解析 II 演習 (2016/5/6) 解答・解説（テイラー展開と収束半径）

解析 II 演習 (2016/5/6) 解答・解説（テイラー展開と収束半径）
以下で収束半径を r とする。テイラー級数は収束半径内で絶対（値）収束するから（命題 4.2.3）、項の順番
は自由に入れ替えることができる（定理 4.1.23）。そこで既知のテイラー級数への加減乗除・合成（代入）な
どを利用するのが簡便である。
定義に基づいて f (n) (x) を直接求めるのは大変だが、３ページ目にまとめて記す。
1. f (x) =
1
1 − x2
∞
∑
1
2
4
6
f (x) =
= 1 + x + x + x + ··· =
x2n (r = 1)
1 − x2
n=0
本問は簡単で、等比級数 g(x) =
f (x) = g(x2 ) =
{
つまり
an =
1 （n は偶数）
0 （n は奇数）
1
= 1 + x + x2 + · · · の x に x2 を代入すればよい。
1−x
1
= 1 + x2 + x4 + · · ·
1 − x2
f (x) の収束範囲は、g(x) の収束範囲 −1 < x < 1 の x に x2 を代入した −1 < x2 < 1 を満たす x の全
体である（実際には x2 の取りうる値は 0 ≤ x2 < 1 の範囲ではある）。したがって収束半径 r は（g(x)
と同じ）r = 1 である。
別解
部分分数分解して：
(
)
) (
)}
1
1
1
1 {(
1
1 + x + x2 + x3 + · · · + 1 − x + x2 − x3 + · · ·
=
+
=
2
1−x
2 1−x 1+x
2
それぞれのテイラー展開の項を足し合わせると、奇数項同士は打ち消しあって上のように偶数項が残る。
2. f (x) = sin x cos x
sin x cos x を積と考えて
(
) (
)
x3
x5
x2
x4
x−
+
− ··· × 1 −
+
− ···
3!
5!
2!
4!
を展開することは、できないではないにしてもちょっと手に負えそうもない。倍角の公式を使うのが簡便
である。
f (x) = sin x cos x =
∑
∞
1 ∑ (−1)k
1
sin 2x =
(2x)2k+1
2
2
(2k + 1)!
k=0
an xn の形にするために、まず (2x)n などは分離して 2n xn とし、2n のほうは係数 an に組み込む。
n = 2k + 1 の k を n で置き換えると：

∞
 0
（n は偶数）
k
2k+1
∑
1 (−1) · 2
n−1
n−1
n−1
f (x) =
·
x2k+1 つまり an =
2
2
·
2
(−4)
(−1)

2
(2k + 1)!
=
（n は奇数）
k=0
n!
n!
収束半径は sin x, cos x と同じ ∞ である。これまたちゃんと確かめるなら、奇数次の項にダランベール
の判定法を適用して：
n+1
an+2
(−4) 2
n!
4
=
×
→0
n−1 = −
an
(n + 2)!
(n + 1)(n + 2)
(−4) 2
1
3. f (x) = (1 + x)ex
f (x) = (1 + x)ex = 1 +
∞
∑
2
3
4
n+1 n
x + x2 + x3 + · · · =
x
1!
2!
3!
n!
n=0
(r = ∞) つまり an =
n+1
n!
ex のテイラー展開と xex のテイラー展開とを足し合わせればよい。xex のテイラー展開は、単に ex の
テイラー展開に x を掛けたものである。
∞
∑
1
1
1
xn
x + x2 + x3 + · · · =
1!
2!
3!
n!
n=0
∞
∞
∑
∑ xn+1
xn
1
1
1
xex = x + x2 + x3 + x4 + · · · =
=
1!
2!
3!
n!
(n − 1)!
n=1
n=0
ex = 1 +
したがって xn (n ≥ 1) の係数 an は
an =
1
1
1
n
n+1
+
=
+
=
n! (n − 1)!
n! n!
n!
これは n = 0 のときの a0 = 1 にも成り立つ。ex の収束半径は ∞ だから、f (x) の収束半径も r = ∞
である。ちゃんと確かめるなら、ダランベールの判定法により：
an+1
n+2
n!
n+2
=
×
=
→0
an
(n + 1)! n + 1
(n + 1)2
練習： 様々な関数のテイラー展開を使って、実際に関数値、さらには様々な定数（e, π, ...）の近似値を計算
してみよ。精度評価も行うこと。
2
別解： f (n) (x) を直接求める。
定義： f (x) =
∞
∑
f (n) (0) n
x に基づいて、f (n) (x) を直接求める解法を以下に記しておく。
n!
n=0
もちろんこれでも正解だが、一般には f (n) (x) を簡単に表すのは困難なことが多い。
1. f (x) =
1
1 − x2
さすがに直接微分していくのはムリがある。別解のように、部分分数分解してから微分してゆく。
(
)
1
1
1
1
=
+
1 − x2
2 1−x 1+x
ここで：
(
)′
(
)′
1
n
= (1 − x)−n = −n(1 − x)′ (1 − x)−n−1 =
n
(1 − x)
(1 − x)n+1
(
)′
(
)
1
−n
′
= (1 + x)−n = −n(1 + x)′ (1 + x)−n−1 =
(1 + x)n
(1 + x)n+1
したがって n = 1 から順に適用していくと：
(
)(n)
1
n!
=
1−x
(1 − x)n+1
(
)(n)
1
(−1)n n!
=
1+x
(1 + x)n+1
したがって：
f (n) (0)
n! + (−1)n n!
an =
=
=
n!
2 · n!
{
1 (n : 偶数)
0 (n : 奇数)
2. f (x) = sin x cos x
直接微分していくこともできるが、やはり倍角公式を使ったほうが扱いやすい。
1
f (x) = sin x cos x =
sin 2x
2
′
f (x) = cos 2x
f ′′ (x) = −2 sin 2x
f ′′′ (x) = −4 cos 2x
f (4) (x) = 8 sin 2x
f (5) (x) = −16 cos 2x
このように、三角関数部は周期 4 で一巡するが、2n が掛かってくることに注意。
（以下略）
3. f (x) = (1 + x)ex
′
((n + x)ex ) = nex + xex + ex = {(n + 1) + x}ex
したがって n = 1 から順に適用していくと：
(n)
f (n) (x) = ((1 + x)ex )
= (n + 1 + x)ex
f (n) (0) = n + 1
（以下略）
3