2 − 2Rr cos θ
dr = dxdydz = r2 sin θ drdθdϕ
∫ a ∫ π ∫ 2π
ρ
r2 sin θ
a
=
dr
dθ
dϕ √
θ
4πε0 0
R2 + r2 − 2Rr cos θ
0
∫ a ( 0√
)π
y
ρ
r
2
2
=
R + r − 2Rr cos θ
φ
dr
2ε0 0
R
0
4π 3 )
1 Q (
Q≡
aρ
=
4πε0 R
3
x
3.5
線積分と面積分
(a) 線積分
y = f (x)
型１.
∫
∫
b
F (x, y) dS =
C
√
F (x, f (x))
(
1+
a
∫
x(t), y(t) のとき
√(
t2
=
F (x(t), y(t))
t1
df
dx
dx
dt
dy
dx
dx
S=0
(
)2
+
74
C
ds
)2
dy
dt
)2
a
dt
√
(dx)2 + (dy)2
√
= 1 + (df /dx)2 dx
ds =
b
型２.
∫
∫
A·dr =
(Ax i + Ay j)·(idx + jdy)
∫C
C
=
∫
−−−→
一般化
(Ax dx + Ay dy)
C
[P (x, y) dx + Q(x, y) dy]
)
∫ b(
df
P (x, f (x)) + Q(x, f (x))
dx
=
dx
a
C
x(t), y(t) のとき
)
t2 (
dx
dy
=
dt
P (x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t))
dt
dt
t1
∫
∫
√
(例) y dS を y = x の曲線 C に沿って x = 0∼3 まで積分せよ。
C
y
√
(
)2
√
d√
y dS =
x 1+
x dx
dx
C
0
{( )3/2 ( )3/2 }
∫ 3√
13
1
1
2
=
x + dx =
−
4
3
4
4
0
∫
0
x
3
∫
3
∫
(例) (x dx + x dy) を C1 と C2 に沿って積分せよ。
∫
y
C1 : y = x
1
C1 :
(x + x·1) dx = 1
0
∫
1
C2 :
0
C2 : y = x2
C1
7
(x + x·2x) dx =
6
C2
0
x
一般に経路によって積分値は異なる。
∫
[P dx + Q dy] は
(物理例) 仕事 W =
∂P
∂Q
=
を満たすとき経路によらない (グリーンの定理参照)
∂y
∂x
∫
C
F·dr
75
F = −∇ϕ で表される力のとき
∫
W = − ∇ϕ·dr
)(
∫ (
)
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
=−
i+
j+
k · i dx + j dy + k dz
∂x
∂y
∂z
)
∫ (
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
=−
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
∫
= − dϕ
(
)
= − ϕ(Q) − ϕ(P)
道筋によらないような力を保存力
∥
− ∇ϕと表されるスカラーポテンシャルを有する
∥
rotF = 0 (ストークスの定理参照)
(b) 面積分
ある関数 ϕ(x, y, z) の曲面 S : z = f (x, y) 上の積分
∫∫
z
k
n
ϕ(x, y, z) dS
曲面 z = f (x, y)
θ
S
ここで
S
dS
∇F | cos θ| = |n·k| = ·k
|∇F | y
(
) −(∂f /∂x)i − (∂f /∂y)j + k ·k
=
|∇F |
R
1
x
dxdy = dS| cos θ|
=√
2
2
1 + (∂f /∂x) + (∂f /∂y)
曲面 S：F (x, y, z) ≡ z − f (x, y) = 0
だから
∫∫
√
∫∫
ϕ(x, y, z) dS =
S
ϕ(x, y, f (x, y))
R
(
1+
∂f
∂x
(
)2
+
∂f
∂y
)2
単位法線ベクトル n の向きは、S で囲まれた領域から外へ向かう。
76
dxdy
(物理例)
( ∫∫
) ∫∫
E·n dS =
E·dS =
En dS
∫∫
S
S
S
面 S から出てくる電気力線の n 方向成分
の和 → ガウスの定理を参照
S
(∫ ∫
)
v·n dS = S を単位時間で通過する流体の体積
S
∫∫
(例)r = xi + yj + zk の S 上での面積分
r·n dS を計算せよ。
S
S に垂直なベクトル ∇F は (F = z − f (x, y))
z
∇F = ∇(z + 2x + 2y − 2) = 2i + 2j + k
2
だから単位法線ベクトル n は
S
∇F
1
n=
= (2i + 2j + k)
|∇F |
3
R
となる。よって
z = f (x, y) = −2x − 2y + 2
1
1
x
1
2
r·n = (2x + 2y + z) =
3
3
また
√
dS =
(
1+
∂f
∂x
)2
(
+
∂f
∂y
)2
dxdy = 3dxdy
となるから
∫ 1 {∫
∫∫
1−x
r·n dS = 2
S
0
となる。
77
0
}
dy dx = 1
y
3.6
ガウスの定理
(a) ガウスの定理の証明
∫∫
∫∫∫
A·n dS
∇·A dV
=
S
V
面積分 ↔ 体積分
(証明)
右辺 → 左辺で証明する。
)
∫∫∫
∫ ∫ (∫ f
∂Az
∂Az
dV =
dz dxdy
∂z
V ∂z
R
g
∫∫
[
]
=
Az (x, y, f ) − Az (x, y, g) dxdy
R
(
{
)
S2 上で
cos θ2 dS2 = k·n2 dS2
dxdy =
S1 上で − cos θ1 dS1 = −k·n1 dS1
∫∫
∫∫
=
Az k·n2 dS2 +
Az k·n1 dS1
S2
S1
∫∫
=
Az k·n dS
S
Ax , Ay も同様にして求まる。したがって
)
∫∫
∫∫∫ (
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
dV =
(Ax i + Ay j + Az k)·n dS
∂x
∂y
∂z
S
V
∫∫∫
∫∫
∫∫
⇐⇒
divA dV =
A·n dS =
An dS
V
S
S
(b) ガウスの定理の物理例
点電荷のつくる電場と発散とデルタ関数とポアソン方程式
E(r) =
q r
: 原点にある電荷 q がつくる電場
4πε0 r3
78
次の量を考える。
∫∫
ε0
q
E·n dS =
4π
S
∫∫
S
r
·n dS . . . (1)
r3
原点を中心とした半径 R の球面上の領域を取ると1
∫∫
q Rn·n
ε0
E·n dS =
4πR2
3
4π
R
S
= q . . . (2) 電気力線の本数 = 電荷/ε0
ガウスの定理より
∫∫∫
(r)
dV
r3
V
( )
∫∫∫
q
1
∇·∇
dV
=−
4π
r
V
( )
∫∫∫
1
q
2
=−
∇
dV . . . (3)
4π
r
V
q
(1) =
4π
∇·
(2),(3) より
( )
1
∇
dV = −4π
r
V
かつ
( )
1
∇2
= 0 (r ̸= 0)
r
∫∫∫
2













. . . (4)
(4) から
( )
1
∇
= −4πδ(r) . . . (5)
r
2
1
任意の閉曲面 S に対しては (ガウスの積分)
{
∫∫
0 (原点が S の外)
r·n
dS =
3
4π (原点が S の内)
S r
79
ここで δ(r) はディラックのデルタ関数2 である。(1),(3),(5) より
∫∫
∫∫∫
E·n dS =
divE dV (電場に関するガウスの法則)
S
V
( )
∫∫∫
q
1
2
dV
∇
=−
4πε0
r
V
∫∫∫
q
=
δ(r) dV (積分形のガウスの法則)
ε0
V
また、上式から qδ(r) = ρ(r) : 電荷密度として
divE =
1
ρ(r) . . . (6) (微分形のガウスの法則)
ε0
が導かれる。E = −∇ϕ を (6) に代入すると
∇2 ϕ(r) = −
1
ρ(r) . . . (7) Poisson 方程式
ε0
(ρ(r) = 0 のとき Laplace 方程式)
Poisson 方程式 (7) の解は
1
ϕ(r) =
4πε0
これはデルタ関数の公式
∇
(
2
∫∫∫
1
|r − r′ |
V
ρ(r′ )
dr′ . . . (8)
|r − r′ |
)
= −4πδ(r − r′ )
と (5)′ を用いることで求めることができる。
< 電荷の保存則 >
電荷の総量は物理変化において不変である。
単位時間あたり S で囲まれる領域 V に流れ込む総電荷量
(
)
∫∫
∫∫∫
=−
j(r, t)·n(r) dS −−−−−−−→ −
divj(r, t) dV
ガウスの法則
S
V
∫∫∫
d
=
ρ(r, t) dV = 領域 V の電気量の増加
dt
V
∫∫∫
∂ρ(r, t)
dV
=
∂t
V
2
デルタ関数の性質
∫∫∫
・
+∞
δ(r) dV = 1
−∞
∫∫∫
・
δ(r − a)f (r) dV = f (a) . . . (5)′
80
領域 V は任意にとれるから
∂ρ(r, t)
+ divj(r, t) = 0 (電荷の保存則)
∂t
3.7
ストークスの定理
(a) ストークスの定理の証明
∫
∫∫
A·dr =
(∇×A)·n dS
C
S
線積分 ↔ 面積分
(証明)
y
C
D
C
A(x, y)
B(x + ∆x, y)
C(x + ∆x, y + ∆y)
D(x, y + ∆y)
∆S
Ci
A
B
x
∫
微小領域∆Si →
A·dr ≃Ax (1)∆x + Ay (2)∆y
Ci
− Ax (3)∆x − Ay (4)∆y . . . (1)
(
)
(
)
Ax (3) − Ax (1) = Ax x + ∆x, y + ∆y − Ax x, y
∂Ax
∆y . . . (2)
∂y
(
)
(
)
Ay (2) − Ay (4) = Ay x + ∆x, y − Ay x, y + ∆y
≃
≃
∂Ay
∆x . . . (3)
∂x
(2) と (3) を (1) に代入すると
(
)
∫
∂Ay ∂Ax
−
A·dr =
∆x∆y = (∇×A)·n∆Si , n//ẑ
∂x
∂y
Ci
微小領域の和 S →
N ∫
∑
i=1
A·dr =
Ci
N
∑
i=1
81
(∇×A)·n∆Si
境界は打ち消しあい
∫
∫∫
A·dr =
(∇×A)·n dS
C
S
となる。
(b) ストークスの定理の物理例
∫
• 仕事 W = F·dr
I
• アンペールの法則：µ0 I =
B·dr
I
• 電場：
H
C
E·dr = 0
A·dr = 0
=
=
∇×A = 0 ≡ A は保存力 =
(∗)
(☆) =
A = ∇ϕ
のすべてが等価である
A は渦なしベクトル
∫ P2
P1
A·dr は path によらない
≡ dϕ = Ax dx + Ay dy + Az dz
<（☆）の証明 >
• A = ∇ϕ ならば ∇×A = ∇×∇ϕ = 0(公式 (7))
• ∇×A = 0 ならばストークスの定理より
I
A·dr = 0
P2
C
C2
P1
C1
したがって
∫
∫
A·dr =
C1
A·dr
C2
は path(経路) によらず P1 , P2 のみによる ((∗) の証明)。
82
ϕ(x, y, z) ≡
∫ (x,y,z)
0
A·dr を定義する。
(∫
∫
(x,y,z)
ϕ(x + ∆x) =
(x+∆x,y,z) )
+
0
A·dr
(x,y,z)
∫ (x+∆x,y,z)
= ϕ(x, y, z) +
A·dr
(x,y,z)
path によらないから x 軸に平行にすると
= ϕ(x, y, z) + Ax ∆x
すなわち
∂ϕ
= Ax
∂x
他も同様
したがって
∇ϕ =
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
= Ax i + Ay j + Az k
=A
(演) 中心力 F = f (r)r は保存力であることを示せ。
(c) 平面におけるグリーンの定理
３次元におけるストークスの定理を２次元で書く。


A = Ax (x, y)i + Ay (x, y)j


 dr = dxi + dyj





 dS = dxdy



n = i×j
I
I
A·dr =
(Ax dx + Ay dy)
)
∫∫
∫∫ (
∂Ay ∂Ax
−
dxdy
(∇×A)·n dS =
∂x
∂y
S
S
Ax ≡ P, Ay ≡ Q とすると
)
I
∫∫ (
∂Q ∂P
(P dx + Qdy) =
−
dxdy
∂x
∂y
C
S
平面におけるグリーンの定理
83
左辺が経路によらない場合 (∂P/∂y) = (∂Q/∂x)、すなわち
dϕ = P dx + Qdy =
= Ax dx + Ay dy
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy
∂x
∂y
全微分
よって ∇ϕ = A(２次元版) が導出される。
3.8
電磁気学における基礎方程式−積分形
< 微分形 >
1.
←→
Coulomb の法則
ρ(r)
divE =
ε0
< 積分形 >
Gauss の法則
∫∫∫
1
E·n dS =
ρ(r) dr
ε0
S
V
∫∫
2. 磁場に対する Coulomb の法則
∫孤立単磁極なし
∫
B·n dS = 0
divB = 0
S
3.
4.
Faradayの電磁誘導の法則
∂B
rotE +
=0
∂t
閉曲線中の磁束Φ
∫∫
Φ=
B(r, t)·n dS
Ampère-Maxwell の法則
1
∂E
rotB − ε0
=i
µ0
∂t
電流による磁気
I
B·dr = µ0 I
S
84

物理数学½ ¸ ½ 東京理科大学 理学部第一部物理学科

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物理数学½ ¸ ½ 東京理科大学理学部第一部物理学科